2022年湖南省長沙市第二十二中學高三數(shù)學理月考試卷含解析

2022年湖南省長沙市第二十二中學高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D，選D.2.如圖，已知平面，，A、B是直線上的兩點，C、D是平面內(nèi)的兩點，且，，，，．P是平面上的一動點，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（▲）A．

B．

C．

D．1參考答案：B，，，，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則，設(shè)，整理可得：在內(nèi)的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，為二面角的平面角，當與圓相切時，最大，取得最小值此時故選

3.設(shè)f（x）=，則f（x）dx的值為（）A．+ B．+3 C．+ D．+3參考答案：A【考點】67：定積分．【分析】根據(jù)定積分性質(zhì)可得f（x）dx=+，然后根據(jù)定積分可得．【解答】解：根據(jù)定積分性質(zhì)可得f（x）dx=+，根據(jù)定積分的幾何意義，是以原點為圓心，以1為半徑圓面積的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案選：A．4.定義為兩個向量，間的“距離”，若向量，滿足：①；②；③對任意的，恒有，則（

）A．（A）

B．（B）

C．

D．參考答案：C略5.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則

判斷框內(nèi)應填人的條件是

A．i≤1006

B．i>1006

C．i≤1007

D．i>1007參考答案：C略6.拋物線y＝2x2的準線方程是(

)A.x＝－

B.x＝

C.y＝－

D.y＝參考答案：C略7.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入k的值為3，則輸出S的值為（）A．10 B．15 C．18 D．21參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的n，S的值，當n=5，S=15時，不滿足條件S＜kn=15，退出循環(huán)，輸出S的值為15，即可得解．【解答】解：模擬程序的運行，可得k=3，n=1，S=1滿足條件S＜kn，執(zhí)行循環(huán)體，n=2，S=3滿足條件S＜kn，執(zhí)行循環(huán)體，n=3，S=6滿足條件S＜kn，執(zhí)行循環(huán)體，n=4，S=10滿足條件S＜kn，執(zhí)行循環(huán)體，n=5，S=15此時，不滿足條件S＜kn=15，退出循環(huán)，輸出S的值為15．故選：B．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷退出循環(huán)的條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8.已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，且滿足，,，則的值為(

)

A.1

B.2

C.0?

D.-2?參考答案：A9.某公司一年需分x批次購買某種貨物，其總運費為萬元，一年的總存儲費用為x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則批次x等于(

)A．10 B．11 C．40 D．41參考答案：B【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【專題】計算題；函數(shù)思想；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用．【分析】利用條件，求出函數(shù)的解析式，通過基本不等式求解x的值．【解答】解：總運費與總存儲費用之和，，于是，當，即x=11時取等號，故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的解析式的求法，以及基本不等式的應用，考查計算能力．10.在一次馬拉松決定中，30名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示．1314150

0

3

4

5

6

6

8

8

81

1

1

2

2

2

3

3

4

4

5

5

50

1

2

2

3

3

3若將運動員按成績由好到差編為1～30號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取6人，則其中成績在區(qū)間[130,151]上的運動員人數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量，，則與的夾角為

．參考答案：12.曲線在點（0，1）處的切線方程為

.【解析】函數(shù)的導數(shù)為，所以切線斜率，切線方程為，即。參考答案：函數(shù)的導數(shù)為，所以切線斜率，切線方程為，即?！敬鸢浮?3.如圖，在等腰直角中，OA=OB=1，C為AB上靠近點的四等分點，過C作AB的垂線，P為垂線上任一點，則等于

.參考答案：-14.已知向量是第二象限角，，則=

▲

．參考答案：略15.把函數(shù)f（x）=圖象上各點向右平移?（?＞0）個單位，得到函數(shù)g（x）=sin2x的圖象，則?的最小值為．參考答案：【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)的最值．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用三角函數(shù)的恒等變換及化簡f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）圖象上各點向右平移?（?＞0）個單位，得到函數(shù)g（x）=sin[2（x﹣?）+]=sin（2x﹣2?+）=sin2x的圖象，則?的最小值為，故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．16.曲線f（x）=xlnx+x在點x=1處的切線方程為 ．參考答案：y=2x﹣1【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題．【分析】求導函數(shù)，確定切線的斜率，求得切點坐標，進而可求切線方程．【解答】解：求導函數(shù)，可得y′=lnx+2，x=1時，y′=2，y=1∴曲線y=xlnx+1在點x=1處的切線方程是y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1．故答案為：y=2x﹣1【點評】本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．17.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是，

其中=

；參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題13分)已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線。(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于A、B兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由。參考答案：（I）由得直線是拋物線的一條切線。所以所以橢圓…………5分（Ⅱ）當直線l與x軸平行時，以AB為直徑的圓方程為當直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓方程為所以兩圓的交點為點（0，1）猜想：所求的點T為點（0，1）.…………8分證明如下。當直線l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓過點（0，1）當直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線l為：由得設(shè)則所以，即以AB為直徑的圓過點（0，1）所以存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T.……13分19.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，（1）求a1，a2的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項an；（3）設(shè)cn=（3n+1）an，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式；等比關(guān)系的確定．【分析】（1）直接利用，通過n=1，2，求出a1，a2的值；（2）利用Sn﹣Sn﹣1=an，推出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求出通項公式．（3）求出Cn，利用錯位相減法，求出數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）由S1=2a1﹣2=a1得a1=2，S2=2a2﹣2=a1+a2，a2=4，（2）∵Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，Sn﹣Sn﹣1=an，n≥2，n∈N*，∴an=2an﹣2an﹣1，∵an≠0，∴，（n≥2，n∈N*）．即數(shù)列{an}是等比數(shù)列．．（3）cn=（3n+1）an=（3n+1）2n．Tn=4×2+7×22+10×23+…+（3n﹣2）2n﹣1+（3n+1）2n…①，2Tn=4×22+7×23+10×24+…+（3n﹣2）2n+（3n+1）2n+1…②，①﹣②得…=…=8﹣12+3?2n+1﹣（3n+1）?2n+1…=﹣4+（2﹣3n）?2n+1，…∴．

…20.已知：，：，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：由已知得，：或，從而，：，：，又由已知得，是的充分不必要條件，所以，略21.如圖,四棱錐P-ABCD中，，，，，．（1）求證：平面PBD⊥平面PBC；（2）在線段PC上是否存在點M，使得平面ABM與平面PBD所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．參考答案：（1）見證明；（2）見解析【分析】（1）利用余弦定理計算BC，根據(jù)勾股定理可得BC⊥BD，結(jié)合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空間坐標系，設(shè)λ，計算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夾角的余弦值的絕對值等于，解方程得出λ的值,即可得解．【詳解】（1）證明：因四邊形為直角梯形，且,,,所以，又因為。根據(jù)余弦定理得所以，故.又因為,,且,平面，所以平面，又因為平面PBC，所以（2）由（1）得平面平面,設(shè)為的中點，連結(jié)，因為,所以,,又平面平面，平面平面，平面.如圖，以為原點分別以，和垂直平面的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，假設(shè)存在滿足要求，設(shè)，即，所以易得平面的一個法向量為.設(shè)為平面的一個法向量，，由得，不妨取.因為平面與平面所成的銳二面角為，所以，解得，（不合題意舍去）.故存在點滿足條件，且.【點睛】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及平面與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，也可以建系來做。22.已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處切線的斜率為﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求證：（其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)）．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）通過求導得到函數(shù)f（x）的圖象在x=2處切線的斜率，由此求得a=2，得到函數(shù)解析式，然后利用分離變量法得到m≤2lnx﹣x2，利用導數(shù)求出g（x）=2lnx﹣x2在上的最大值得答案；（2）由f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的兩個根為x1，x2，把兩根代入方程后作差得到，求得，然后令換元，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出所構(gòu)造出函數(shù)的最大值小于等于0得答案．【解答】（1）解：由，得切線的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max．令g（x）=2lnx﹣x2，則，∵x∈，故g′（x）=0時，x=1．當時，g'（x）＞0；當1＜x＜e時，g'（x）＜0．故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=﹣