系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其相互轉(zhuǎn)換

第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.結(jié)構(gòu)圖表示1.微分方程

2.傳遞函數(shù)3.狀態(tài)空間常用的連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有以下種。2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.微分方程（2-1）第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.傳遞函數(shù)（2-2）設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為則有（2-4）（2-3）第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.狀態(tài)空間（2-5）為描述系統(tǒng)的內(nèi)部特征，引入狀態(tài)變量。向量X表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三結(jié)構(gòu)圖4.結(jié)構(gòu)圖表示比較直觀，對(duì)單輸入單輸出線性系統(tǒng)可通過(guò)結(jié)構(gòu)圖變換很容易的傳遞函數(shù)；而對(duì)多輸入多輸出或具有非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)也可以通過(guò)面向結(jié)構(gòu)圖仿真方法得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。如圖2-1為線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖.1K2F1K1+-u圖2-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.可控標(biāo)準(zhǔn)型2.2實(shí)現(xiàn)問(wèn)題和取拉氏反變換，可得將（2-22）第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三取狀態(tài)變量為便可得到可控標(biāo)準(zhǔn)型第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.可觀標(biāo)準(zhǔn)型若取一組狀態(tài)變量（2-26）第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

寫(xiě)成矩陣形式為其中

（2-27）第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型

若傳遞函數(shù)的特征方程

（2-29）第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)（2-30）（2-31）第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三重根4.約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

式中若傳遞函數(shù)的特征方程有，其部分分式展開(kāi)比較復(fù)雜，下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。（2-32）第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三令（2-33）（2-34）第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

1.系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程+y圖2－1系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖向狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換

所謂模擬結(jié)構(gòu)圖，就是將整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)全部用積分環(huán)節(jié)及比例環(huán)節(jié)來(lái)表示。采用這種方法，首先要將結(jié)構(gòu)圖變換成模擬結(jié)構(gòu)圖的形式，然后根據(jù)積分環(huán)節(jié)選擇狀態(tài)變量。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)便為狀態(tài)方程的階數(shù)，由各環(huán)節(jié)連接關(guān)系可方便地得到和輸出方程。第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三首先將圖2-1系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為模擬結(jié)構(gòu)圖的圖形，如下所示。＋＋－－－－圖2-2系統(tǒng)模結(jié)構(gòu)擬圖若選取每個(gè)積分環(huán)節(jié)的輸入為ui，輸出為xi。則各積分環(huán)節(jié)的微分方程為第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（2-35）第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三若用矩陣表示，則有（2-36）（2-37）第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三式中

上式是一個(gè)典型的狀態(tài)方程。由圖2-2可見(jiàn)，輸出量,于是輸出方程（2-38）（2-39）式中第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.狀態(tài)方程的離散化2.4連續(xù)系統(tǒng)的離散化方程假設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為保持器TTux圖2-5采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（2-50）第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

（2-52）（2-55）（2-54）（2-53）對(duì)n及n+1兩個(gè)依次相連的采樣（2-54）減去（2-53）式與之積后得第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三將上式右邊積分進(jìn)行變量代換，即令，則得

式中（2-56）（2-58）（2-57）令兩次采樣點(diǎn)間輸入量表示為第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.傳遞函數(shù)的離散化保持器G（s）TuyT圖2-6連續(xù)系統(tǒng)的離散化

（2-59）第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三保持器的傳遞函數(shù)

脈沖傳遞函數(shù)

零階：一階：三角形：若選擇不同的保持器，則可有不同的G（z）。表2-1不同保持器的G（Z）第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖2-7加二次虛擬采樣器的離散化（a）（b）G（s）G（s）TTTTT（2-60）第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三舉例說(shuō)明其使用方法例

若

則根據(jù)表2-1，當(dāng)加零階保持器時(shí)，可得所以得差分方程為也可根據(jù)（2-60）式來(lái)求G(z)：其對(duì)應(yīng)差分方程為（2-62）（2-61）第二十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

（2）當(dāng)僅僅研究先行系統(tǒng)輸入－輸出關(guān)系時(shí)，可用傳遞函數(shù)。所謂傳遞函數(shù)，時(shí)當(dāng)物理系統(tǒng)的所有初始值為零時(shí)，其輸出和輸入拉普拉斯變換之比。為了便于使用面向一階微分方程的仿真程序,就是必要研究根據(jù)已知的系統(tǒng)傳遞函數(shù)求其顯影的狀態(tài)空間表達(dá)式，即實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，只得讀者注意的是，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題不是唯一的。本章小結(jié)（1）

一個(gè)物理系統(tǒng)可以用任意階微分方程來(lái)描述，經(jīng)適當(dāng)?shù)剡x擇變量還可以用一階微分方程組來(lái)表示；而微分方程數(shù)值解能處理地示一階微分方程組。應(yīng)此本章研究地重點(diǎn)是將物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)換為一階微分方程組。對(duì)先行系統(tǒng)就是求其狀態(tài)空間表達(dá)式。第二十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（4）

離散時(shí)間系統(tǒng)在仿真技術(shù)中扮演者重要角色。因此本章也將連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法作為一個(gè)重點(diǎn)，扼要地介紹了狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)地差