物理第五章電磁波的輻射

物理第五章電磁波的輻射第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第五章

電磁波的輻射第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三隨時間變化的電荷-電流源：又稱為輻射源形成向遠(yuǎn)處輻射的電磁波1.電磁波的輻射主要研究輻射出去的電磁場和輻射源之間的關(guān)系2.為了簡單起見，本章僅研究真空中的輻射場，其出發(fā)點是真空中的麥克斯韋方程組3.研究方法:不直接求輻射場，而是先求輻射勢，再由勢來求場第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三研究思路以真空中的麥?zhǔn)戏匠虨橐罁?jù)引入電磁場的矢勢和標(biāo)勢導(dǎo)出電磁場的矢勢和標(biāo)勢遵循的微分方程達(dá)朗貝爾方程求出達(dá)朗貝爾方程的解推遲勢利用推遲勢討論小區(qū)域電荷電流在遠(yuǎn)處輻射的電磁場將推遲勢作多級展開，得到電偶極輻射電磁場以及平均能流密度和輻射功率的公式第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三§5.1電磁場的矢勢和標(biāo)勢內(nèi)容概要

1、引入電磁場的矢勢和標(biāo)勢2、規(guī)范變換和規(guī)范不變性3、達(dá)朗貝爾方程第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、用勢描述真空中的電磁場1.預(yù)備知識（矢量場的兩個基本定理）

表明矢量場的旋度是無源場也可以理解為:無源場可以表示為另一矢量場的旋度表明標(biāo)量場的梯度是無旋場也可以理解為:無旋場可以表示為另一標(biāo)量場的梯度第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、用勢描述真空中的電磁場2.引入勢的依據(jù)(真空中的麥克斯韋方程組)第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3.電磁場矢勢的引入對于磁場:無論變化還是穩(wěn)恒均有A的物理意義：在任意時刻，A沿任一閉合回路的線積分等于該時刻通過以閉合回路為邊界的任意曲面的磁通量。注：從矢勢A的引入可以看出，電磁場的矢勢與靜磁場的矢勢唯一的區(qū)別就在于，電磁場的矢勢是隨時間變化的。:矢(量)勢第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三4.電磁場標(biāo)勢的引入對于靜電場:對于變化電磁場:靜電場::標(biāo)勢(電勢)不能象靜電場那樣直接引入標(biāo)量勢函數(shù)第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

在變化電磁場情況，，不能象靜電場那樣直接引入標(biāo)量勢函數(shù)。引入標(biāo)量勢函數(shù)4.電磁場標(biāo)勢的引入

j是標(biāo)量，仍稱為（標(biāo)）勢函數(shù)。一般地，j不僅與E有關(guān)，而且與B有關(guān)，不再具有電勢的物理意義。第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三任何電磁場可以用一標(biāo)量場和一矢量場所描述:說明：在變化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，則電場的表示式必然包含矢勢A在內(nèi)。變化的電磁場，E不再是保守力場，不存在勢能的概念，標(biāo)勢失去作為電場中的勢能的意義。

當(dāng)A與時間無關(guān)，即?A/?t=0時，這時就直接歸結(jié)為電勢。第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三任何電磁場可以用一標(biāo)量場和一矢量場所描述:問題：若場確定，則勢能唯一確定嗎？答案：用矢勢A和標(biāo)勢描述電磁場不是唯一的.求解電磁場的問題，變?yōu)榍蠼鈩莺瘮?shù)的問題第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三二、規(guī)范變換和規(guī)范不變性規(guī)范設(shè)為任意時空函數(shù),作變換即(A’,’)與(A,)描述同一電磁場.變換式稱為勢的規(guī)范變換.當(dāng)勢作規(guī)范變換時,所有物理量和物理規(guī)律都應(yīng)該保持不變,這種不變性稱為規(guī)范不變性.規(guī)范變換1、規(guī)范變換和規(guī)范不變性第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2.規(guī)范對于同一電磁場，電磁勢的選擇不是唯一的。要確定電磁勢，需要給出一定的附加條件或限制，這些附加條件或限制稱為規(guī)范（1）引入規(guī)范可從研究的散度入手，即限制選擇是任意的，但若選擇的好，可使電磁場的解簡單，基本方程對稱或物理意義明顯。第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2.規(guī)范（2）兩種常用規(guī)范

庫侖規(guī)范

洛侖茲規(guī)范優(yōu)點：簡化矢勢和標(biāo)勢滿足的的微分方程，使矢勢和標(biāo)勢滿足的的微分方程對稱第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第五章

電磁波的輻射第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三回顧本章的研究思路以真空中的麥?zhǔn)戏匠虨橐罁?jù)引入電磁場的矢勢和標(biāo)勢導(dǎo)出電磁場的矢勢和標(biāo)勢遵循的微分方程達(dá)朗貝爾方程求出達(dá)朗貝爾方程的解推遲勢利用推遲勢討論小區(qū)域電荷電流在遠(yuǎn)處輻射的電磁場將推遲勢作多級展開，得到電偶極輻射電磁場以及平均能流密度和輻射功率的公式第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三.矢勢和標(biāo)勢滿足的的微分方程1.推導(dǎo)依據(jù):

真空中麥克斯韋方程組、場與勢的關(guān)系，所取的規(guī)范第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三.矢勢和標(biāo)勢滿足的的微分方程1.推導(dǎo)推導(dǎo)過程：（1）第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三而：則有：（2）（1）一般情況下，真空中電磁場的矢勢和標(biāo)勢滿足的的微分方程第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三2.兩種規(guī)范下的電磁勢方程

庫侖規(guī)范（1）（2）（1）矢勢和標(biāo)勢滿足的的微分方程：（2）庫侖規(guī)范下勢的方程第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三若采用庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范的特點是標(biāo)勢所滿足的方程與靜電場情形相同，其解是庫侖勢。解出后代入第一式可解出A，因而可以確定輻射電磁場。第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

洛侖茲規(guī)范（1）（2）稱為達(dá)朗貝爾方程（2）（1）矢勢和標(biāo)勢滿足的的微分方程：洛侖茲規(guī)范下勢的方程第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三稱為達(dá)朗貝爾方程洛侖茲規(guī)范下勢的方程洛侖茲規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它們求出的及均為波動形式，反映了電磁場的波動性。電荷產(chǎn)生標(biāo)勢波動，電流產(chǎn)生矢勢波動。達(dá)朗貝爾方程實質(zhì)上是用勢表示的電動力學(xué)的基本方程。當(dāng)電場,磁場不隨時間變化時，與時間無關(guān)，

方程變?yōu)殪o場的泊松方程兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立，求出一個解，另一個解就迎刃而解。第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三推遲勢推遲勢達(dá)朗貝爾方程稱為解稱為第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三§5.2推遲勢

本節(jié)主要是求解達(dá)朗貝爾方程，并闡明其解推遲勢的物理意義。第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三得出達(dá)朗貝爾方程解(推遲勢)的思路

電磁場具有疊加性，故交變電磁場中的矢勢和標(biāo)勢均滿足疊加原理。因此，對于場源分布在有限體積內(nèi)的勢，可先求出場源中某一體積元所激發(fā)的勢，然后對場源區(qū)域積分，即得出總的勢。又因矢勢的方程與標(biāo)勢的方程在形式上相同，故只需求出的方程的解即可。第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三電荷連續(xù)分布的帶電體電勢的求解dqＰ將帶電體分成很多電荷元dq任取dq求出它在空間任意點P的電勢對整個帶電體積分,可得總電勢：第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、推遲勢的推導(dǎo):思想:標(biāo)勢和矢勢數(shù)學(xué)形式完全相同，可通過先求出標(biāo)勢在通過替代求出矢勢位于坐標(biāo)原點的點電荷激發(fā)的標(biāo)勢位于任意位置的點電荷激發(fā)的標(biāo)勢任意電荷分布激發(fā)的標(biāo)勢微元分析法隨時間變化，任意分布的電荷源

的求解分三步走：第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

位于坐標(biāo)原點的點電荷Q(t)激發(fā)的勢ＯＯ表示場點在t時刻的勢是位于坐標(biāo)原點的電荷Q在時刻激發(fā)的表示場點在t時刻的勢是位于的電荷Q在時刻激發(fā)的位于任意位置的點電荷Q(t)激發(fā)的勢第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三任意電荷分布激發(fā)的標(biāo)勢Ｏ疊加推遲勢通過替代求出矢勢第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一般變化電流分布J(x’,t)所激發(fā)的矢勢為一般變化電荷分布(x’,t)所激發(fā)的標(biāo)勢為推遲勢任意電荷電流系統(tǒng)激發(fā)的勢令r為源點x’到場點x的距離第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一個電荷電流系統(tǒng)t時刻，在空間x點的勢（電磁場）不是決定與同一時刻t的電荷分布，而是決定于較早時刻（t-r/c）的電荷電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了r/c。二、推遲勢的物理意義推遲勢說明電磁作用具有一定的傳播速度C第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三某點x在某時刻t的場值，不依賴于同一時刻t的電荷電流分布,而是決定于較早時刻t-r/c的電荷電流分布。而且源的位置不同，所提前的時間也不同。即x點t時刻的勢，是由不同地點的源在不同時刻激發(fā)的。第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三麥克斯韋方程組:

洛侖茲規(guī)范推遲勢達(dá)朗貝爾方程稱為解稱為反過來，推遲勢滿足洛倫茲條件第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三驗證A和滿足洛倫茲條件.證明如下:設(shè).對r的函數(shù)而言,有,因此第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三驗證A和滿足洛倫茲條件.證明如下:設(shè).對r的函數(shù)而言,有,因此第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三回顧本章的研究思路以真空中的麥?zhǔn)戏匠虨橐罁?jù)引入電磁場的矢勢和標(biāo)勢導(dǎo)出電磁場的矢勢和標(biāo)勢遵循的微分方程達(dá)朗貝爾方程求出達(dá)朗貝爾方程的解推遲勢利用推遲勢討論小區(qū)域電荷電流在遠(yuǎn)處輻射的電磁場將推遲勢作多級展開，得到電偶極輻射電磁場以及平均能流密度和輻射功率的公式第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上，一個做變速運動的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。下面僅討論電荷電流分布以一定頻率做周期運動，且電荷、電流系統(tǒng)線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)到觀測點的距離的情況。第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三§5.3.1

諧變電流電荷分布的多極輻射場第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一、諧變電流、電荷的表示隨時間正弦或余弦變化說明：對諧變源，給定電流分布，電荷分布也即給定二、諧變電流、電荷的輻射場的表示對諧變源的定態(tài)電磁場求解歸結(jié)為：類比時諧波的表示第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三對于真空中的輻射場:證明即得:第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三諧變電流、電荷的輻射場的表示對諧變源的定態(tài)電磁場求解歸結(jié)為：第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三.小區(qū)域電流遠(yuǎn)區(qū)輻射場的矢勢1.定態(tài)輻射場的矢勢表示矢勢空間部分Ｏ如果令則有第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三.小區(qū)域電流遠(yuǎn)區(qū)輻射場的矢勢1.定態(tài)輻射場的矢勢表示矢勢空間部分穩(wěn)恒磁場的矢勢式中因子eikr是推遲作用因子，它表示電磁波傳到場點時有相位滯后kr。第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三在矢勢公式中,存在三個線度:電荷分布區(qū)域的線度l空間電磁波波長=2/k電荷到場點的距離r2.小區(qū)域電流研究區(qū)域的劃分PO

小區(qū)域電荷電流系統(tǒng)在物理上要求：

且第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三考慮小區(qū)域內(nèi)電流輻射：按r和的關(guān)系,可分成研究區(qū)域劃分為三個區(qū)域：

(3)遠(yuǎn)區(qū)(輻射區(qū))

r>>(1)近區(qū)

r<<

(2)感應(yīng)區(qū)(過渡區(qū))

r~2.小區(qū)域電流研究區(qū)域的劃分小區(qū)域電荷電流系統(tǒng)輻射場遠(yuǎn)區(qū)滿足：小區(qū)域電荷電流系統(tǒng)輻射場近區(qū)滿足：

第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三輻射場三個區(qū)的物理特征：輻射場近區(qū)（又叫似穩(wěn)區(qū)）

與靜電場和靜磁場結(jié)果類似。在近區(qū)的電磁場保持穩(wěn)恒場的主要特點。輻射場遠(yuǎn)區(qū)（又叫輻射區(qū)）

由于推遲效應(yīng)，遠(yuǎn)區(qū)輻射場具有橫向電磁場特征。輻射場感應(yīng)區(qū)（又叫過渡區(qū)）

它介于似穩(wěn)區(qū)和輻射區(qū)的過渡區(qū)域中。第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三研究小區(qū)域電流遠(yuǎn)區(qū)輻射場小區(qū)域電荷電流系統(tǒng)輻射場遠(yuǎn)區(qū)滿足：第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三研究小區(qū)域電流遠(yuǎn)區(qū)輻射場由二項式展開得到（略去等高次項）：由圖可知：n為場點矢徑的方向上的單位矢量。

第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三展開式的各項對應(yīng)于各級電磁多極輻射3、小區(qū)域電流遠(yuǎn)區(qū)輻射場的矢勢展開結(jié)果:第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三§5.3.2電偶極輻射第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三小區(qū)域電流遠(yuǎn)區(qū)輻射場的矢勢展開結(jié)果::矢勢級數(shù)快速收斂（

）近似公式可以僅取積分中的第一項，有：由page46,習(xí)題5可知表明體系的總電流等于體系總電偶極矩的變化率A(1)為電偶極輻射第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三一.電偶極輻射場的計算1、計算思想2、兩個運算公式OP第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三考慮遠(yuǎn)區(qū)條件，，即，所以有：對于:第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3、計算結(jié)果:第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三計算結(jié)果:討論:如果取球坐標(biāo)，原點在電荷電流分布區(qū)域內(nèi)，并以p方向為極軸，則由上式可知：第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三電偶極輻射場（1）電場沿經(jīng)線振蕩，磁場沿緯線振蕩，傳播方向、電場方向、磁場方向相互正交構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；結(jié)論:第五十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三（2）電場、磁場正比于，因此它是空間傳播的球面波，且為橫電磁波（TEM波），在時可以近似為平面波；結(jié)論：（3）注意如果（）不能被滿足，可以證明電場不再與傳播方向垂直，這時傳播的是橫磁波（TM波）第五十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三二、輻射性能的幾個重要參數(shù)衡量一個帶電系統(tǒng)輻射性能的幾個重要參數(shù)，是它的輻射功率和輻射角分布，這些問題都可以通過能流密度求得答案。1、輻射場的平均能流密度電偶極輻射的平均能流與方向有關(guān)與電偶極矩