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57第12章壓軸題之開(kāi)放探究類(lèi)一、選擇題1.已知關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程組SKIPIF1<0給出下列結(jié)論:①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),此方程組無(wú)解;②若此方程組的解也是方程SKIPIF1<0的解,則SKIPIF1<0;③無(wú)論整數(shù)SKIPIF1<0取何值,此方程組一定無(wú)整數(shù)解SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均為整數(shù)),其中正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法逐個(gè)判斷即可.【解答】SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),方程組為SKIPIF1<0,此時(shí)方程組無(wú)解SKIPIF1<0結(jié)論①正確由題意,解方程組SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0把SKIPIF1<0,SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,則結(jié)論②正確SKIPIF1<0解方程組SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為整數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不能均為整數(shù)SKIPIF1<0結(jié)論③正確綜上,正確的結(jié)論是①②③故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解與解法,掌握二元一次方程組的解法是解題關(guān)鍵.2.“勾股圖”有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了以“勾股圖”為背景的郵票(如圖1),歐幾里得在《幾何原本》中曾對(duì)該圖做了深入研究.如圖2,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,分別以SKIPIF1<0的三條邊為邊向外作正方形,連結(jié)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0,SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】先用已知條件利用SAS的三角形全等的判定定理證出△EAB≌△CAM,之后利用全等三角形的性質(zhì)定理分別可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,然后設(shè)SKIPIF1<0,繼而可分別求出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;易證Rt△ACB≌Rt△DCG(HL),從而得SKIPIF1<0,然后代入所求數(shù)據(jù)即可得SKIPIF1<0的值.【解答】解:∵在△EAB和△CAM中,SKIPIF1<0,∴△EAB≌△CAM(SAS),∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;∵在Rt△ACB和Rt△DCG中,SKIPIF1<0,Rt△ACB≌Rt△DCG(HL),∴SKIPIF1<0;∴SKIPIF1<0.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理,三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理等知識(shí).3.如圖,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),以相同的速度分別沿棱向前爬行,黑甲殼蟲(chóng)爬行的路線是AA1→A1D1→…,白甲殼蟲(chóng)爬行的路線是AB→BB1→…,并且都遵循如下規(guī)則:所爬行的第n+2與第n條棱所在的直線必須既不平行也不相交(其中n是正整數(shù)).那么當(dāng)黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)各爬行完第2017條棱分別停止在所到的正方體頂點(diǎn)處時(shí),它們之間的距離是()A.0 B.1 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】先確定黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)各爬行完第2017條棱分別停止的點(diǎn),再根據(jù)停止點(diǎn)確定它們之間的距離.【解答】根據(jù)題意可知黑甲殼蟲(chóng)爬行一圈的路線是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,回到起點(diǎn).乙甲殼蟲(chóng)爬行一圈的路線是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A.因此可以判斷兩個(gè)甲殼蟲(chóng)爬行一圈都是6條棱,因?yàn)?017÷6=336…1,所以黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)各爬行完第2017條棱分別停止的點(diǎn)都是A1,B.所以它們之間的距離是SKIPIF1<0,故選D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立體圖形的有關(guān)知識(shí).注意找到規(guī)律:黑、白甲殼蟲(chóng)每爬行6條邊后又重復(fù)原來(lái)的路徑是解此題的關(guān)鍵.4.在平面上,邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形和短邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的矩形幾何中心重合,如圖①,當(dāng)正方形和矩形都水平放置時(shí),容易求出重疊面積SKIPIF1<0.甲、乙、丙三位同學(xué)分別給出了兩個(gè)圖形不同的重疊方式;甲:矩形繞著幾何中心旋轉(zhuǎn),從圖②到圖③的過(guò)程中,重疊面積SKIPIF1<0大小不變.乙:如圖④,矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉(zhuǎn),矩形的兩條長(zhǎng)邊與正方形的對(duì)角線平行時(shí),此時(shí)的重疊面積大于圖③的重疊面積.丙:如圖⑤,將圖④中的矩形向左上方平移,使矩形的一條長(zhǎng)邊恰好經(jīng)過(guò)正方形的對(duì)角線,此時(shí)的重疊面積是SKIPIF1<0個(gè)圖形中最小的.下列說(shuō)法正確的是()A.甲、乙、丙都對(duì) B.只有乙對(duì) C.只有甲不對(duì) D.甲、乙、丙都不對(duì)【答案】C【分析】本題重疊部分面積需要結(jié)合圖形特點(diǎn),利用對(duì)稱性質(zhì),通過(guò)假設(shè)未知數(shù)表示未知線段,利用面積公式求解,并根據(jù)線段范圍判別面積大?。窘獯稹咳鐖D一所示,設(shè)AI=x,BJ=y,則有x+y=AB-IJ=2-1=1,重疊部分四邊形JILK面積為2.如圖二所示,設(shè)AI=x,BJ=y,因?yàn)镴M=HE=1,△JIM為直角三角形,斜邊JI大于直角邊JM,故有:x+y<1,重疊部分平行四邊形JILK面積為SKIPIF1<0.如圖三所示,設(shè)AI=x(0<x<1),BJ=y=0,重疊部分四邊形JIDK面積為SKIPIF1<0.在由圖一到圖三的轉(zhuǎn)變過(guò)程中,x+y的取值逐漸減小,則重疊部分面積逐漸增大,故甲同學(xué)說(shuō)法錯(cuò)誤.如圖四所示,設(shè)AI=AN=x(1<x<2),重疊部分多邊形BINDKM面積為SKIPIF1<0.當(dāng)0<x<2時(shí),SKIPIF1<0,所以圖四重疊部分的面積大于圖三重疊部分面積,乙同學(xué)說(shuō)法正確.如圖五所示,設(shè)AI=AN=x,所以重疊部分四邊形INDB面積為SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以重疊部分面積小于2,即小于圖一重疊面積.綜上,圖一到圖四重疊部分面積逐漸增大,圖五面積小于圖一,故圖五面積最小,丙同學(xué)說(shuō)法正確.故答案為C選項(xiàng).【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形以及矩形性質(zhì),并在此基礎(chǔ)進(jìn)行知識(shí)延伸,需要假設(shè)未知數(shù)并結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)化抽象問(wèn)題為形象問(wèn)題,利用未知量取值范圍求解本題.二、填空題5.(1)如圖①,五角形的頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________(2)如圖②,∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_________(3)如圖③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________(4)如圖④,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_________【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】(1)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠C=SKIPIF1<0∠B+∠D=SKIPIF1<0,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式即可得解;(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠D=SKIPIF1<0,在△BCE中,利用三角形的內(nèi)角和列式計(jì)算即可得解;(3)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠C=SKIPIF1<0,∠B+SKIPIF1<0,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式即可得解;(4)如圖,連接SKIPIF1<0,由三角形的內(nèi)角和定理可得:SKIPIF1<0,再由四邊形的內(nèi)角和定理可得答案.【解答】解:(1)如圖,標(biāo)注字母,由三角形的外角性質(zhì),∠A+∠C=SKIPIF1<0∠B+∠D=SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;故答案為:SKIPIF1<0(2)如圖,由三角形的外角性質(zhì),∠A+∠D=SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°;故答案為:SKIPIF1<0(3)如圖,由三角形的外角性質(zhì),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0(4)如圖,標(biāo)注字母,連接SKIPIF1<0,由三角形的內(nèi)角和定理可得:SKIPIF1<0,由四邊形的內(nèi)角和定理可得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,四邊形的內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)圖,理清圖中各角度之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.6.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,4),B(-2,0),C(a,-a),△ABC的面積小于10,則a的取值范圍是__________________.【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【分析】根據(jù)A、B坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式,根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo)可得點(diǎn)C在直線y=-x上,即在直線OC上,聯(lián)立AB、OC解析式可得交點(diǎn)坐標(biāo),分a=0,a>0,SKIPIF1<0<a<0、a<SKIPIF1<0四種情況,畫(huà)出圖形,分別用a表示出△ABC的面積,根據(jù)△ABC的面積小于10列不等式求出a的取值范圍即可得答案.【解答】設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,∵A(0,4),B(-2,0),∴OA=4,OB=2,∵點(diǎn)A、B在直線AB上,∴SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,∴直線AB的解析式為y=2x+4,①當(dāng)a=0時(shí),點(diǎn)C(0,0),與原點(diǎn)重合,S△ABC=SKIPIF1<0OA·OB=4<10,∴a=0符合題意,②如圖,當(dāng)a>0時(shí),點(diǎn)C(a,-a)在第四象限,連接OC,∴S△ABC=S△ABO+S△AOC+S△BOC=SKIPIF1<0×2×4+SKIPIF1<0×4a+SKIPIF1<0×2a=4+3a,∵△ABC的面積小于10,∴4+3a<10,解得a<2,∴0<a<2,∵點(diǎn)C(a,-a),∴點(diǎn)C在直線y=-x上,即在直線OC上,聯(lián)立直線AB與直線OC的解析式得SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,∴直線AB與直線OC的交點(diǎn)坐標(biāo)為(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),∴a≠SKIPIF1<0,②如圖,當(dāng)SKIPIF1<0<a<0時(shí),點(diǎn)C在△ABO的內(nèi)部,∴S△ABC<S△ABO<10,∴SKIPIF1<0<a<0符合題意,③如圖,當(dāng)a<SKIPIF1<0時(shí),點(diǎn)C(a,-a)在第二象限,且在△ABO的外部,連接OC,∴S△ABC=S△AOC+S△BOC-S△ABO=SKIPIF1<0×4(-a)+SKIPIF1<0×2(-a)-SKIPIF1<0×2×4=3a-4,∵△ABC的面積小于10,∴-3a-4<10,解得:a>SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0<a<SKIPIF1<0,綜上所述:a的取值范圍是SKIPIF1<0<a<2,且a≠SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0<a<2,且a≠SKIPIF1<0【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及三角形的面積,熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用圖形正確表示出△ABC的面積并靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵.7.如圖,點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn),若第一象限內(nèi)存在點(diǎn)SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0為等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)________________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)三種情況,再分別利用矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)求解即可得.【解答】SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸,SKIPIF1<0軸,SKIPIF1<0四邊形OEDF是矩形,SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由題意,分以下三種情況:(1)當(dāng)點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)時(shí),①如圖,點(diǎn)N在EM的下方,過(guò)點(diǎn)N作SKIPIF1<0,于G,GN的延長(zhǎng)線交DF于H,則四邊形GEDH是矩形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等腰直角三角形,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為SKIPIF1<0;②如圖,點(diǎn)N在EM的上方,過(guò)點(diǎn)N作SKIPIF1<0于G,GN的延長(zhǎng)線交FD的延長(zhǎng)線于H,同理可得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為SKIPIF1<0;(2)當(dāng)點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)N作SKIPIF1<0于G,過(guò)點(diǎn)M作SKIPIF1<0于H,則四邊形HEDM是矩形,SKIPIF1<0,同理可得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為SKIPIF1<0;(3)當(dāng)點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)M作SKIPIF1<0于G,過(guò)點(diǎn)N作SKIPIF1<0,交GM延長(zhǎng)線于H,則四邊形GEDM是矩形,SKIPIF1<0,同理可得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為SKIPIF1<0;綜上,符合條件的SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),正確分三種情況討論,并畫(huà)出圖形,通過(guò)作輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.8.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合),沿DE翻折△DBE,使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接AF,則當(dāng)線段AF的長(zhǎng)取最小值時(shí),sin∠FBD是_____.【答案】SKIPIF1<0【分析】先確定SKIPIF1<0取最小值的情況,畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并求得SKIPIF1<0,再通過(guò)添加輔助線“連接SKIPIF1<0,過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0”構(gòu)造出直角三角形,最后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)即可求得答案.【解答】解:∵由題意得,SKIPIF1<0∴點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心、SKIPIF1<0為半徑的圓上,作SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,此時(shí)SKIPIF1<0的值最小,如圖:∵點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0,過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,如圖:∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案是:SKIPIF1<0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何圖形中求最值問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),能根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)圖形并構(gòu)造出直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.三、解答題9.定義:到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),叫做三角形的“中垂心”.如圖1,在△ABC中,PA=PB,則點(diǎn)P叫做△ABC的“中垂心”.(1)根據(jù)定義,中垂心可能在三角形頂點(diǎn)處的三角形有________(舉一個(gè)例子即可);(2)應(yīng)用:如圖2;在△ABC中,請(qǐng)畫(huà)出“中垂心”P(pán),使PA=PB=PC.(保留作圖痕跡,不寫(xiě)畫(huà)法)(3)探究:①如圖3,已知△ABC為直角三角形,∠C=90°,∠ABC=60°,AC=SKIPIF1<0,“中垂心”P(pán)在AC邊上,求PA的長(zhǎng).②如圖4,若PA=PB且“中垂心”P(pán)在△ABC內(nèi)部,總有AC+BCSKIPIF1<02AP,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)等腰三角形(答案不唯一);(2)圖見(jiàn)解析;(3)①PA=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;②理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)“中垂心”的定義即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)題意,分別作出BC和AB的垂直平分線,交于點(diǎn)P即可;(3)①根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出BC和AB,然后根據(jù)“中垂心”的定義分類(lèi)討論,分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形,利用勾股定理和中點(diǎn)的定義即可分別求出結(jié)論;②延長(zhǎng)AP交BC于D,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和不等式的基本性質(zhì)即可證出結(jié)論.【解答】解:(1)根據(jù)題意,若點(diǎn)C為△ABC的“中垂心”可得CA=CB∴△ABC為等腰三角形故答案為:等腰三角形(答案不唯一);(2)分別作出BC和AB的垂直平分線,交于點(diǎn)P根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB=PC∴點(diǎn)P即為所求;(3)①∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠A=90°-∠ABC=30°∴AB=2BC設(shè)BC=x,則AB=2x∵BC2+AC2=AB2∴x2+(SKIPIF1<0)2=(2x)2解得:x=4或-4(不符合實(shí)際,舍去)∴BC=4,AB=8∵P在AC邊上,∠C=90°∴PB>PC,即不存在“中垂心”P(pán),使PB=PC若PA=PB,如下圖所示設(shè)PA=PB=a,則PC=AC-PA=SKIPIF1<0-a∵PC2+BC2=BP2∴(SKIPIF1<0-a)2+42=a2解得:a=SKIPIF1<0即PA=SKIPIF1<0;若PA=PC,如下圖所示則點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)∴PA=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0綜上:PA=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;②理由如下延長(zhǎng)AP交BC于D根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得:AC+CD>AD,DP+DB>PB∴AC+CD+DP+DB>AD+PB∴AC+(CD+DB)+DP>PA+DP+PB∴AC+BC>PA+PB∵PA=PB∴AC+BCSKIPIF1<02AP【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用,掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、勾股定理和三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.10.如圖,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn),將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,連結(jié)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0為等邊三角形,試探究SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有何數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論;(2)若SKIPIF1<0為等邊三角形,當(dāng)SKIPIF1<0的值為多少時(shí),SKIPIF1<0?(3)當(dāng)SKIPIF1<0不是等邊三角形時(shí),(1)中結(jié)論是否仍然成立?若不成立,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使得結(jié)論成立,并說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0,證明見(jiàn)解析;(2)SKIPIF1<0或240;(3)不成立,理由見(jiàn)解析;【解析】【分析】1)、(2)可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)證得結(jié)論及求得SKIPIF1<0的值;(3)根據(jù)(1)中的結(jié)論SKIPIF1<0,運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),從整體圖形或關(guān)鍵角度入手,便可得到需要添加的條件.【解答】解(1)SKIPIF1<0,證明如下:∵SKIPIF1<0為等邊SKIPIF1<0的中線,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0或240.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),由SKIPIF1<0為等邊三角形,得到SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.(3)不成立,添加的條件為SKIPIF1<0理由如下:∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等諸多知識(shí)及觀察、分析、猜想與推理等能力,(1)、(2)由于對(duì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)掌握不牢,導(dǎo)致不能證得結(jié)論或求不出SKIPIF1<0的值;問(wèn)題(3)由于缺乏觀察、分析與推理等能力,以致解答時(shí)無(wú)從下手,所添加的條件重復(fù)或不完全,出現(xiàn)諸如“SKIPIF1<0”、“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”等錯(cuò)誤答案.11.如圖,以點(diǎn)SKIPIF1<0為旋轉(zhuǎn)中心,將線段SKIPIF1<0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得到線段SKIPIF1<0,連結(jié)SKIPIF1<0.(1)比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小,并說(shuō)明理由.(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),若SKIPIF1<0,請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題(不標(biāo)注新的字母),并解答【答案】(1)SKIPIF1<0,理由見(jiàn)解析;(2)不唯一,舉例見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到SKIPIF1<0,由此可以分別求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,即可求解;(2)此題屬于開(kāi)放性試題,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)自行編制即可;【解答】解:(1)SKIPIF1<0,理由如下;線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得線段SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)不唯一,舉例如下:層次一:利用其中一個(gè)條件求簡(jiǎn)單元素,并解答正確如:求SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0層次二:利用其中一個(gè)條件求比較復(fù)雜的元素,要利用到一些公式或三角函數(shù),并解答正確如:①求SKIPIF1<0②求弧SKIPIF1<0長(zhǎng)SKIPIF1<0,弧SKIPIF1<0的長(zhǎng)SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④求SKIPIF1<0層次三:利用兩個(gè)條件求復(fù)雜元素,并解答正確,如:求線段SKIPIF1<0掃過(guò)的面積為SKIPIF1<0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)軌跡是求解本題的關(guān)鍵.12.問(wèn)題呈現(xiàn):已知等邊三角形SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)為點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的兩邊分別交直線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,現(xiàn)要探究線段SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與等邊三角形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系.(1)特例研究:如圖1,當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別在線段SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出線段SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系:________;(2)問(wèn)題解決:如圖2,當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在射線SKIPIF1<0上,點(diǎn)SKIPIF1<0落在線段SKIPIF1<0上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若不成立,請(qǐng)通過(guò)證明探究出線段SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與等邊三角形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系;(3)拓展應(yīng)用:如圖3,當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在射線SKIPIF1<0上,點(diǎn)SKIPIF1<0落在射線SKIPIF1<0上時(shí),若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0的長(zhǎng)和此時(shí)SKIPIF1<0的面積.【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)不成立,理由見(jiàn)解析;SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個(gè)內(nèi)角都是SKIPIF1<0,則可知△BDE與△CDF是含SKIPIF1<0角的直角三角形,根據(jù)SKIPIF1<0角所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果;(2)根據(jù)題意可證得SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,進(jìn)而求出SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.(3)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,可求得SKIPIF1<0,根據(jù)頂角為SKIPIF1<0的等腰三角形面積的算法可求出SKIPIF1<0的面積,【解答】(1)∵△ABC是等邊三角形,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.(2)不成立.理由如下:如圖1,分別過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,易證得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.解法提示:如圖2,過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,可求得SKIPIF1<0.同(2)可證SKIPIF1<0,可求得SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中可求出SKIPIF1<0,根據(jù)頂角為SKIPIF1<0的等腰三角形面積的算法可求出SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用,準(zhǔn)確理解三角形全等判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13.綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境從“特殊到一般”是數(shù)學(xué)探究的常用方法之,類(lèi)比特殊圖形中的數(shù)量關(guān)系和探究方法可以發(fā)現(xiàn)一般圖形具有的普遍規(guī)律.如圖1,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的中線,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn),將SKIPIF1<0以點(diǎn)SKIPIF1<0為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線交線段SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.探究線段SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系.?dāng)?shù)學(xué)思考(1)請(qǐng)你在圖1中證明SKIPIF1<0;特例探究(2)如圖2,當(dāng)SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0時(shí),求證:SKIPIF1<0;類(lèi)比再探(3)請(qǐng)判斷(2)的結(jié)論在圖1中是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)成立.證明見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì),可得△AEC≌△BFC,得到∠FBC=∠EAC,再由三角形內(nèi)角和證明AP⊥BE即可.(2)先證明四邊形CEPF是正方形,得到CE=FP,再證明△CED≌△BPD,可得CE=BP,則問(wèn)題可證.(3)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD,垂足為G,CH⊥BP,垂足為H,則按照(1)中方法問(wèn)題證.【解答】(1)證明:根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì),可得△AEC≌△BFC,∴∠FBC=∠EAC.又∵∠ADC=∠BDP,∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°,∴∠BDP+∠FBC=90°,∴∠BPD=180°-(∠BDP+∠FBC)=90°,∴AP⊥BE.(2)證明:∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°,∴四邊形CEPF是矩形.∵CE=CF∴四邊形CEPF是正方形.∴CE=EP=FP.又∵∠CDE=∠BDP,CD=BD,∠CED=∠BPD=90°∴△CED≌△BPD,∴CE=BP.∴EP+FP=2CE=2BP.(3)成立.理由如下:過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD,垂足為G,CH⊥BP,垂足為H.∵△BFC由△AEC逆時(shí)針90°旋轉(zhuǎn)得到,∴∠AEC=∠BFC,CE=CF,∠ECF=90°.∵∠CEG+∠AEC=180°,∠CFH+∠BFC=180°,∴∠CEG=∠CFH.∵∠CGE=∠CHF=90°,∴△CEG≌△CFH,∴CH=CG,EG=FH.∴EP+FP=GP+HP∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°,∴四邊形CGPH是正方形.又(2)可知,GP+PH=2BP,∴EP+PF=2BP.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用圖形旋轉(zhuǎn)證明三角形全等以及正方形的性質(zhì)和判定,解答關(guān)鍵是應(yīng)用由特殊到一般思想,通過(guò)類(lèi)比方法證明問(wèn)題.14.在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D與點(diǎn)E分別在AB、AC邊上,DESKIPIF1<0BC,且DE=DB,點(diǎn)F與點(diǎn)G分別在BC、AC邊上,∠FDGSKIPIF1<0∠BDE.(1)如圖1,若∠BDE=120°,DF⊥BC,點(diǎn)G與點(diǎn)C重合,BF=1,直接寫(xiě)出BC=;(2)如圖2,當(dāng)G在線段EC上時(shí),探究線段BF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;(3)如圖3,當(dāng)G在線段AE上時(shí),直接寫(xiě)出線段BF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系:_____________.【答案】(1)4;(2)FG=BF+EG,見(jiàn)解析;(3)FG=BF-EG【分析】(1)解直角三角形分別求出DF,CF即可解決問(wèn)題.
(2)如圖2中,結(jié)論:FG=BF+EG.在EA上截取EH,使得EH=BF.利用兩次全等,證明FG=GH即可解決問(wèn)題.
(3)如圖3中,結(jié)論:FG=BF-EG.在射線EA上截取EH,使得EH=BF.利用兩次全等,證明FG=GH即可解決問(wèn)題.【解答】(1)∵DE∥BC,
∴∠BDE+∠ABC=180°,
∵∠BDE=120°,
∴∠ABC=60°,
∵DF⊥BF,
∴∠BFD=90°,
∴DF=BF?tan60°SKIPIF1<0,
∵∠CDFSKIPIF1<0∠BDE=60°,∠DFC=90°,
∴CF=DF?tan60°SKIPIF1<0,∴BC=BF+CF=1+3=4;
(2)如圖2中,結(jié)論:FG=BF+EG.
理由:在EA上截取EH,使得EH=BF.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠DEH=∠B,
在△DBF和△DEH中,SKIPIF1<0,
∴△DBF≌△DEH(SAS),
∴DF=DH,∠BDF=∠EDH,
∵∠FDGSKIPIF1<0∠BDE,
∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDHSKIPIF1<0∠BDE,
∴∠GDF=∠GDH,在△DGF和△DGH中,SKIPIF1<0,
∴△DGF≌△DGH(SAS),
∴FG=HG,
∵HG=EG+HE=EG+BF,
∴FG=BF+EG;
(3)如圖3中,結(jié)論:FG=BF-EG.
理由:在射線EA上截取EH,使得EH=BF.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠DEH=∠B,在△DBF和△DEH中,SKIPIF1<0,
∴△DBF≌△DEH(SAS),
∴DF=DH,∠BDF=∠EDH,
∴∠BDE=∠FDH,
∵∠FDGSKIPIF1<0∠BDESKIPIF1<0∠FDH,
∴∠GDF=∠GDH,
在△DGF和△DGH中,SKIPIF1<0,
∴△DGF≌△DGH(SAS),
∴FG=HG,
∵HG=HE-GE=BF-EG,
∴FG=BF=-EG.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.15.如圖,點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0對(duì)折,使點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合,直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)度;(2)求SKIPIF1<0的面積;(3)在平面上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)AB=20;(2)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,28),(-12,-4),(28,16),(4,-16),(2,-2),(14,14)【分析】(1)利用勾股定理計(jì)算即可;(2)連接BC,設(shè)AC=BC=x,則OC=16-x,在RtSKIPIF1<0BOC中,利用勾股定理計(jì)算即可求得AC的長(zhǎng),進(jìn)而在RtSKIPIF1<0ACD中可求得CD的長(zhǎng),最后利用三角形的面積公式即可求得答案;(3)分類(lèi)討論,畫(huà)出相應(yīng)圖形,作出正確的輔助線構(gòu)造全等三角形,計(jì)算即可.【解答】解:(1)∵點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,∴OA=16,OB=12,在RtSKIPIF1<0AOB中,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴AB=20;(2)如圖,連接BC,∵折疊,∴AC=BC,∠ADC=∠BDC=90°,AD=BD=10,設(shè)AC=BC=x,則OC=16-x,在RtSKIPIF1<0BOC中,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴在RtSKIPIF1<0ACD中,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0;(3)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限,PB=AB且∠PBA=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB交y軸于點(diǎn)E,則∠PEB=∠AOB=90°,∴∠PBE+∠BPE=90°,∵∠PBA=90°,∴∠PBE+∠ABO=90°,∴∠BPE=∠ABO,∵∠PEB=∠AOB,∠BPE=∠ABO,PB=AB,∴SKIPIF1<0PEB≌SKIPIF1<0BOA,∴PE=OB=12,BE=OA=16,∴OE=BE+OB=28,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,28),如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在第三象限,PB=AB且∠PBA=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OB交y軸于點(diǎn)F,則∠PFB=∠AOB=90°,∴∠PBF+∠BPF=90°,∵∠PBA=90°,∴∠PBF+∠ABO=90°,∴∠BPF=∠ABO,∵∠PFB=∠AOB,∠BPF=∠ABO,PB=AB,∴SKIPIF1<0PFB≌SKIPIF1<0BOA,∴PF=OB=12,BF=OA=16,∴OF=BF-OB=4,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-12,-4),如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限,PA=AB且∠PAB=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OA交x軸于點(diǎn)G,則∠PGA=∠AOB=90°,∴∠PAG+∠APG=90°,∵∠PAB=90°,∴∠PAG+∠BAO=90°,∴∠APG=∠BAO,∵∠PGA=∠AOB,∠APG=∠BAO,PA=AB,∴SKIPIF1<0PAG≌SKIPIF1<0ABO,∴PG=OA=16,AG=OB=12,∴OG=OA+AG=28,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(28,16),如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在第四象限,PA=AB且∠PAB=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA交x軸于點(diǎn)H,則∠PHA=∠AOB=90°,∴∠PAH+∠APG=90°,∵∠PAB=90°,∴∠PAH+∠BAO=90°,∴∠APH=∠BAO,∵∠PHA=∠AOB,∠APH=∠BAO,PA=AB,∴SKIPIF1<0PAH≌SKIPIF1<0ABO,∴PH=OA=16,AH=OB=12,∴OH=OA-AH=4,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-16),如圖5,當(dāng)點(diǎn)P在第四象限,PA=PB且∠APB=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB交y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥PM,交MP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則∠PNA=∠PMB=90°,∴∠PAN+∠APN=90°,∵∠APB=90°,∴∠APN+∠BPM=90°,∴∠PAN=∠BPM,∵∠PNA=∠PMB,∠PAN=∠BPM,PA=PB,∴SKIPIF1<0PAN≌SKIPIF1<0BPM,∴PM=AN,BM=PN,設(shè)PM=AN=a,則PN=BM=12+a,∵M(jìn)N=OA=16,∴a+12+a=16解得a=2,∴PM=2,OM=AN=2,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2),如圖6,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限,PA=PB且∠APB=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PI⊥OB交y軸于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)A作AJ⊥PI,交IP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,則∠PJA=∠PIB=90°,∴∠PAJ+∠APJ=90°,∵∠APB=90°,∴∠APJ+∠BPI=90°,∴∠PAJ=∠BPI,∵∠PJA=∠PIB,∠PAJ=∠BPI,PA=PB,∴SKIPIF1<0PAJ≌SKIPIF1<0BPI,∴PI=AJ,BI=PJ,設(shè)PI=AJ=b,則PJ=BI=b-12,∵IJ=OA=16,∴b+b-12=16,解得b=14,∴PI=14,OI=AJ=14,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14,14),綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,28),(-12,-4),(28,16),(4,-16),(2,-2),(14,14).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、三角形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.16.綜合與實(shí)踐將矩形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0按如圖1的方式放置,已知點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上(SKIPIF1<0),SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.特例研究(1)如圖1,當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時(shí),線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系是_______;直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0之間的位置關(guān)系是_______;(2)在(1)條件下中,將矩形SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置,試判斷(1)中結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;探究發(fā)現(xiàn)(3)如圖3,當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時(shí),試判斷線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系和直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0之間的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;知識(shí)應(yīng)用(4)如圖4,在(3)的條件下,連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;(2)(1)中結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析;(3)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,理由見(jiàn)解析;(4)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.【分析】(1)先證SKIPIF1<0,便可證得BF=DE,∠BFC=∠CED,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余及直角三角形判定不難證得BF⊥DE;(2)方法同(1),問(wèn)題易證;(3)利用SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0證得∠BFC=∠CED,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余及、對(duì)頂角相等及直三角形的判定即可證得結(jié)論成立;(4)延長(zhǎng)ED交BF于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理求出EB2,F(xiàn)D2,F(xiàn)E2,不難求出結(jié)果.【解答】解:(1)在矩形SKIPIF1<0中,∠BCD=90SKIPIF1<0,BC=CD,在SKIPIF1<0,∠FCE=90SKIPIF1<0,F(xiàn)C=CE,∴∠BCD=∠FCE,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∠BFC=∠DEC∵∠BFC+∠FBC=90SKIPIF1<0,∴∠FBC+∠DEC=90SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0故答案為:BF=DE,SKIPIF1<0(2)(1)中結(jié)論仍然成立.理由如下:如圖,延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0(1)中結(jié)論仍然成立.(3)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.如圖,延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(4)如圖,延長(zhǎng)ED交BF于點(diǎn)G,則EG⊥BF于G,∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴CD=1,CF=4,BC=2,∵在RtFGD中,GF2+GD2=FD2,在RtGBE中,GE2+GB2=BE2,∴BE2+FD2=(GF2+GE2)+(GB2+GD2)=SKIPIF1<0連接BD,則BD2=SKIPIF1<0,∵在Rt△FCE中,EF2=SKIPIF1<0∴BE2+FD2=20+5=25.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì),直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí),側(cè)重考查了對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用.17.解答下列各題:(1)如圖1,點(diǎn)P是∠AOB的內(nèi)部任意一點(diǎn),PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分別是M、N,D是OP的中點(diǎn).求證:∠MDN=2∠MON.(2)如圖2,若P是∠AOB的外部任意一點(diǎn),PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分別是M、N,D是OP的中點(diǎn),問(wèn)∠MDN與∠MON有何數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)SKIPIF1<0,理由見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM=DO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DMO=∠DOM,同理得到∠NDP=2∠NOP,結(jié)合圖形計(jì)算,證明結(jié)論;(2)仿照(1)的證明方法解答即可.【解答】(1)證明:∵PM⊥OA,∴∠OMP=90°,在Rt△OMP中,D是OP的中點(diǎn),∴DM=SKIPIF1<0OP=DO,∴∠DMO=∠DOM,∴∠MDP=2∠MOP,同理可知,∠NDP=2∠NOP,∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON;(2)解:∠MDN=2∠MON.理由如下:如圖2,∵PM⊥OA,∴∠
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