【高中數(shù)學】充分條件與必要條件（第二課時） 2023-2024學年高一數(shù)學同步備課（人教A版2019必修第一冊）

第一章

集合與常用邏輯用語1.4.2充要條件高中數(shù)學/人教A版/必修一知識篇素養(yǎng)篇思維篇1.4.2充要條件知識回顧

下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件嗎？(2)若m>2,則m>3;(1)若x=-1，則x2=1;

p是q的必要條件嗎？

pqqp充要條件1p是q的充分條件

p是q的必要條件

p是q的

充

要

條

件

p

q表示p

q,且q

p

充要條件有時可以改用“當且僅當”來表示

p與q的邏輯關系2思考條件p與條件q之間有幾種不同的邏輯關系？①若p

q

，且qp

，則p是q的充分不必要條件；②若pq，且qp

，則p是q的必要不充分條件；④若p

q，且qp

，則p是q的充要條件.

③若p

q

，且qp

，則p是q的即不充分也不必要條件；練一練1.在下列電路圖中,開關A閉合是燈泡B亮的什么條件:⑴如圖①所示,開關A閉合是燈泡B亮的_____

_____條件;⑵如圖②所示,開關A閉合是燈泡B亮的_____

_____條件;⑶如圖③所示,開關A閉合是燈泡B亮的_____

_____條件;⑷如圖④所示,開關A閉合是燈泡B亮的_____

_____條件.充分不必要必要不充分

充

要既不充分也不必要1)p：同位角相等；

q：兩直線平行2)p：兩個角是對頂角；

q：兩個角相等3)p：兩個三角形周長相等；

q：兩個三角形面積相等4)p：兩個三棱錐底面積相等；

q：兩個三棱錐體積相等2.下列各小題中，p是q的什么條件？練一練概括歸納

已知

p：x∈A；

q：x∈B

若A?B，則p是q的充分不必要條件；若B?A，則p是q的必要不充分條件；若A=B，

則p是q的充要條件；若A?B，且B?A,

則p是q的既不充分也不必要條件.ABxBA練一練1.下列各小題中，p是q的什么條件？

提示：先將符號語言翻譯成圖形語言，再將圖形語言對應成邏輯語言.2.使不等式

|a|<3成立的一個必要不充分條件是()

A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<4練一練提示：

在數(shù)軸上，-3<a<3是所選項的子集.知識篇素養(yǎng)篇思維篇1.4.2充要條件

（一）充要條件的判斷示例方法核心素養(yǎng)之

數(shù)學建模

+邏輯推理分析充要條件判斷的兩個方面：(1)pq？(2)qp？

“a<0”是“ax2+1=0至少有一個負根”的（

）.A.充要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要D.不充分不必要

對應練習：

若a,b∈R，則“a3>b3”是“a>b”成立的（

）

A.充要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要

D.不充分不必要(預備知識：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))示例方法核心素養(yǎng)之

數(shù)學建模

+邏輯推理分析充要條件證明方式一：(1)先證充分性;(2)再證必要性.

求證：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一負根的充要條件是ac<0.

（二）充要條件的證明對應練習：

提示：

無論證充分性還是必要性，都要針對a,b的正負情況進行分類證明.示例方法核心素養(yǎng)之

邏輯推理分析充要條件證明方式二：對條件進行等價變形.

注意

（二）充要條件的證明對應練習：已知ab≠0，求證：a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0(預備知識：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))知識篇素養(yǎng)篇思維篇1.4.2充要條件

充要條件的應用問題數(shù)學思想之

函數(shù)與方程思想＋數(shù)形結合分析１．已知關于x的方程x2+６x+k=0有兩個不相等的負實數(shù)根，

求參數(shù)ｋ的取值范圍.從數(shù)的角度看：方程x2+6x+k=0有兩個不相等的負實數(shù)根的充要條件是：判別式為正、兩根之和為負且兩根之積為正，易得0<k<9.從形的角度看：函數(shù)y=x2+6x+k圖像與x軸負半軸有兩個交點，充要條件是：對稱軸在y軸左側，頂點在x軸下方，與y軸交點在x軸上方．可求得0<k<9方法等價變形的過程，可以是將自然語言翻譯成符號語言，也可以是將自然語言翻譯成圖形語言，再翻譯成符號語言．對應練習：求關于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有一個根大于1，另一個根小于1的充要條件.提示：

數(shù)的角度：x1-1<0,且x2-1>0（前提是判別式為正）

形的角度：函數(shù)y=x2+(2m-1)x+m2圖像與x軸兩個交點位于x=1異側

充要條件的應用問題數(shù)學思想之

函數(shù)與方程思想＋分類討論分析2．求關于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和為2的充要

條件.

方法1.系數(shù)含有參數(shù)的方程，要針對不同次數(shù)進行分類討論；2.二次方程兩根之和的前提是方程有根，即判別式非負！課堂小結一、本節(jié)課學習的新知識

充要條件的定義充要條件的判斷方法充要條件的證明方法二、本節(jié)課提升的核心素養(yǎng)

邏