等差數(shù)列教學(xué)案例分析及教學(xué)反思

《中職學(xué)校人才培養(yǎng)與企業(yè)需求銜接研究》教學(xué)案例教學(xué)案例《等差數(shù)列》教學(xué)案例一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是《中等職業(yè)教育規(guī)劃教材》（人教版）第五章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。數(shù)列是中專數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我所教的學(xué)生是我校2012級計算機(jī)2班的學(xué)生，經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。三、設(shè)計思想1．教法⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動建構(gòu)；有利突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。⑵分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學(xué)生的積極性。⑶講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點，突破難點。2．學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設(shè)置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。四、教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想，會求等差數(shù)列的公差及通項公式，能在解題中靈活應(yīng)用，初步引入“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\用；并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；使學(xué)生認(rèn)識事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。并通過一定的實例激發(fā)同學(xué)們的民族自豪感和愛國熱情。五、教學(xué)重點與難點重點：①等差數(shù)列的概念。②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。難點：①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)情境設(shè)計和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情景上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。傾聽課堂引入探索研究由學(xué)生觀察分析并得出答案：在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，___,___,___,___,…2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設(shè)置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年10

00010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360。觀察分析，發(fā)表各自的意見引向課題發(fā)現(xiàn)規(guī)律思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看這些數(shù)列有什么共同特點呢？通過分析，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的探究知識的興趣，引導(dǎo)揭示數(shù)列的共性特點。總結(jié)提高[等差數(shù)列的概念]對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義：等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。學(xué)生認(rèn)真閱讀課本相關(guān)概念，找出關(guān)鍵字。通過學(xué)生自己閱讀課本，找出關(guān)鍵字，提高學(xué)生的閱讀水平和思維概括能力，學(xué)會抓重點。提問：如果在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由學(xué)生回答：因為a，A，b組成了一個等差數(shù)列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有讓學(xué)生參與到知識的形成過程中，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項?？磥?，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則深入探究，得到更一般化的結(jié)論引領(lǐng)學(xué)習(xí)更深入的探究，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。總結(jié)提高[等差數(shù)列的通項公式]對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。⑴、我們是通過研究數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通項公式：①這個數(shù)列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是②這個數(shù)列的第一項是48，第2項是53（=48+5），第3項是58（=48+5×2），第4項是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是③這個數(shù)列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是④這個數(shù)列的第一項是10072，第2項是10144（=10172+72），第3項是10216（=10072+72×2），第4項是10288（=10072+72×3），第5項是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是學(xué)會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并加以總結(jié)。⑵、那么，如果任意給了一個等差數(shù)列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：所以……引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性分析與推導(dǎo)，從而得出公式?？偨Y(jié)提高思考：那么通項公式到底如何表達(dá)呢？……進(jìn)一步的分析。得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項和公差d，那么這個等差數(shù)列的通項就可以表示出來了。思考，并發(fā)表各自的意見。讓學(xué)生有自主思考的時空。應(yīng)用鞏固例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項.⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？讓兩個學(xué)生分別對這兩小題加以分析。讓學(xué)生參與課堂。分析：⑴要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；⑵這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項公式，并且需要注意的是，項數(shù)是否有意義。解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。例題評述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關(guān)于、、d、n（獨立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當(dāng)判斷是第幾項的項數(shù)時還應(yīng)看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。聆聽教師點評通過教師點評，提高學(xué)生對關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”第1題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的知識應(yīng)用水平例2．某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費.令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費答：需要支付車費23.2元。學(xué)以致用，將所學(xué)知識應(yīng)用到具體生活中去，加深對概念的理解。例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡單應(yīng)用，要學(xué)會從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識解決實際問題。聆聽教師點評通過教師點評，提高學(xué)生對關(guān)鍵問題的認(rèn)知水平。隨堂練習(xí)：課本45頁“練習(xí)”第2題；完成練習(xí)講練結(jié)合，有利提高學(xué)生的知識應(yīng)用水平例3已知數(shù)列的通項公式為其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？分析思考，然后分組討論，讓兩組學(xué)生代表發(fā)表自己的見解。培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，在小組討論中提高組長的組織與歸納組內(nèi)成員想法的能力。分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項（n＞1），求差得它是一個與n無關(guān)的數(shù).所以是等差數(shù)列。課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？這個數(shù)列的首項公差。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.例題評述：通過這個例題我們知道判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。對所得結(jié)論進(jìn)行更深入一步的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。探索研究引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖研究完成以下探究：⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項公式為的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？⑵在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，……時，對應(yīng)的可以利用通項公式求出。經(jīng)過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；⑵畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)的點的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應(yīng)的點的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。學(xué)生動手畫圖，并進(jìn)行學(xué)習(xí)小組討論，發(fā)表見解。通過學(xué)生動手作圖，并加以對比，讓學(xué)生體會數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。課堂小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容為：①等差數(shù)列定義：即(n≥2)②等差數(shù)列通項公式：(n≥1)推導(dǎo)出公式：以學(xué)習(xí)小組為單位，在學(xué)習(xí)小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小組代表總結(jié)歸納。學(xué)生自己小結(jié)，使學(xué)生對自己所學(xué)知識有更深刻的認(rèn)識。評價設(shè)計1、已知是等差數(shù)列.⑴是否