線性規(guī)劃的一些方法

線性規(guī)劃的一些方法第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究來學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

x~決策變量f(x)~目標(biāo)函數(shù)gi(x)0~約束條件第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三問題一

任務(wù)分配問題：某車間有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床，可用于加工三種工件。假定這兩臺(tái)車床的可用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺(tái)時(shí)數(shù)和加工費(fèi)用如下表。問怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費(fèi)用最低？線性規(guī)劃的兩個(gè)簡(jiǎn)單例子第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6?？山⒁韵戮€性規(guī)劃模型：第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三問題二：

某廠每日8小時(shí)的產(chǎn)量不低于1800件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員。一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件/小時(shí)，正確率98%，計(jì)時(shí)工資4元/小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15件/小時(shí)，正確率95%，計(jì)時(shí)工資3元/小時(shí)。檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該工廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？

設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為x1、x2人,則應(yīng)付檢驗(yàn)員的工資為：因檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失為：第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三故目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三線性規(guī)劃模型：第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點(diǎn)4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解x及最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值fval.第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

編寫M文件ex1.m如下：

c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三S.t.改寫為：例2問題一的解答第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三編寫M文件ex2.m如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三結(jié)果:x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004

即在甲機(jī)床上加工600個(gè)工件2,在乙機(jī)床上加工400個(gè)工件1、500個(gè)工件3，可在滿足條件的情況下使總加工費(fèi)最小為13800。第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例3問題二的解答改寫為：第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三編寫M文件ex3.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三結(jié)果為：x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9個(gè)一級(jí)檢驗(yàn)員。

注：本問題應(yīng)還有一個(gè)約束條件：x1、x2取整數(shù)。故它是一個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃問題。這里把它當(dāng)成一個(gè)線性規(guī)劃來解，求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：x1=9，x2=0，故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用專門的方法求解。第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、基本假設(shè)和符號(hào)規(guī)定第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}4.模型簡(jiǎn)化：第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三四、模型1的求解

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從a=0開始，以步長(zhǎng)△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三Ex4.m文件內(nèi)容a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三計(jì)算結(jié)果：第三十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三五、結(jié)果分析4.在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很快。在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很緩慢，所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是a*=0.6%，Q*=20%，所對(duì)應(yīng)投資方案為:

風(fēng)險(xiǎn)度收益x0x1x2x3x40.00600.201900.24000.40000.10910.22123.曲線上的任一點(diǎn)都表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于不同風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合。2.當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題意一致。即:

冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。1.風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大。第三十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三作業(yè)某廠生產(chǎn)甲乙兩種口味的飲料,每百箱甲飲料需用原料6千克,工人10名,可獲利