橢圓及其標準方程朱玲玲

“嫦娥二號”于2010年10月1日18時59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空橢圓及其標準方程F1F2新洲三中朱玲玲1、橢圓的定義：

平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。M幾點說明：2、M是橢圓上任意一點，且|MF1|+|MF2|=常數(shù)；3、通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，則M點的軌跡是線段F1F2.5、如果2a<2c，則M點的軌跡不存在.（由三角形的性質知）1、F1、F2是兩個不同的定點；應用舉例例1、用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓.(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點的軌跡.(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點的軌跡.(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為3的點的軌跡.解(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故點M的軌跡為橢圓.(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點M的軌跡不是橢圓(是線段F1F2).(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故點M的軌跡不存在.?探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)(對稱、“簡潔”)2、橢圓的方程：OxyF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點，且|F1F2|=2c，求平面內到兩定點F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c)的動點M的軌跡方程。解：以F1F2所在直線為x軸，F(xiàn)1F2的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)

設M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，則:|MF1|+|MF2|=2a兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：OF1F2xMy(-c,0)(c,0)(x,y)b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：(a>b>0)這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x

軸上。OXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在

哪一條軸上。橢圓的標準方程

12yoFFMxy

xoF2F1M定義圖像方程焦點F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關系c2=a2-b2，即a2=b2+c2|MF1|+|MF2|=2a小結：下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？答：是橢圓，焦點在x軸.（-3，0）和（3，0）答：是橢圓，焦點在y軸.答：是橢圓，焦點在y軸.（0，-1）和（0，1）判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：焦點在分母大的那個軸上.練一練答：不是橢圓.例2、填空：1、已知橢圓的方程為：，則(1)a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：____________焦距等于______;(2)若CD為過左焦點F1的弦，則F2CD的周長為________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD例題講解2、已知橢圓的方程為：，則(1)a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：___________焦距等于__________;(2)曲線上一點P到其中一焦點F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_________，則F1PF2的周長為___________21(0,-1)、(0,1)23、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）滿足a=4,b=1，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為____________

（2）滿足a=4,c=，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為____________例3求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10；變式一：將上題焦點改為(0，-4)、(0，4)，結果如何？變式二：兩個焦點的距離等于8，橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10.或（2）兩個焦點的坐標分別是（－2，0）、（2，0），并且橢圓經過點，求它的標準方程.三、小結：1、橢圓的定義2、兩種標準方程的比較3、在求橢圓方程時，要弄清焦點

在哪個軸上，是x軸還是y軸？

或者兩個軸都有可能？四、布置作業(yè)：P42習題2.1：1、2、3同步作業(yè)本P95