中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專(zhuān)題09全等三角線中的輔助線做法及常見(jiàn)題型之斜邊上的中線 (含答案)

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)專(zhuān)題09：第三章全等三角形中的輔助線的做法及常見(jiàn)題型之斜邊上的中線一、填空題1．如圖，在SKIPIF1<0中，∠B=60°，CD為AB邊上的高，E為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，∠EDF=60°，若BF=3，CF=5，則AC邊的長(zhǎng)為．二、解答題2．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D為斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．3．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)E在SKIPIF1<0上，點(diǎn)F在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．4．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，O為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，D，E分別在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．5．如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）若AB=2,AD=3,求EF的長(zhǎng)；（2）若G是EF的中點(diǎn),連接BG和DG,求證：DG=BG.6．如圖所示，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.7．如圖所示，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0.8．如圖所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0.9．如圖所示，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．10．如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，連接BP、DP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB交CD于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：BP=EP；（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度數(shù)；（3）探究AP、PC、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．參考答案1．SKIPIF1<0【解析】【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理得出SKIPIF1<0，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得出SKIPIF1<0，然后根據(jù)三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出SKIPIF1<0，據(jù)此根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0于點(diǎn)GSKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取BC的中點(diǎn)H，連接DH、EHSKIPIF1<0SKIPIF1<0是等邊三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)SKIPIF1<0EH是SKIPIF1<0的中位線SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵．2．6【解析】【分析】連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由點(diǎn)D是斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等量代換得到SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中由AAS證得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即可得解.【詳解】連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)D是斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.3．詳見(jiàn)解析【解析】【分析】首先可判斷△ABC是等腰直角三角形，連接CD，根據(jù)全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：如圖，連接SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出證明全等需要的條件，難度一般．4．證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再根據(jù)等腰三角形的定義可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)角的和差、等量代換可得SKIPIF1<0，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得SKIPIF1<0，據(jù)此根據(jù)線段的和差即可得證．【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，O為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（等腰三角形的三線合一），∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．5．（1）EF＝SKIPIF1<0；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由AE平分∠BAD，可得∠DAF＝45°，從而∠F＝45°，可證△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，求出CF的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)；（2）連結(jié)CG，易證∠BEG＝∠DCG＝135°，根據(jù)“SAS”可證△BEG≌△DCG，從而可得DG＝BG.【詳解】解：（1）在矩形ABCD中∵AE平分∠BAD,∴∠DAF＝45°,∴∠F＝45°，∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，∴DF＝AD＝3,CF＝DF－CD=1.在Rt△CEF中,∴EF＝SKIPIF1<0.（2）連結(jié)CG,∵G是EF中點(diǎn),∴CG⊥EF,∠ECG＝∠CEF＝45°.∴∠BEG＝∠DCG＝135°.∴EG＝SKIPIF1<0EF＝CG.∵AB＝BE＝CD,∴BE＝CD.∴△BEG≌△DCG,∴DG＝BG.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ADF，△ECF都是等腰直角三角形是解（1）的關(guān)鍵，證明△BEG≌△DCG是解（2）的關(guān)鍵.6．見(jiàn)解析【解析】【分析】取CE的中點(diǎn)F，連接AF、BF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=EF=BF=CF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，從而判斷出△ABF是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的SKIPIF1<0可得AF=SKIPIF1<0AB，然后證明即可．【詳解】證明：如圖，取CE的中點(diǎn)F，連接AF、BF，

∵CB⊥DE，EA⊥CD，

∴AF=EF=BF=CF=SKIPIF1<0CE，

在△CDE中，∵∠CDE=135°，

∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，

∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，

∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，

∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=SKIPIF1<0AB，

∴CE=2AF=2×SKIPIF1<0AB=SKIPIF1<0AB，

即CE=SKIPIF1<0AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．7．見(jiàn)解析【解析】【分析】可知EF是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EF∥AB，EF=SKIPIF1<0AB，又由AD=SKIPIF1<0AB，即可得AD=EF，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形AEFD是平行四邊形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得AF=SKIPIF1<0BC．所以DE=2BC.【詳解】證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)F，連EF，AF，∵點(diǎn)E、F分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，即EF是△ABC的中位線，

∴EF∥AB，EF=SKIPIF1<0AB，

即EF∥AD，

∵AD=SKIPIF1<0AB，

∴EF=AD，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；∴AF=DE.

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E邊BC的中點(diǎn)，

∴AF=SKIPIF1<0BC，

∵四邊形AFED是平行四邊形，

∴BC=2DE.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).靈活運(yùn)用中點(diǎn)的有關(guān)性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵.8．見(jiàn)解析【解析】【分析】連接ME、MD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD=ME=SKIPIF1<0BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；【詳解】證明：連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0斜邊的中點(diǎn)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，往往連結(jié)斜邊上的中線.利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DM=EM是解題的關(guān)鍵．9．詳見(jiàn)解析【解析】【分析】連結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0交BG于點(diǎn)F，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，AD⊥BC，由等角的余角相等得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)ASA可證出SKIPIF1<0，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得AE=BF，DE=DF，則△EDF為等腰直角三角形，即可得SKIPIF1<0.【詳解】證明：連結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0交BG于點(diǎn)F，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，AD⊥BC，∵SKIPIF1<0，∠BAC=90°，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（ASA）∴AE=