位移和應(yīng)變分析演示文稿

位移和應(yīng)變分析演示文稿當(dāng)前第1頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)優(yōu)選位移和應(yīng)變分析ppt當(dāng)前第2頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)§3-1位移分量和應(yīng)變分量以及其間的關(guān)系一.位移分量物體受力后各點(diǎn)要發(fā)生位移，位移一般分為兩部分，一部分是與物體變形相應(yīng)的位移，稱為相對(duì)位移；另一部分是與物體變形無關(guān)的位移，稱為剛性位移。當(dāng)前第3頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)物體變形前，點(diǎn)M（x,y,z）變形后,該點(diǎn)由原來位置移至新的位置M’(x’,y’z’)稱為點(diǎn)M的位移在x,y,z三軸上的投影u,v,w稱為該點(diǎn)的位移分量符號(hào)規(guī)定：u,v,w與坐標(biāo)軸正方向一致為正，相反為負(fù)?？紤]外力作用下的兩種狀態(tài)：平衡狀態(tài)：M點(diǎn)只隨位置變化，不隨時(shí)間變化；位移分量（u,v,w）只隨位置變化，不隨時(shí)間變化。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：M點(diǎn)不僅隨位置變化，而且隨時(shí)間變化；位移分量（u,v,w）隨位置和時(shí)間變化而變化。當(dāng)前第4頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)本章僅考慮平衡狀態(tài)。

根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，物體上任一點(diǎn)M，當(dāng)物體變形后，都一一對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的點(diǎn)M’；位移分量是點(diǎn)坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。即：

由于運(yùn)算的需要，假定位移分量具有連續(xù)到三階的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)前第5頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)二.應(yīng)變分量

分析物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，在物體內(nèi)任一點(diǎn)取出一個(gè)平行于三個(gè)坐標(biāo)平面的微分平行六面體（單元體）。設(shè)其三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度分別為dx,dy,dz。

由小變形假設(shè)，此單元體各投影面的變形情況與此微分體的變形情況的差別是微小的；因此，對(duì)于此微體，只要研究它在各個(gè)坐標(biāo)面上投影的變形就可以了。當(dāng)前第6頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

考察物體內(nèi)任意一微小線段長(zhǎng)度的相對(duì)改變正（線）應(yīng)變方向的相對(duì)改變剪（角）應(yīng)變變形包括：1.各棱邊長(zhǎng)度的變化（伸長(zhǎng)或縮短）用正應(yīng)變表示2.棱邊夾角的變化，用剪應(yīng)變表示。當(dāng)前第7頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)沿坐標(biāo)軸x,y,z方向的正應(yīng)變分量為：剪應(yīng)變分量為微分各面間所夾直角的改變量。（用弧度表示）注意：即過物體內(nèi)某點(diǎn)所引沿x及y方向的線元間夾角的改變量。當(dāng)前第8頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)當(dāng)微分平行六面體各棱邊無限縮小而趨于M點(diǎn)時(shí)某點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以由六個(gè)應(yīng)變分量來表示。當(dāng)前第9頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)三.應(yīng)變分量和位移分量間的關(guān)系

將微分平行六面體的應(yīng)變分量用該微體變形后在坐標(biāo)平面上的投影來表明。

以在oxy平面上的投影為例，研究應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系：P點(diǎn)在x，y軸的位移分量為：A，B兩點(diǎn)相應(yīng)的位移分量分別是：

按多元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開，略去二階以上的無窮小量，則A點(diǎn)和B點(diǎn)的位移分量分別為當(dāng)前第10頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)一點(diǎn)的變形線段的伸長(zhǎng)或縮短；線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；考察P點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：xyOPAdxBdyuv變形前變形后ABuPv注：這里略去了二階以上高階無窮小量。當(dāng)前第11頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)xyOPAdxBdyuvPA的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：P點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化當(dāng)前第12頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)整理得：——幾何方程說明：（1）反映任一點(diǎn)的位移與該點(diǎn)應(yīng)變間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。（2）當(dāng)u、v

已知，則可完全確定；反之，已知，不能確定u、v。（∵積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）（3）——以兩線段夾角減小為正，增大為負(fù)。xyOPAdxBdyuv當(dāng)前第13頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

利用微體在另外兩個(gè)坐標(biāo)面上的投影，可以求得其他應(yīng)變分量和位移分量之間的關(guān)系：此式稱為幾何方程，又稱柯西（Cauchy）方程如果已知位移分量，由幾何方程求偏導(dǎo)數(shù)可以得到應(yīng)變分量如果已知應(yīng)變分量，求位移分量比較復(fù)雜，積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定當(dāng)前第14頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)應(yīng)變分量的符號(hào)規(guī)定：正應(yīng)變：正號(hào)的正應(yīng)變表示沿該方向伸長(zhǎng)，負(fù)號(hào)的正應(yīng)變表示沿該方向縮短；剪應(yīng)變：正號(hào)表示沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角度減小，負(fù)號(hào)表示沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正向的兩條直線間的角度增大。當(dāng)前第15頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)§3-2物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)問題：1、求過此點(diǎn)任意方向微分線段的正應(yīng)變；2、求過該點(diǎn)任意兩個(gè)方向微分線段間夾角的改變量。（注意剪應(yīng)變的定義）一、求過A點(diǎn)沿N方向的任一微分線段AB的正應(yīng)變?cè)撐⒎志€段在直角坐標(biāo)軸上的投影為：當(dāng)前第16頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)設(shè)A點(diǎn)的位移分量為u，v，w，則B點(diǎn)的位移為：AB’BA’L，m，nL’，m’，n’drdr’當(dāng)前第17頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

物體變形后，微分線段AB變?yōu)锳’B’，則A’B’在坐標(biāo)軸上的投影為：設(shè)線段AB的正應(yīng)變?yōu)楫?dāng)前第18頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)當(dāng)前第19頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)當(dāng)前第20頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)利用矩陣表示為：當(dāng)前第21頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)稱為應(yīng)變張量當(dāng)前第22頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)二、求過A點(diǎn)的兩條任意方向微分線段間夾角的改變量Adr1C’B’CBA’dr2’dr2dr1’CCAB的方向余弦為AC的方向余弦為當(dāng)前第23頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)變形前夾角變形后夾角當(dāng)前第24頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)當(dāng)前第25頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)A’B’的方向余弦為A’C’的方向余弦為當(dāng)前第26頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)利用矩陣表示為：當(dāng)前第27頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)變形后夾角當(dāng)前第28頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)夾角改變量為當(dāng)前第29頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)當(dāng)前第30頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)§3-3主應(yīng)變和主方向

過物體內(nèi)一點(diǎn)不同方向上的正應(yīng)變以及同一點(diǎn)兩垂直方向的剪應(yīng)變是不同的。問題：過該點(diǎn)是否存在這樣三個(gè)互相垂直的方向，使沿這三個(gè)方向的微分線段，在物體變形后只是各自改變了長(zhǎng)度，而夾角仍保持為直角。

我們可以證明存在此單元體；我們把具有性質(zhì)的方向稱為該點(diǎn)應(yīng)變的主方向，或應(yīng)變主軸，此方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。當(dāng)前第31頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

設(shè)AB表示物體內(nèi)一點(diǎn)沿A沿其主方向的微分線段，其方向余弦為l,m,n,變形后，線段AB變?yōu)锳’B’,方向余弦為l’,m’,n’

ε表示線段AB的正應(yīng)變，即主應(yīng)變。當(dāng)前第32頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)將式子變形可得：當(dāng)前第33頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

線段AB的方向余弦為l,m,n,變形后，線段AB變?yōu)锳’B’,方向余弦為l’,m’,n’；一般來說，它們是不相等的。但是它們的偏離是由于單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的。故（l,m,n）與（l,‘m’,n‘）一致當(dāng)前第34頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)此為應(yīng)變主方向應(yīng)該滿足的方程，方向余弦還應(yīng)該滿足

與應(yīng)力分析相似，采用分析主應(yīng)力的方法可以得出求主應(yīng)變的方程為：應(yīng)變狀態(tài)的特征方程當(dāng)前第35頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)分別稱為第一、第二、第三應(yīng)變不變量當(dāng)前第36頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

由應(yīng)變狀態(tài)的特征方程求德的三個(gè)根就是A點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)變。

求主應(yīng)變的方向，即應(yīng)變主方向，將主應(yīng)變的結(jié)果帶入方程可以求出。當(dāng)已知主應(yīng)變時(shí)當(dāng)前第37頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)§3-6體積應(yīng)變體積應(yīng)變：物體變形后單位體積的變化

用體積的相對(duì)變化（體積應(yīng)變）來反映物體內(nèi)任一點(diǎn)體積的變化。

物體內(nèi)任一點(diǎn)M（x，y，z）附近取一個(gè)微分六面體，各棱邊長(zhǎng)度為dx，dy，dz，其體積為：

變形后，由于在線性應(yīng)變的情況下，剪應(yīng)變不會(huì)引起微分體各邊長(zhǎng)度的改變，而剪應(yīng)變引起的體積改變?yōu)楦唠A微量，可以略去不記。因此，研究體積改變只考慮正應(yīng)變所產(chǎn)生的影響。當(dāng)前第38頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)變形前：變形后：當(dāng)前第39頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)當(dāng)前第40頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)即應(yīng)變的第一應(yīng)變不變量。一點(diǎn)的體積應(yīng)變等于位移場(chǎng)的散度。當(dāng)前第41頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)§3-7無旋變形和等體積變形

位移矢量公式

考慮位移在物體所占空間各點(diǎn)的分布和變化的規(guī)律，引入位移場(chǎng)的概念。

由場(chǎng)的概念定義位移場(chǎng)如果在物體所占空間內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)于著大小和方向完全確定的位移，就稱在這個(gè)空間里確定了該位移的場(chǎng)，而這空間區(qū)域叫做位移場(chǎng)。用場(chǎng)論的觀點(diǎn)來分析位移：當(dāng)前第42頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)一、無旋變形勢(shì)量場(chǎng)

如物體變形時(shí)，其中任一微小體積都不作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣的變形稱為無旋變形，即：

如果連續(xù)體內(nèi)的位移場(chǎng)有一個(gè)標(biāo)量位φ，則位移場(chǎng)等于此標(biāo)量位的梯度。這種位移場(chǎng)稱為勢(shì)量場(chǎng)，或無旋場(chǎng)當(dāng)前第43頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)證明：位移場(chǎng)是勢(shì)量場(chǎng)的必要充分條件是故證明了，如位移場(chǎng)是勢(shì)量場(chǎng)，則位移場(chǎng)的旋度等于零如果位移場(chǎng)的旋度為零，則此位移場(chǎng)是勢(shì)量場(chǎng)1、2、當(dāng)前第44頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)二、等體積變形管量場(chǎng)

如物體變形時(shí)，其中任一微小體積的大小都不改變，即體積應(yīng)變?yōu)榱悖@樣的變形稱為等體積變形。在此情況下：

如果連續(xù)體內(nèi)的位移場(chǎng)有一個(gè)矢量位則位移場(chǎng)等于此矢量位的旋度。這種位移場(chǎng)稱為管量場(chǎng)或無源場(chǎng)。當(dāng)前第45頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)位移場(chǎng)是管量場(chǎng)的必要充分條件是證明：1、故證明了，如位移場(chǎng)是管量場(chǎng)，則位移場(chǎng)的散度等于零2、當(dāng)前第46頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)具體的求一組解的方法：對(duì)y積分可以得到當(dāng)前第47頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)可以滿足上式。當(dāng)前第48頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)可以得到此方程的一組解；

證明了由位移場(chǎng)的散度為零所決定的矢量位存在，但是解不是唯一的。所以知道：如果位移場(chǎng)的散度為零，則此位移場(chǎng)是管量場(chǎng)。當(dāng)前第49頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)三、位移矢量公式

一般情況下，物體變形時(shí)，其中任一微小體積既有體積改變，又作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，相應(yīng)的位移場(chǎng)就是勢(shì)量場(chǎng)和管量場(chǎng)的迭加。即位移矢量可以分解為兩個(gè)分矢量，第一個(gè)分矢量表示無轉(zhuǎn)動(dòng)，而是純體積膨脹的位移，就是標(biāo)量位的梯度。第二個(gè)分矢量表示沒有體積膨脹的純轉(zhuǎn)動(dòng)的位移，就是矢量位的旋度。此為位移矢量公式當(dāng)前第50頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)§3-8位移邊界條件解決彈性力學(xué)問題，必須考慮邊界條件力的邊界條件：物體表面上給定了面力，位移邊界條件：物體表面給定的是位移。力的邊界條件給出了應(yīng)力和面力之間的關(guān)系。位移邊界條件是指當(dāng)物體變形時(shí)，相應(yīng)的位移函數(shù)在邊界上應(yīng)滿足的條件。當(dāng)前第51頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)§3-9應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

由連續(xù)性假設(shè)，物體在變形前后均是連續(xù)體，因此物體內(nèi)各單元體與單元體之間的變形必須相互協(xié)調(diào)；否則各單元體發(fā)生變形以后，就不能再組成一個(gè)連續(xù)體。位移分量：u，v，w應(yīng)變分量：幾何方程：當(dāng)前第52頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

六個(gè)應(yīng)變分量可以用三個(gè)位移分量來表示，各應(yīng)變分量之間必須存在一定的關(guān)系；如果不滿足，則應(yīng)變就不能與一組連續(xù)的位移相對(duì)應(yīng)，變形將不協(xié)調(diào)。

為使變形連續(xù)或者協(xié)調(diào)，各應(yīng)變分量所滿足的關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，是保證物體連續(xù)的一個(gè)必要條件。如果物體是單連通的，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程也是物體連續(xù)的充分條件。當(dāng)前第53頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)考慮xy平面內(nèi)各應(yīng)變分量之間的關(guān)系：將幾何方程：作如下運(yùn)算：顯然有：——應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v

的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。當(dāng)前第54頁\共有62頁\編于星期二\1點(diǎn)

同理可以求得另外兩平面內(nèi)應(yīng)變分量的關(guān)系式，綜合起來可以得到以下方程組：例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分得：