第3課高等數(shù)學(xué)建模案例課件

“物理學(xué)在二十世紀(jì)取得了令人驚訝的成功，它改變了我們對(duì)空間和時(shí)間、存在和認(rèn)識(shí)的看法，也改變了我們描述自然的基本語(yǔ)言。在本世紀(jì)行將結(jié)束之際，我們已擁有一個(gè)對(duì)宇宙的嶄新看法，在這個(gè)新的宇宙觀中物質(zhì)已失去了它原來(lái)的中心地位，取而代之的是自然界的對(duì)稱(chēng)性?！?/p>

——

斯蒂芬.溫伯格一、對(duì)稱(chēng)性的概念源于生活

日常生活中常說(shuō)的對(duì)稱(chēng)性，是指物體或一個(gè)系統(tǒng)各部分之間的適當(dāng)比例、平衡、協(xié)調(diào)一致，從而產(chǎn)生一種簡(jiǎn)單性和美感。這種美來(lái)源于幾何確定性，來(lái)源于群體與個(gè)體的有機(jī)結(jié)合。人體、動(dòng)植物結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)天竺葵長(zhǎng)春草建筑物(宮殿,寺廟,陵墓,教堂)左右對(duì)稱(chēng)

硬幣游戲中的數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)

如果你和你的對(duì)手準(zhǔn)備依次輪流將硬幣放在一個(gè)長(zhǎng)方形桌子上，使得硬幣不重疊，最后放上去的人為勝，開(kāi)始時(shí)你有權(quán)決定先放還是后放，為了贏得比賽，應(yīng)該采取什么樣的策略？如圖，先放在中心位置肯定能贏，策略如下：先放在中心位置一個(gè)，然后根據(jù)對(duì)手所放硬幣情況在中心對(duì)稱(chēng)位置放自己的硬幣，先在中心位置放的肯定能贏。介值定理定義:推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例1證由零點(diǎn)定理,例2證由零點(diǎn)定理,椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析：模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地1.四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;2.地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;3.地面相對(duì)平坦,使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地.問(wèn)題：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地放不穩(wěn)，然而只需稍挪動(dòng)幾次就可以使四腳同時(shí)著地，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)解釋該現(xiàn)象。模型構(gòu)成先用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱(chēng)性xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱(chēng)性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解下面給出一種簡(jiǎn)單的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考：建模的關(guān)鍵~進(jìn)一步討論：考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定席位分配問(wèn)題

某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問(wèn)三系各有多少個(gè)席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

表示某單位的席位數(shù)

表示某單位的人數(shù)

表示總?cè)藬?shù)

表示總席位數(shù)1.1問(wèn)題的提出20個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)?20=10乙6060/200(30/100)?20=6丙4040/200(20/100)?20=4現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%?20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%?20=3.410641064現(xiàn)象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個(gè)。（不公平！）為了在表決提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。21個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%?21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%?21=3.5701173現(xiàn)象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。T例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？建模分析目標(biāo)：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來(lái)衡量。系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)AB當(dāng)席位分配公平但通常不一定相等,席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對(duì)不公平標(biāo)準(zhǔn)A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2）相對(duì)不公平表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或?qū)是不公平的。定義“相對(duì)不公平”對(duì)A的相對(duì)不公平值；同理，可定義對(duì)B的相對(duì)不公平值為：對(duì)B的相對(duì)不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對(duì)不公平值討論當(dāng)席位增加1個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A還是B方。不失一般性，有下面三種情形。情形1說(shuō)明即使給A單位增加1席，仍對(duì)A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說(shuō)明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給A單位增加1席，對(duì)B又不公平。計(jì)算對(duì)B的相對(duì)不公平值情形3說(shuō)明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給B單位增加1席，對(duì)A不公平。計(jì)算對(duì)A的相對(duì)不公平值則這一席位給A單位，否則給B單位。結(jié)論：當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A單位，反之，應(yīng)分配給B單位。記則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱(chēng)為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為推廣有m方分配席位的情況設(shè)方人數(shù)為，已占有個(gè)席位，當(dāng)總席位增加1席時(shí)，計(jì)算則1席應(yīng)分給Q值最大的一方。從開(kāi)始，即每方至少應(yīng)得到以1席,(如果有一方1席也分不到,則把它排除在外.)舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4除雪機(jī)除雪模型

問(wèn)題：冬天的紛飛大雪，使公路上積起厚雪而影響交通。有條10公里長(zhǎng)的公路，由一臺(tái)除雪機(jī)負(fù)責(zé)清掃積雪。每當(dāng)路面積雪平均厚度達(dá)到0.5米時(shí)，除雪機(jī)就開(kāi)始工作。但問(wèn)題是開(kāi)始除雪后，大雪仍下個(gè)不停，使路上積雪越來(lái)越深，除雪機(jī)工作速度逐漸降低直到無(wú)法工作。

降雪的大小直接影響除雪機(jī)的工作速度，且

已了解下述情況和部分有關(guān)數(shù)據(jù)：

(1)在除雪機(jī)開(kāi)始工作后，降雪又持續(xù)了一個(gè)

問(wèn)：當(dāng)大雪以下列速度下一小時(shí)，除雪機(jī)能A)恒速R＝0.1厘米／秒(2)當(dāng)雪厚度達(dá)到1.5米時(shí)，除雪機(jī)無(wú)法工作。(3)除雪機(jī)在沒(méi)有雪的路上速度為10米／秒。小時(shí)。否完成10公里的除雪工作？B)恒速R＝0.025厘米／秒C)前30分鐘由零均勻增加到0.1厘米／秒，后30分鐘又均勻減少到零。

問(wèn)題的分析：

不妨假設(shè)除雪機(jī)的工作速度V（米／秒）與積由條件：雪厚度d（米）成正比，即

除雪機(jī)剛開(kāi)始工作時(shí)積雪厚度當(dāng)d＝0.5米，由下面還要描述下雪的厚度。

若下雪速度保持不變，記為R（單位.厘米／

由此得到除雪機(jī)工作t秒時(shí)雪的總厚度：d(t)＝0.5+Rt／100(5-3)

將(5-3)代入(5-2)得t秒時(shí)的除雪速度為

秒），則雪在t秒內(nèi)的厚度增加量為Rt厘米＝Rt／

100米。

(5-2)式知：除雪機(jī)的初始工作速度為6.7米／秒。

除雪機(jī)不得已停止工作的時(shí)間由V(t)＝0確

也可求出除雪機(jī)工作t秒時(shí)的行駛距離：現(xiàn)在根據(jù)上面的公式分析以下兩種情況：

定為:情形A：恒速R＝0.1厘米／秒

除雪機(jī)開(kāi)始工作的一小時(shí)內(nèi)，積雪的新增：除雪機(jī)在中途必會(huì)停止工作。停止工作的時(shí)間：

由(5-6)可知除雪機(jī)停止工作時(shí)所行駛的距離為

這時(shí)除雪機(jī)才行駛了三分之一的路程，雪深已

情形B：恒速R＝0.025厘米／秒。

除雪機(jī)停止工作的時(shí)間為：

此期間除雪機(jī)的行駛距離為達(dá)到1.5米，除雪機(jī)將無(wú)法工作。

這比要求清掃的10公里更長(zhǎng)，除雪機(jī)早已完

問(wèn)題：那么除雪機(jī)什么時(shí)間完成任務(wù)？

因?yàn)槌C(jī)的實(shí)際行駛路程：將此代入(5-6)有解方程得實(shí)際除雪時(shí)間：成任務(wù)。

這時(shí)除雪機(jī)的速度是米／秒

情形C：大雪前30分鐘由零均勻增加到0.1厘米／秒，后30分鐘又均勻減少到零。

用r(t)表示t時(shí)刻雪的速度，則下雪速度變化情況如圖2-15：由圖知式中，r(t)的單位為厘米／秒。

對(duì)下雪速度求積分就可得積雪厚度函數(shù)當(dāng)t≤1800秒（米）(5-7)即當(dāng)工作到30分鐘時(shí)，積雪厚度為1.4米。

當(dāng)t>1800秒

這說(shuō)明在雪停以前除雪機(jī)已經(jīng)停止工作。

那么除雪機(jī)是否中途被迫中斷工作？能工作多長(zhǎng)時(shí)間？已清掃了多長(zhǎng)路程？