第3章-矩陣及其運(yùn)算

第3章矩陣及其運(yùn)算3.1基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)基本要求：1．掌握矩陣的定義.2．掌握矩陣的運(yùn)算法則.3．掌握伴隨矩陣的概念及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法.4．掌握矩陣秩的概念及求矩陣秩的方法.5．

掌握初等變換和初等矩陣的概念，能夠利用初等變換計(jì)算矩陣的秩，求可逆矩陣的逆矩陣.6．掌握線形方程組有解得判定定理及其初等變換解線形方程組的方法.

重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是矩陣定義，矩陣乘法運(yùn)算，逆矩陣的求法，矩陣的秩，初等變換及線性方程組的解.難點(diǎn)是矩陣乘法，求逆矩陣的伴隨矩陣方法.

3.2基本內(nèi)容

3.2.1

重要定義定義3.1由個(gè)數(shù)組成的行列的數(shù)表成為一個(gè)行列矩陣，記為簡(jiǎn)記為，或,,注意行列式與矩陣的區(qū)別：（1）

行列式是一個(gè)數(shù)，而矩陣是一個(gè)數(shù)表.（2）

行列式的行數(shù)、列數(shù)一定相同，但矩陣的行數(shù)、列數(shù)不一定相同.（3）

一個(gè)數(shù)乘以行列式，等于這個(gè)數(shù)乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一個(gè)數(shù)乘以矩陣等于這個(gè)數(shù)乘以矩陣的所有元素.（4）

兩個(gè)行列式相等只要它們表示的數(shù)值相等即可，而兩個(gè)矩陣相等則要求兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相等.（5）

當(dāng)時(shí)，有意義，而無(wú)意義.的矩陣叫做階方陣或階方陣.一階方陣在書(shū)寫(xiě)時(shí)不寫(xiě)括號(hào)，它在運(yùn)算中可看做一個(gè)數(shù).對(duì)角線以下（上）元素都是0的矩陣叫上（下）三角矩陣，既是上三角陣，又是下三角的矩陣，也就是除對(duì)角線以外的元素全是0的矩陣叫對(duì)角矩陣.在對(duì)角矩陣中，對(duì)角線上元素全一樣的矩陣叫數(shù)量矩陣；數(shù)量矩陣中，對(duì)角線元素全是1的階矩陣叫階單位矩陣，常記為（或），簡(jiǎn)記為（或），元素都是0的矩陣叫零矩陣，記為，或簡(jiǎn)記為.行和列分別相等的兩個(gè)矩陣叫做同型矩陣，兩個(gè)同型矩陣的且對(duì)應(yīng)位置上的元素分別相等的矩陣叫做相等矩陣.設(shè)有矩陣=，則稱為的負(fù)矩陣.若是方陣，則保持相對(duì)元素不變而得到的行列式稱為方針的行列式，記為或.將矩陣的行列式互換所得到的矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣，記為或.若方陣滿足，則稱為對(duì)稱矩陣，若方陣滿足，則稱為反對(duì)稱矩陣.若矩陣的元素都是實(shí)數(shù)，則矩陣稱為實(shí)矩陣.若矩陣的元素含有復(fù)數(shù)，則稱矩陣為復(fù)矩陣，若=是復(fù)矩陣，則稱矩陣（其中為的共軛矩陣，記為.定義3.2對(duì)于階矩陣，如果存在階矩陣，使得，則稱方陣可逆，稱為的逆矩陣，記做.對(duì)于方陣，設(shè)的代數(shù)余子式為，則矩陣稱為的伴隨矩陣，要注意伴隨矩陣中元素的位置.定義3.3設(shè)有矩陣，如果：（1）

在中有一個(gè)階子式不為零.（1）

非奇次線形方程組有解的充要條件是=，當(dāng)=時(shí)，方程組有無(wú)窮多解；當(dāng)是=時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解.（為系數(shù)矩陣，為增廣矩陣.）（2）

齊次線形方程組一定有零解；如果，則只有零解，它有非零解的充分必要條件是.3.2.3

主要運(yùn)算1．矩陣的運(yùn)算法則：（1）

加法法則：（加法滿足交換律）；（加法滿足結(jié)合律）；；；若，則（移項(xiàng)法則）.以上運(yùn)算法則說(shuō)明了矩陣相加、減的運(yùn)算有類(lèi)似于初等代數(shù)中相加、減的運(yùn)算法則，矩陣相加、減是不難掌握的，只有注意矩陣間是否可以相加、減就可以了.（2）

數(shù)乘矩陣的運(yùn)算法則：，其中表示數(shù)，、表示同型矩陣.注意：，則或；或且，換句話說(shuō)：若是零矩陣，則數(shù)是0，矩陣是零矩陣至少有一個(gè)成立.（3）

矩陣相乘的運(yùn)算法則：（矩陣乘法對(duì)加法滿足分配律）；（矩陣乘法滿足結(jié)合律）；，（乘法滿足數(shù)因子的結(jié)合律）.說(shuō)明：1）

左邊矩陣的列數(shù)必須與右邊矩陣的行數(shù)相等才能相乘.矩陣乘法不滿足交換律，也就是說(shuō)不一定成立，若成立的話，則稱，可交換.2）

顯然有，當(dāng)是方陣時(shí)，有.這就是說(shuō)單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用.要注意：是錯(cuò)誤的，正確的寫(xiě)法應(yīng)是，同樣可知.3）

按矩陣乘法的定義，只有方陣才能自乘，故若是階方陣，定義：是整數(shù)）當(dāng)為整數(shù)時(shí)有由于矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)階矩陣與，一般來(lái)說(shuō).4）

伴隨矩陣的運(yùn)算法則：5）

方陣行列式的運(yùn)算法則：其中、市同階矩陣，是任一數(shù)，是的階數(shù).6）

轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算法則：是任一數(shù)），.7）

逆矩陣的運(yùn)算法則：；若可逆，則.8）

共軛矩陣的運(yùn)算法則：是任一數(shù)），.2．分塊矩陣的運(yùn)算:(1)將一個(gè)矩陣用橫線和縱線分成若干小塊，以這些小塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.(2)分塊矩陣有類(lèi)似于普通矩陣的運(yùn)算法則，只是進(jìn)行運(yùn)算的矩陣的分塊要恰當(dāng).(3)分塊對(duì)角方陣.若方陣的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零方陣子快，而其他子快都是零，即則稱為分塊對(duì)角方陣，分塊對(duì)角方陣的行列式.3.2.4

重要方法本章研討的是矩陣運(yùn)算，因此凡矩陣定義、矩陣運(yùn)算的定義、矩陣運(yùn)算法則等等，都是重要的，應(yīng)很好地掌握，只是有些較容易掌握，可少花時(shí)間和精力；有些較困難，應(yīng)認(rèn)真對(duì)待，多做練習(xí)，多思考，仔細(xì)鉆研范例，注意每一個(gè)特殊點(diǎn).1．

矩陣的運(yùn)算方法：（1）

以矩陣乘法為綱.矩陣運(yùn)算有些是較簡(jiǎn)單的，如矩陣的線性運(yùn)算、轉(zhuǎn)置等，而矩陣相乘就較困難了，可以這樣說(shuō)，有關(guān)矩陣乘法的運(yùn)算掌握好了，其他的矩陣運(yùn)算也就不在話下.因此對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，遇到矩陣乘法，就應(yīng)該多留心.（2）

邊學(xué)習(xí)，邊積累，逐步提高.這一章有很多定義（要重視定義?。?、很多運(yùn)算，每種運(yùn)算又有若干條運(yùn)算法則，一開(kāi)始掌握不了那么多，應(yīng)該學(xué)一點(diǎn)積累一點(diǎn)，直到全部掌握.例如：已知，計(jì)算行列式.如果先算出，再算出及，算出矩陣乘積，最后計(jì)算行列式；這樣比較麻煩，而且易錯(cuò)，如果利用方陣則行列式的性質(zhì)就簡(jiǎn)單多了.因，所以.2．

化矩陣為行階梯矩陣、行最簡(jiǎn)矩陣以及標(biāo)準(zhǔn)行的方法：一定要能熟練地用初等行變換化一個(gè)矩陣成為階梯矩陣（或行最簡(jiǎn)行）矩陣，因?yàn)榍竽婢仃?、矩陣的秩、解線性方程組等都要用到這樣的方法.3．

求逆矩陣的方法：（1）

用定義求.用存在方陣，使，則.此法要求對(duì)矩陣乘法比較熟練，對(duì)于元素比較特殊的矩陣，可直觀看出滿足條件的（只要驗(yàn)證或一個(gè)即可）.（2）

用，其中是的伴隨矩陣.要注意2階矩陣求伴隨矩陣的口訣：“主換位，副變號(hào).”例如，設(shè)，則.（3）

初等變換法.因?yàn)?所以把同時(shí)做初等行變換，當(dāng)處變?yōu)闀r(shí)，處得，即，同理.（4）

分塊矩陣求逆.對(duì)于分塊對(duì)角陣，若的逆都存在，則也存在，且有.若方陣且的逆都存在，則的逆也存在，且有4．

求矩陣秩的方法：（1）

初等變換法：因矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變，故可用初等變換求其秩.用初等變換求矩陣的秩，即可以用初等行變換，也可以用初等列變換，也可以交替進(jìn)行，把化成一個(gè)容易求秩甚至一看就知道其秩的矩陣，一般化為行階矩陣.若階梯矩陣行矩陣有個(gè)非零行，用這種方法求矩陣的秩，不需要計(jì)算行列式.（2）

計(jì)算子式法：根據(jù)矩陣的秩的定義，要求的秩，只需求出的不等于零的子式的最高階數(shù)即可.常由低階到高階計(jì)算不為零的子式的最高階數(shù).（3）

關(guān)于矩陣秩的幾個(gè)公式;1)

設(shè)為矩陣為矩陣，則+-2)

設(shè)均為矩陣，則.3)

設(shè)、，且，且.5．

關(guān)于解矩陣方程的方法：形如（3.1）（3.2）（3.3）的等式（其中為未知矩陣，、可逆）稱為矩陣方程.