佛山市順德區(qū)屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精佛山市順德區(qū)2020屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2.請將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A。 B.1 C. D。3【答案】B【解析】【分析】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，復(fù)數(shù)除法運算是將分母實數(shù)化，即．【詳解】∵,∴.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查運算求解能力。2。設(shè)集合，，若，則的取值范圍為(）A。 B.C。 D?！敬鸢浮緿【解析】分析】集合的交集運算即求兩個集合的公共元素,說明集合沒有公共元素,借助于數(shù)軸列式計算．【詳解】因為，所以，解得或?！军c睛】本題考查集合的交集運算，考查運算求解能力與推理論證能力。3.若曲線關(guān)于點對稱,則（)A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】正弦函數(shù)的對稱中心是，由“五點法”作圖得,將代入．【詳解】因為曲線關(guān)于點對稱,所以，又，所以時，時?！军c睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查運算求解能力.4.若，，則下列不等式一定成立是（)A。 B.C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】比較兩個數(shù)或式子大小，可以用不等式的性質(zhì)，如，則．【詳解】∵,,∴，∴。∵，∴，∴，∴B一定成立?！军c睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與不等式的交匯,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).5。如圖，是圓的一條直徑，，是半圓弧的兩個三等分點，則（）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】本題是用當(dāng)基底向量，來表示,所以先在中根據(jù)向量減法的三角形法則，用表示，再探究、的線性關(guān)系即可．【詳解】因為,是半圓弧的兩個三等分點，所以，且，所以.【點睛】本題考查平面向量的線性運算,考查運算求解能力與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.6。１７世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過:“幾何學(xué)里有兩件寶,一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）．例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，。根據(jù)這些信息，可得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在，由正弦定理可知:，即可求得值，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，即可求得答案。【詳解】在,由正弦定理可知:，，又.故選:D.【點睛】本題主要考查了根據(jù)正弦定理和誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是掌握正弦定理公式和熟練使用誘導(dǎo)公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.7。若函數(shù)在上的最大值為4,則的取值范圍為(）A。 B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】要求函數(shù)的最大值，可先分別探究函數(shù)與的單調(diào)性，從而得到的最大值．【詳解】易知在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞增.因為，，所以的取值范圍為?！军c睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.8.如圖，圓的部分圓弧在如圖所示的網(wǎng)格紙上（小正方形的邊長為1），圖中直線與圓弧相切于一個小正方形的頂點，若圓經(jīng)過點,則圓的半徑為(）A. B.8 C. D.10【答案】A【解析】【分析】題中的網(wǎng)格，相當(dāng)于給出了點的坐標(biāo)，由此可求出直線的方程、切點的坐標(biāo);要求圓的半徑,可考慮求出圓心坐標(biāo)，這樣圓心與點之間的距離即是半徑．【詳解】由圖可知，直線與圓切于點,即圓經(jīng)過點，又圓經(jīng)過點，所以圓的圓心在直線上。又直線過點,所以直線的斜率，因為直線與圓切于點，所以圓心在直線,即上。聯(lián)立得圓的圓心為，則圓的半徑為?！军c睛】本題考查直線與圓，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法。圓心的性質(zhì):圓心在弦的垂直平分線上；圓心與切點的連線與切線垂直（）．9。為了配平化學(xué)方程式，某人設(shè)計了一個如圖所示的程序框圖，則①②③處應(yīng)分別填入(）A.，， B.，，C.，, D。，，【答案】D【解析】【分析】利用元素守恒定律結(jié)合程序框圖結(jié)構(gòu)即可求解?！驹斀狻拷Y(jié)合元素守恒易知，，。故選：D【點睛】本題考查程序框圖，考查推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題。10.2019年7月1日迎來了我國建黨98周年，6名老黨員在這天相約來到革命圣地之一的西柏坡.6名老黨員中有3名黨員當(dāng)年在同一個班，他們站成一排拍照留念時,要求同班的3名黨員站在一起，且滿足條件的每種排法都要拍一張照片，若將照片洗出來，每張照片0.5元（不含過塑費），且有一半的照片需要過塑，每張過塑費為0。75元.若將這些照片平均分給每名老黨員（過塑的照片也要平均分）,則每名老黨員需要支付的照片費為()A。20。5 B.21元 C。21.5元 D。22元【答案】B【解析】【分析】要求每名老黨員需要支付的照片費用，需求出照片的總費用，為此又需求出照片的總數(shù)，根據(jù)排列組合知識可求出照片的總數(shù)．【詳解】利用捆綁法可求得照片的總數(shù)為，則每名老黨員需要支付的照片費為元.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,考查應(yīng)用意識與解決實際問題的能力。11。在正方體中,，,分別為,,的中點，現(xiàn)有下面三個結(jié)論：①為正三角形；②異面直線與所成角為；③平面.其中所有正確結(jié)論的編號是（)A.① B。②③ C。①② D。①③【答案】D【解析】【分析】①計算出三邊是否相等；②平移與，使得它們的平行線交于一點，解三角形求角的大?。虎厶骄科矫鎯?nèi)是否有與平行的直線．【詳解】易證的三邊相等，所以它是正三角形.平面截正方體所得截面為正六邊形,且該截面與的交點為的中點，易證,從而平面。取的中點,連接，，則，易知，所以與所成角不可能是，從而異面直線與所成角不是。故①③正確.【點睛】本題考查點、線、面的位置關(guān)系，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。12。函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為(）A。2 B。3 C.4 D。5【答案】C【解析】【分析】令，得,在坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖像，則兩個圖像的交點個數(shù)即的零點個數(shù)．【詳解】令，得。設(shè)，。。當(dāng)時，;當(dāng)時,；當(dāng)時，.所以的極小值為，極大值為,又,，且在,上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減。結(jié)合這兩個函數(shù)的圖象，可知這兩個函數(shù)的圖象共有4個交點,從而上共有4個零點.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.函數(shù)的零點方程的實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸交點的橫坐標(biāo)；常用解題方法有：直接作函數(shù)的圖像,直接解方程，分離參變量，分離函數(shù)(如本題:令得到,兩個函數(shù)）．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分。把答案填在答題卡中的橫線上.13。隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)購早已融入人們的日常生活.網(wǎng)購的蘋果在運輸過程中容易出現(xiàn)碰傷，假設(shè)在運輸中每箱蘋果出現(xiàn)碰傷的概率為0。7，每箱蘋果在運輸中互不影響，則網(wǎng)購2箱蘋果恰有1箱在運輸中出現(xiàn)碰傷的概率為_________.【答案】0。42【解析】【分析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解．【詳解】題目可轉(zhuǎn)化為獨立重復(fù)試驗，即重復(fù)做2次試驗，每次事件發(fā)生的概率為0。7，則恰有1次發(fā)生的概率為.【點睛】本題考查獨立重復(fù)試驗,考查應(yīng)用意識與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14.設(shè),,分別為內(nèi)角，，的對邊。已知，則______。【答案】2【解析】【分析】要求的值，可考慮將已知條件化成三角函數(shù)式的形式，利用三角恒等式化簡計算．【詳解】因為,，所以，所以?！军c睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力。15.已知直線與雙曲線的一條漸近線交于點，雙曲線的左、右頂點分別為，，若，則雙曲線的離心率為_____?！敬鸢浮炕颉窘馕觥俊痉治觥拷獬鳇c的坐標(biāo)，用兩點間距離公式求出,化簡整理出的關(guān)系式,從而求得離心率．【詳解】若漸近線的方程為,則點的坐標(biāo)為.因為，所以，則，所以，從而。若漸近線的方程為，則點的坐標(biāo)為，同理可得?！军c睛】本題考查雙曲線的離心率，考查運算求解能力與分類討論的數(shù)學(xué)思想.16.如圖,在四棱錐中，，平面，底面為正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則球的表面積的最小值為_____;當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時,二面角的正切值為_______.【答案】(1）.(2）。【解析】【分析】(1）．要求球的表面積的最小值，需求出球的表面積的算式，為此又需求出球的半徑，從而根據(jù)算式的特點，用函數(shù)的單調(diào)性或不等式求出最小值．(2)．列出四棱錐的體積的算式，求出體積取得最大值時變量的取值，從而求出二面角的正切值．【詳解】(1)．設(shè)，則.∵平面，∴，又，∴平面,則四棱錐可補形成一個長方體，球的球心為的中點,從而球的表面積為.(2）．四棱錐的體積，則,當(dāng)時，;當(dāng)時，.故，此時,.過作于，連接，則為二面角的平面角。∵，∴.【點睛】本題考查四棱錐的體積與球體的表面積,考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想以及直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)棱錐中有線面垂直的條件時，可考慮將棱錐補形成長方體，簡化思考便于計算．找二面角平面角的常用方法有：定義法，三垂線法．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每道試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一)必考題：共60分.17。在公差d的等差數(shù)列中,，，，且。（1）求的通項公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1)；(2）【解析】【分析】（1）由題意可得，或,，再由等差數(shù)列的通項公式可得所求；（2）運用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式,解方程即可得到所求，求得，再由裂項相消求和即可得解．【詳解】解：(1）∵,，，且，∴或當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）∵，,成等比數(shù)列，∴即，化為或，由(1)可得，，∴，則，故.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的裂項相消求和,以及分類討論思想和方程思想，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18。如圖,在三棱柱中，側(cè)面為菱形，為的中點，為等腰直角三角形,，，且.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值?！敬鸢浮?1)證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）要證明直線與平面垂直,需證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,為此需探究圖中的垂線關(guān)系；(2）由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再根據(jù)公式求出所求角的正弦值．【詳解】（1)證明：因為為的中點,，所以，連接，設(shè)，因為四邊形為菱形，為的中點，，所以。又為等腰直角三角形，，所以，所以，則。因為,所以平面。（2）解:以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，。設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得.設(shè)與平面所成角為，因為,所以.所以，即與平面所成角的正弦值為.【點睛】線面垂直的判定定理：若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么直線與平面垂直;平面的法向量為，則與平面所成角的正弦值為．19。某市為了解本市1萬名小學(xué)生的普通話水平，在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了普通話測試，測試后對每個小學(xué)生的普通話測試成績進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)總體（這1萬名小學(xué)生普通話測試成績)服從正態(tài)分布.（1）從這1萬名小學(xué)生中任意抽取1名小學(xué)生,求這名小學(xué)生的普通話測試成績在內(nèi)的概率；（2）現(xiàn)在從總體中隨機抽取12名小學(xué)生的普通話測試成績，對應(yīng)的數(shù)據(jù)如下：50，52,56,62，63，68，65，64，72，80，67，90.從這12個數(shù)據(jù)中隨機選取4個，記表示大于總體平均分的個數(shù)，求的方差。參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】(1）0.84；(2）【解析】【分析】(1)因為，且正態(tài)分布曲線關(guān)于直線是對稱的，所以由得;（2）即總體平均分，由題意列式計算即可．【詳解】解:(1）因為學(xué)生的普通話測試成績服從正態(tài)分布,所以，，所以.（2)因為總體平均分為,所以這12個數(shù)據(jù)中大于總體平均分的有3個，所以的可能取值為0，1，2，3則，,，，所以，。【點睛】寫分布列時，先確定隨機變量的所有可能取值，以及每個取值代表的意義，再求出相應(yīng)的概率，寫出分布列．隨機變量服從超幾何分布．20。已知橢圓的長軸長為，焦距為2,拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點。（1）求橢圓與拋物線的方程；(2)直線經(jīng)過橢圓的上頂點且與拋物線交于，兩點,直線，與拋物線分別交于點(異于點）,（異于點）,證明：直線的斜率為定值。【答案】(1)橢圓的方程為，拋物線的方程為；(2）見試題解析．【解析】【分析】（1）由題意可得，的值，運用，求得，可得橢圓的方程。由拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點，求得,即可得拋物線的方程。（2)設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，消去，可得,設(shè),，，,即，，直線方程為，直線方程為，聯(lián)立即，則，為方程兩根，解得，同理，計算即可。【詳解】(1）由題意可知,，即，，橢圓的方程為拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點即拋物線的方程為。（2）由題意可設(shè)直線的方程為，則，即直線與拋物線交于,兩點，解得且設(shè)，，，則，為方程的兩根，即，直線方程為：，直線方程為：將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立即，則與是該方程兩根.所以，即同理：直線方程為:時所以,直線的斜率為定值?！军c睛】本題考查求橢圓方程與拋物線方程，同時也考查了直線與拋物線位置關(guān)系中的定點定值問題，屬于較難的一道題。21。已知函數(shù)。（1）討論的單調(diào)性.（2）試問是否存在，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍;若不存在，請說明理由。【答案】（1）見解析；（2)存在；的取值范圍為?！窘馕觥俊痉治觥浚?），,所以得，所以通過對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論得的單調(diào)性；（2）假設(shè)存在滿足題意的的值，由題意需，所以由(1)的單調(diào)性求即可;又因為對恒成立，所以可以考慮從區(qū)間內(nèi)任取一個值代入，解出的取值范圍，從而將的范圍縮小減少討論.【詳解】解:（1），.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減,在，上單調(diào)遞增.(2）假設(shè)存在，使得對恒成立。則，即，設(shè)，則存在，使得，因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以時即.又因為對恒成立時,需，所以由（1）得:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增，所以,且成立，從而滿足題意.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以所以（*）設(shè)，，則在上單調(diào)遞增,因為，所以的零點小于2,從而不等式組(＊)的解集為，所以即.綜上，存在，使得對恒成立，且的取值范圍為?！军c睛】求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：（1）求定義域；（2）求；（3）討論的零點是否存在；若的零點有多個，需討論它們的大小關(guān)系及是否在定義域內(nèi)；（4)判斷在每個