高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)-隨機(jī)變量的數(shù)字特征-正態(tài)分布課件-新人教B版

學(xué)案7隨機(jī)變量的數(shù)字特征、正態(tài)分布1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測2.考綱解讀離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.2.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.返回目錄

3.考向預(yù)測

求隨機(jī)變量的期望與方差，這部分知識綜合性強(qiáng)，涉及排列、組合和概率，仍會以解答題出現(xiàn)，以應(yīng)用題為背景命題是近幾年高考的一個熱點(diǎn).返回目錄

4.1.離散型隨機(jī)變量的均值一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi

…pn名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

5.則稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量

.（1）E（aX+b）=

.（2）若X服從兩點(diǎn)分布，則EX=

.（3）若X~B（n,p），則EX=

.

2.離散型隨機(jī)變量的方差

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi

…pn取值的平均水平aEX+bPnp名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

6.則（xi-EX）2描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值EX的偏離程度.而DX=為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度.我們稱DX為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量

.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度

.（1）D（aX+b）=

.（2）若X服從兩點(diǎn)分布，則DX=

.（3）若X~B(n,p)，則DX=

.取值偏離于均值的平均程度越小a2DXp(1-p)np(1-p)名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

7.

3.正態(tài)分布函數(shù)φμ,σ(x)=x∈(-∞,+∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ>0）為參數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.如果對于任何實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)變量X滿足P（a<X≤b）=φμ,σ(x)dx,則稱X的分布為正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作

.如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X~

.正態(tài)曲線有以下特點(diǎn):N(μ,σ2)N(μ,σ2)名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

8.（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于

對稱；（3）曲線在

處達(dá)到峰值;（4）曲線與x軸之間的面積為

；（5）當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿

平移；（6）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越

，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越

，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.大直線x=μx=μx軸1小名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

9.考點(diǎn)1求期望與方差［2010年高考北京卷］某同學(xué)參加3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p,q(p>q)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立.記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為返回目錄

10.（1）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；（2）求p,q的值；（3）求數(shù)學(xué)期望E(ξ).ξ0123Pab返回目錄

11.【分析】第(1)問考查對立事件,第(2)問可通過列方程組求出,第(3)問由公式E(ξ)=x1P1+x2P2+…+xnPn求出期望.【解析】事件Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，i=1,2,3.由題意知P(A1)=,P(A2)=p,P(A3)=q.(1)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ξ=0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1-P(ξ=0)=1-=.(2)由題意知P(ξ=0)=P(A1A2A3)=(1-p)(1-q)=,返回目錄

12.P(ξ=3)=P(A1A2A3)=pq=.整理得pq=,p+q=1.由p>q，可得p=,q=.(3)由題意知a=P(ξ=1)=P(A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=（1-p)(1-q)+p(1-q)+(1-p)q=,b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.所以E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.返回目錄

13.求期望的關(guān)鍵是寫出分布列.返回目錄

14.［2010年高考山東卷］某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A,B,C,D四個問題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對問題A,B,C,D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分.②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局.③每位參加者按問題A,B,C,D順序作答，直至答題結(jié)束.返回目錄

15.假設(shè)甲同學(xué)對問題A,B,C,D回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；（2）用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).【解析】設(shè)A,B,C,D分別表示甲同學(xué)正確回答第一、二、三、四個問題，A，B，C，D分別表示甲同學(xué)第一、二、三、四個問題回答錯誤，它們是對立事件，由題意得返回目錄

16.P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,∴P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.(1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q，則Q=ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.∵每題結(jié)果相互獨(dú)立，∴P(Q)=P(ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)返回目錄

17.(2)由題意知，隨機(jī)變量ξ的可能取值為：2，3，4,則P(ξ=2)=P(AB)=×=,P(ξ=3)=P(ABC+ABC)=,P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1--=.因此ξ的分布列為ξ234P返回目錄

18.考點(diǎn)2期望和方差的應(yīng)用甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：計(jì)算ξ,η的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)優(yōu)劣.ξ10987650P0.50.20.10.10.050.050ξ10987650P0.10.10.10.10.20.20.2返回目錄

19.【解析】依題意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85（環(huán)）.Eη=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6（環(huán)）.Dξ=(10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1+…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.2275,Dη=(10-5.6)2×0.1+(9-5.6)2×0.1+(8-5.6)2×0.1+…+(5-5.6)2×0.2+(0-5.6)2×0.2=10.24,

【分析】利用ξ,η的分布列，用期望、方差公式計(jì)算出它們的值，再根據(jù)期望、方差的實(shí)際意義作出分析.返回目錄

20.所以Eξ>Eη，說明甲的平均水平比乙高，又因?yàn)镈ξ<Dη，說明甲射中的環(huán)數(shù)比較集中，比較穩(wěn)定，而乙射中的環(huán)數(shù)分散較大，技術(shù)波動較大，不穩(wěn)定，所以甲比乙的技術(shù)好.期望反映運(yùn)動員的平均水平，方差反映運(yùn)動員的穩(wěn)定程度.在實(shí)際問題中，應(yīng)結(jié)合實(shí)際意義，作出合理的判斷.返回目錄

21.［2010年高考大綱全國卷Ⅰ］投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評審，若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用.設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨(dú)立評審.（1）求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；（2）記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望.返回目錄

22.【解析】(1)記A表示事件:稿件能通過兩位初審專家的評審;B表示事件:稿件恰能通過一位初審專家的評審;C表示事件:稿件能通過復(fù)審專家的評審;D表示事件:稿件被錄用.則D=A+B·C.P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=×0.5×0.5=0.5,P(C)=0.3,P(D)=P(A+B·C)=P(A)+P(B·5C)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40.返回目錄

23.(2)X~B(4,0.4),X的可能值為0,1,2,3,4,且P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296,P(X=1)=×0.4×(1-0.4)3=0.3456,P(X=2)=×0.42×(1-0.4)2=0.3456,P(X=3)=×0.43×(1-0.4)=0.1536,P(X=4)=0.44=0.0256.故其分布列為返回目錄

24.ξ01234P0.12960.34560.34560.15360.025返回目錄

25.考點(diǎn)3正態(tài)分布某燈管廠生產(chǎn)的新型節(jié)能燈管的使用壽命（使用時間：小時)為隨機(jī)變量X,已知X~N(1000,302），要使燈管的平均壽命為1000小時的概率為99.7%，問燈管的最低壽命應(yīng)控制在多少小時以上?【分析】因?yàn)閄~N（1000,302），即X服從正態(tài)分布，設(shè)燈管最低壽命為1000-a(a＞0),由于燈管平均壽命為1000，依題意，則應(yīng)P(1000-a＜X＜1000+a)=99.7%，求得a，即可得出最低壽命1000-a(小時).返回目錄

26.【解析】因?yàn)闊艄艿氖褂脡勖黊~N（1000，302），為了查表方便，先化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1);令Y=,即X=1000+30Y,故Y~N(0,1).設(shè)燈管總體壽命最低為1000-a,則依題意:P(1000-a＜X＜1000+a)=0.997.又X=1000+30Y,所以P(1000-a＜X＜1000+a)=P(-＜Y＜)=P(Y＜)-〔1-P(Y＜)〕=2P(Y＜)-1,返回目錄

27.