微積分基本概念

微積分基本概念第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二推廣一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心機動目錄上頁下頁返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點)第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E;第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二

整個平面點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點PD與某定點A的距離APK,則稱

D

為有界域,界域

.否則稱為無第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標(biāo).記作即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一個點,當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第十一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二的距離記作中點

a

的

鄰域為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束規(guī)定為與零元O

的距離為第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二二：

二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二例如,二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期二例1

求