物理實驗基礎(chǔ)

物理實驗基礎(chǔ)第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3、實驗課是一門自學(xué)性較強(qiáng)的課程，實驗?zāi)康?、實驗原理要求學(xué)生必須在課前進(jìn)行自學(xué)，課堂上不可能有足夠的時間仔細(xì)看，否則會影響實驗的正常操作。

提示：1、大學(xué)物理實驗與中學(xué)物理實驗的區(qū)別，中學(xué)物理實驗是幫助學(xué)生理解物理概念；大學(xué)物理實驗是要求學(xué)生學(xué)會實驗方法、原理、認(rèn)識實驗儀器等。2、本次所講述的內(nèi)容是整個大學(xué)物理實驗課的基礎(chǔ)知識，貫穿于所有實驗課全部，并不是其它課程的一般的緒論課，因此這次課非常重要希望大家務(wù)必重視。2第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三第一章緒論

物理實驗的范圍大至宇宙，小至原子、分子，物理實驗已涉及到各個學(xué)科的方方面面。例如：地震勘探、放射性測井、電法測井、原油電脫水、電法采油、注蒸汽采油等油田開采領(lǐng)域，其他領(lǐng)域也同樣如此。

而且歷屆獲得諾貝爾物理學(xué)獎的科學(xué)家中，80%以上是實驗物理學(xué)家，由此可以看出，物理實驗的重要性和學(xué)習(xí)物理實驗的必要性。

一、學(xué)習(xí)物理實驗的意義3第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、學(xué)習(xí)物理實驗的幾個問題1、預(yù)約階段A、本學(xué)期第一層次共開設(shè)16個項目，要求學(xué)生必須完成8個項目，多做加分，不夠8個項目，本學(xué)期沒有成績。具體參考有關(guān)規(guī)定。B、預(yù)約前必須在網(wǎng)上仔細(xì)閱讀“開放實驗管理系統(tǒng)”公告欄中——“開放實驗上課須知”、“第一層次預(yù)約指南及學(xué)習(xí)輔導(dǎo)”及開課時間等有關(guān)規(guī)定。C、預(yù)約時間：第二周開始，希望大家及時進(jìn)行預(yù)約，尤其第三周的實驗時間要珍惜。4第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2、預(yù)習(xí)階段A、必須認(rèn)真閱讀“學(xué)習(xí)輔導(dǎo)”及實驗講義中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)。

（如注明活頁講義的項目請到實驗樓117或223房間索?。〣、實驗前的預(yù)習(xí)要求：掌握原理、實驗內(nèi)容，寫出預(yù)習(xí)報告。預(yù)習(xí)報告包括：實驗名稱、目的、原理、內(nèi)容及數(shù)據(jù)表格。C、數(shù)據(jù)表格應(yīng)在理解實驗原理、實驗內(nèi)容的前提下，設(shè)計完整的數(shù)據(jù)記錄表格。一旦預(yù)約成功5第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3、實驗階段A、進(jìn)入實驗室，每個學(xué)生必須攜帶有效證件，否則任課教師有權(quán)拒絕你做實驗，該項目成績按曠課處理。B、實驗過程中每個學(xué)生應(yīng)做到：

態(tài)度端正、工作嚴(yán)謹(jǐn)、獨立完成C、實驗過程中可能遇到問題，應(yīng)把它看作是學(xué)習(xí)的機(jī)會，冷靜分析、檢查、處理；在分析后仍然不能解決的才尋求教師的幫助。D、實驗結(jié)束時，應(yīng)首先讓任課教師檢查數(shù)據(jù)并得到老師簽字允許后方可整理實驗儀器。每次實驗學(xué)生必須整理實驗儀器和衛(wèi)生，養(yǎng)成良好的實驗習(xí)慣，否則會影響你的實驗操作成績。6第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4、實驗結(jié)束后的報告寫實驗報告是實驗工作的全面總結(jié)，要用簡明的形式將實驗結(jié)果完整而有真實地表達(dá)出來。必須用實驗報告紙寫報告，作圖必須用坐標(biāo)紙。通常一份完整的實驗報告通常由下列幾部分組成7第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2、實驗?zāi)康模?、實驗名稱：3、實驗原理：要求：a、能基本說明本實驗所要做的一些工作和過程；b、原理中出現(xiàn)的公式推導(dǎo)，只需要結(jié)論性的公式，不需要過程；c、是否畫原理圖或線路圖，可根據(jù)實際情況確定。4、實驗內(nèi)容：根據(jù)講義的要求進(jìn)行撰寫。并擬定數(shù)據(jù)記錄表格。5、實驗儀器：6、整理后的實驗數(shù)據(jù)：7、數(shù)據(jù)處理過程：強(qiáng)調(diào)必須有字母公式到數(shù)字公式的過度。8、結(jié)果的評定及分析：9、問題討論（包括思考題的回答以及對本實驗教學(xué)和內(nèi)容的建議）10、附件：教師簽字的原始數(shù)據(jù)（必備）（1---4項是預(yù)習(xí)報告必須做的內(nèi)容）8第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三第二章誤差與不確定度基本知識

一、測量和誤差的基本概念：

所謂測量是用實驗方法通過一定的量具（或儀器）尋找待測量真值的操作過程。一個物理量的測量值必須有數(shù)值和單位組成，兩者缺一不可。1、測量（直接和間接）9第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三誤差就是指某量值的測量值與客觀真值之差。

客觀真值是一個抽象的概念，一般情況下是未知的，但在下面幾種特殊情況下可以是已知的：2、誤差誤差的定義：①理論真值；②

約定真值；③

相對真值。誤差的性質(zhì)：①未知性；②普遍性；③隨機(jī)性10第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三其誤差分別為：其中:在測量某一量值時可以得到一系列數(shù)據(jù)：按誤差性質(zhì)可分為三類誤差：例如：對于任何一個待測量而言誤差的分類11第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

對于某一個具體誤差來說，誤差值可能是正或負(fù)，也可能是比較大或小，這是難以預(yù)測的，而且毫無規(guī)律而言，但是如果測量次數(shù)較多時，誤差的變化規(guī)律又符合一定的統(tǒng)計規(guī)律。因此我們稱這種誤差為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差具有以下三個特性：

A、單峰性；B、對稱性；C、有界性。①隨機(jī)誤差:12第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

在相同條件下測量同一量值時，往往在進(jìn)行多次重復(fù)測量時，得到的誤差值具有一定的傾向性，即誤差的大小、符號保持不變，或者按某種規(guī)律變化，這種誤差我們稱之為系統(tǒng)誤差。

在測量時，有時會得到個別數(shù)據(jù)，遠(yuǎn)偏離于其它數(shù)據(jù)，這是由于某種原因所引起的（可能是人為的、也可能是儀器方面，還有可能是環(huán)境方面引起的等等），故稱這種誤差為粗大誤差、或疏失誤差、或過失誤差。②系統(tǒng)誤差③粗大誤差13第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三二、不確定度1、不確定度的概念

用誤差來評估測量結(jié)果的可靠程度，這種做法不盡完善，往往有可能遺漏一些影響測量結(jié)果準(zhǔn)確性的因素，如未定系統(tǒng)誤差、儀器誤差等。而且誤差是一個不確定量（不可知性）。鑒于上述原因，為了更準(zhǔn)確地表述測量結(jié)果的可靠性，國際上提出了采用不確定度的建議和規(guī)定。

不確定度表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，或者說它是被測量值在某一范圍內(nèi)的一個評定。它是建立在誤差理論基礎(chǔ)上的一個新概念，是誤差的數(shù)字指標(biāo)?？陀^地說：不確定度是對經(jīng)典誤差理論的一個補(bǔ)充，是現(xiàn)代誤差理論的內(nèi)容之一，但它還有待進(jìn)一步研究、完善與發(fā)展。14第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三A類分量是能用統(tǒng)計方法計算出來的標(biāo)準(zhǔn)差，用符號Si表示。2、不確定度的分類及估算方法不確定度的分類

由于誤差來源眾多，測量結(jié)果不確定度一般包含多個分量，為了估計方便，按其評定方法，這些分量可分成A、B兩類分量：B類分量是能用其他方法估計出來的“等價標(biāo)準(zhǔn)差”，用符號ui表示。

15第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三若測量同一物理量時，同時含有不確定度A類分量和不確定度B類分量時，則合成的不確定度為如下式所示：注意：式中所有A類分量和B類分量必須是測同一物理量時的不確定度。否則，合成不確定度無實際意義。

3、合成不確定度4、相對不確定度為表示測量結(jié)果的好壞，在測量結(jié)果中應(yīng)表示出相對不確定度。即：相對不確定度越小，表示測量質(zhì)量越好。16第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三三、直接測量的結(jié)果評價

直接測量是將待測量與標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，得到待測量的大小。如米尺測長度、天平稱質(zhì)量、秒表測時間等，都屬于直接測量。為了減小誤差，直接測量一個物理量一般要重復(fù)測量多次。怎樣合理對所測量的物理量給出一個合理結(jié)果評價呢？需要做以下兩步工作（假設(shè)所有測量數(shù)據(jù)都已經(jīng)進(jìn)行合理性估計，也即系統(tǒng)誤差和粗大誤差的大小可以忽略）：

1、求最佳估計值；2、求測量不確定度。17第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三算術(shù)平均值可表示為式：當(dāng)測量次數(shù)n趨于無窮時，算術(shù)平均值趨于真值。1、用算術(shù)平均值作為真值的最佳估計值其中xi為第i次測得值。18第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2、直接測量的不確定度處理不確定度A類分量的處理：A、相同條件下多次重復(fù)測量的情形

假定某一相同條件下的測量列為xi(i=1～n)。19第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三不確定度的B類分量處理：在物理實驗中B類不確定度一般只考慮由儀器引入的極限誤差來確定，常用ui來表示。而不確定度B類分量u由儀器的極限誤差估算出，因此多次直接測量平均值的合成不確定度為：在物理實驗中我們一般情況下只考慮一種A類分量和一種B類分量簡化的合成不確定度。20第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三因此多次測量的結(jié)果完整表示為：21第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三B、單次測量的情形

有時因條件所限不可能進(jìn)行多次測量，往往只進(jìn)行一次測量。

一次測量的表示結(jié)果為：（單位）其中測量不確定度的大小由儀器的極限誤差來確定22第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三電流、電壓表不確定度的計算

按照我國國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，電表的準(zhǔn)確度等級分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5共7個級別，級數(shù)越小的電表越準(zhǔn)確。若用△表示電表本身的極限誤差：如果只測一次，其不確定度為：23第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三其相對不確定度為：

從上式可以看出，為了使測量精度最高（即相對不確定度最小），應(yīng)該選擇的電表量程，必須使測量值接近量程。24第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三電阻的不確定度計算電阻不確定度的計算目前可以分成兩種：另一種：由于電阻箱用PPM形式表示其精度，所以在計算不確定度時，需要根據(jù)不同數(shù)量級的精度來計算各個級別的輸出極限誤差，然后再除以平均分布置信因子得出電阻箱的輸出不確定度。

特別強(qiáng)調(diào)的是：電阻不確定度沒有相對不確定度的概念，其計算方法與電表不確定度的計算方法不同。一種：較早生產(chǎn)的電阻箱或測量電阻的萬用表用級別的方式表示其精度，那么這樣的讀數(shù)值或測量值最后的不確定度計算應(yīng)使用如下公式：25第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三設(shè)y為某一間接測量量，x1,x2,…，xk為k個直接測量量。遵循的函數(shù)形式為：各直接測量量的測量結(jié)果為：……………四、間接測量的數(shù)據(jù)處理26第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三間接測量數(shù)據(jù)處理，主要解決以下兩個問題：由上可知，間接測量的最佳估計值如下式所示：

由于間接測量量y與k個直接測量量有關(guān)，k個直接測量量的誤差必然對間接測量量y有影響，也即y的值也存在著誤差。因此，間接測量量y的不確定度也是與各直接測量量的不確定度有關(guān)的，它們之間的關(guān)系式被稱為不確定度傳播公式或傳遞公式。1、間接測量的最佳值2、間接測量的不確定度處理27第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由統(tǒng)計理論可推出傳遞公式：上式中(i＝1～k)是傳播系數(shù)，是xi的不確定度。28第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三計算間接測量物理量不確定度時，應(yīng)首先對各直接測量量進(jìn)行處理，然后再代入上式進(jìn)行傳遞計算。綜合1、2所述，間接測量的結(jié)果可表示為：29第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三測量結(jié)果的評價可以歸納為：1、整理采集的測量數(shù)據(jù)（列表形式表示）；2、計算算術(shù)平均值得到最佳估計值；3、計算不確定度A類分量；4、計算不確定度B類分量；5、合成不確定度；6、寫出直接測量值的完整結(jié)果形式；7、計算間接測量平均值；8、利用傳遞公式計算間接測量平均值的不確定度；9、寫出最后完整的結(jié)果形式。30第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

由于誤差存在的普遍性，實驗中某物理量的測量值及運(yùn)算結(jié)果都是近似的。合理的近似，既能充分反映測量精度，又簡單明了。

注意：有效數(shù)字與測量條件(如儀器、環(huán)境、人員)密切相關(guān)，它的位數(shù)由測量條件和待測量的大小共同決定。第四章數(shù)據(jù)處理的基本知識一、有效數(shù)字1、有效數(shù)字的概念31第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（1）此時刻度讀數(shù)為1.66厘米（2）此時刻度讀數(shù)為2.00厘米（3）此時刻度讀數(shù)為90.70厘米（4）此時刻度讀數(shù)為90.8厘米例因此，我們可得出其定義：有效數(shù)字實際是由表征測量結(jié)果的可靠數(shù)與可疑數(shù)組成的。

可疑數(shù)字在有效數(shù)字中一般只有一位。32第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于有效數(shù)字應(yīng)注意以下幾個問題：（1）非零數(shù)字前面的“0”不是有效數(shù)字，非零數(shù)字中間或后面的“0”是有效數(shù)字。有效數(shù)字不能隨意增減，如數(shù)據(jù)0.01370中的前面兩個“0”不是有效數(shù)字,而末尾的“0”是有效數(shù)字，它與1、3、7三個數(shù)具有同等地位。故末尾的“0”不能去掉。（2）單位換算過程中有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)改變。如15cm的長度換算為mm表示時，應(yīng)寫：15cm＝1.5×102mm，而不能寫成150mm。（4）數(shù)字顯示表的讀數(shù)需要注意，末位數(shù)以出現(xiàn)幾率高的數(shù)為準(zhǔn)。所讀數(shù)末位即為可疑數(shù)。（3）最小刻度內(nèi)的估計一般為（1/10~1/2）估計都可以。33第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2、測量結(jié)果中有效數(shù)字位數(shù)的取法

X=3.8±0.002（m）

防止多寫：X=3.85012±0.002（m）這些都是錯誤的

X=3.850±0.00481（m）

在本課程中絕對不確定度的有效數(shù)字只要求取一位；相對不確定度的有效數(shù)字，一般取1～2位。

測量值或數(shù)據(jù)處理結(jié)果的有效數(shù)字中，包含有可疑數(shù)字。可疑數(shù)字是與測量結(jié)果的不確定度有關(guān)的。不確定度的首位數(shù)對應(yīng)結(jié)果中有效數(shù)字的末位數(shù)。按規(guī)定，最后的測量結(jié)果中，有效數(shù)字的末位數(shù)必須與不確定度首位數(shù)的所在位對齊。如(15.9±0.3)cm，其中15.9cm是測量結(jié)果，0.3cm是不確定度，“9”為可疑數(shù)字。34第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3、有效數(shù)字的修約規(guī)則

當(dāng)實驗結(jié)果由于計算或其它某些原因，有效數(shù)字位數(shù)較多時，須采用如下的數(shù)字修約規(guī)則進(jìn)行取舍。(1)、如果需舍去部分的總數(shù)值大于0.5時，所留末位需進(jìn)1。(2)、若需舍去部分的總數(shù)值小于0.5時，所留末位不變，即舍。(3)、若需舍去部分的總數(shù)值等于0.5時，所留部分末位應(yīng)湊成偶數(shù)。原末位為偶數(shù)，所留部分末位不變；原末位為奇數(shù)，所留部分末位變?yōu)榕紨?shù)。35第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例：將下列的數(shù)據(jù)修約成4位有效數(shù)字。3.14159→2.71729→4.51050→5.6235→3.216500→6.378501→3.1422.7174.5105.6243.2166.37936第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4、有效數(shù)字運(yùn)算

加減運(yùn)算尾數(shù)取齊；乘除運(yùn)算位數(shù)取齊；乘方、開方的有效位數(shù)與其底的有效數(shù)字相同；函數(shù)的有效數(shù)字根據(jù)不同的情況有不同的規(guī)定。如：指數(shù)函數(shù)：與指數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同如；自然對數(shù)：其尾數(shù)的位數(shù)與該數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同三角函數(shù)：根據(jù)角度的不確定度來確定最后的有效位數(shù)。另外需要特別提出注意的兩點：

1、取常數(shù)時應(yīng)比參與計算的其他測量量多取1～2位，如一般π=3.14，但在實際使用時應(yīng)根據(jù)參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)來確定。2、在數(shù)據(jù)處理過程中無論算術(shù)平均值還是不確定度都須多取一位，目的是防止計算過程中擴(kuò)大誤差，最后根據(jù)測量值的有效數(shù)字確定最終的結(jié)果形式。37第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三列表舉例：

表1伏安法測100電阻對應(yīng)數(shù)值表2002/9/5注：電壓表量程7.5V精度等級1.0，電流表量程50mA精度等級1.0二、列表與作圖1、列表法要求：（1）簡明，便于表示對應(yīng)關(guān)系，處理數(shù)據(jù)方便。（2）寫明表的序號和名稱，標(biāo)明物理量、單位及數(shù)量級。（3）表中所列數(shù)據(jù)應(yīng)是正確反映結(jié)果的有效數(shù)字。（4）測量日期、說明和必要的實驗條件記在表外。38第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2、作圖法A、作圖要求

(1)、根據(jù)各變量之間的變化規(guī)律，選擇相應(yīng)類型的坐標(biāo)紙。

(2)、正確選擇坐標(biāo)比例。

(3)、寫明圖名、各坐標(biāo)軸所代表的物理量、單位、數(shù)值的數(shù)量級等。

(4)、數(shù)據(jù)描點要用“×⊙⊕◆”等比較明顯的標(biāo)識符號。不能用“.”

(5)、對變化規(guī)律容易判斷的曲線以平滑線連接，曲線不必通過每個實驗點，各實驗點應(yīng)均勻分布在曲線兩邊；難以確定規(guī)律的實驗可以用折線連接。39第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三B.作圖法的應(yīng)用

作圖法的應(yīng)用主要表現(xiàn)在以下兩方面：

(1)、判斷各量的相互關(guān)系。

通過作圖可以判斷各量的相互關(guān)系，特別是在還沒有完全掌握科學(xué)實驗的規(guī)律和結(jié)果的情況下，或還沒有找出適合的函數(shù)表達(dá)式時，作圖法是找出函數(shù)關(guān)系式并求得經(jīng)驗公式的最常用的方法之一。如二極管的伏安特性曲線、彈簧振子振幅衰減規(guī)律曲線等，都可從圖上清楚地表示出來。40第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三(2)、圖上求未知量—圖解法①從直線上求物理量：b41第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三②、非線性函數(shù)未知量的求法――曲線改直問題

y=axb形式，a、b為常數(shù)。函數(shù)形式可以作如下變換，將方程兩邊取對數(shù)(以10為底)得到：1gy=b1gx＋1ga在直角坐標(biāo)紙上取lgy為縱坐標(biāo),1gx為橫坐標(biāo),得到一條直線,從而可以求出系數(shù)a和b。42第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三三、差值法與逐差法1、差值法

差值法是利用兩次實驗中自變量的改變量Δx和函數(shù)的改變量Δy求待測物理量的方法。例如用拉伸法測量鋼絲的倔強(qiáng)系數(shù)k，若僅加力測一次。F＝k(L－L0)其中包含了鋼絲由彎曲變直造成的伸長，必然存在系統(tǒng)誤差。若改變力測兩次，其關(guān)系為：F1＝k(L1－L0)F2＝k(L2－L0)上述兩式相減得：F2－F1＝k(L2－L1)由此式求k，可以消除系統(tǒng)誤差。差值法通常用來測量起點不明確且?guī)в卸ㄖ迪到y(tǒng)誤差物理量的常用方法。43第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2、逐差法

逐差法是為了改善實驗數(shù)據(jù)結(jié)果，減小誤差影響由差值法的基礎(chǔ)上發(fā)展來的，所以具有差值法的優(yōu)點又具有逐差法的優(yōu)點。例如要求求彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，根據(jù)虎克定律F=kΔx等間距改變外力Fi，可以相應(yīng)地得到不同的彈簧的伸長量xi，這時，每改變一次力，彈簧的改變量為；力的改變量，由于是等間距變化，所以力的改變量不變。44第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

我們先看下面例子，如果測量6次數(shù)據(jù)，對彈簧的改變量按逐差法進(jìn)行處理求平均值則可以得到：顯然利用這樣的處理方法來求平均值是不可取的。為了使其保持多次測量的優(yōu)越性，對數(shù)據(jù)處理方法上作一些變化。把數(shù)據(jù)分為兩組，即隔3項逐差，再取平均，則：注意，這樣很容易得到結(jié)果，而且每一個數(shù)據(jù)都能用上。45第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三逐差法的應(yīng)用條件在具備以下兩個條件時，可以用逐差法處理數(shù)據(jù):(1)、函數(shù)可以寫成x的多項式形式，即：

y=a0+a1x+a2x2+a3x3實際上，由于測量精度的限制，3次以上逐差已很少應(yīng)用。(2)、自變量x是等間距變化，即：xi+1-xi=c式中c為一常數(shù)。46第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三四、線性函數(shù)的最小二乘法最小二乘法是建立在數(shù)理統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上的一個數(shù)學(xué)原理。它被廣泛地應(yīng)用在數(shù)據(jù)處理過程中(如實驗曲線的擬合、經(jīng)驗公式的確定)。1、最小二乘原理

所謂最小二乘原理就是在滿足∑v2i＝最小的條件下()，求解出方程中的未知量為最佳值。用這一原理處理數(shù)據(jù)的方法稱為最小二乘法。一般情況下，最小二乘法可以用于線性函數(shù)，也可以用于非線性函數(shù)，由于在測量技術(shù)中，大量的問題是屬于線性的或可以轉(zhuǎn)換成線性函數(shù)，而非線性也可以在某一區(qū)域內(nèi)展成線性函數(shù)來處理，因此，我們主要討論線性函數(shù)的最小二乘法。47第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2、用最小二乘法進(jìn)行線性擬合設(shè)已知函數(shù)形式為：在等精度條件下得到一組測量數(shù)據(jù)：48第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由此得到n個觀測方程：…………一般情況下，觀測方程個數(shù)大于未知量的數(shù)目時，a和b的解不能確定。因此，現(xiàn)在的問題是如何從觀測方程中確定a和b的最佳值，這就需要采用最小二乘法。49第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三假定最佳方程為：其中a0和b0是最佳系數(shù)。為了簡化計算，設(shè)測量中x方向的誤差遠(yuǎn)小于y方向，可以忽略，只研究y方向的差異。則得到殘差方程組：50第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三對該式兩邊平方，得：再對其進(jìn)行兩邊求和，得到：依據(jù)最小二乘原理及極值原理，即：51第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

由此得出法方程：解方程組可得：52第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例題一：（多次測量）用0~25mm的一級千分尺測鋼球的直徑D，6次數(shù)據(jù)為：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mm，D4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm寫出完整的實驗結(jié)果。解：①求算術(shù)平均值注：按數(shù)據(jù)處理的規(guī)則，在計算過程中平均值可以暫時多取一位有效數(shù)字，目的是防止計算誤差擴(kuò)大化。五、例題說明53第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三②求A類不確定度分量③求B類不確定度分量u查得該千分尺所以：④合成不確定度54第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三⑤完整結(jié)果表示：D=（3.124±0.002）mm55第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例題二：（間接測量）用千分尺測量圓柱體的體積，已求得直徑為：試求體積V并表示實驗結(jié)果。解：①求V：注：A、常數(shù)π的有效數(shù)字應(yīng)比測量值的有效數(shù)字多取一位，目的是讓常數(shù)取值的誤差忽略不計。B：體積V的有效數(shù)字應(yīng)符合有效數(shù)字運(yùn)算法則。56第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三②求根據(jù)不確定度傳播公式：由得到：57第五十七頁，共六十五頁，編輯