高數(shù)課件面積表示為定積分步驟如下

A=lfi

i

f(xi)Dxi

af(b若用DAb素則ADA，并取DAfx)dx，于是Afx)素

y=fA=

f(x)dx

baf(b

xx+b

y=f(oaxx+db（1）U是與變量x的變化區(qū)間有關(guān)的量；（2）U對于區(qū)間,具有可加性，就是說，如果把區(qū)間,分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量DUi的值f(xi)DxibbU=lim

f(x)dx=

f(

y=f(1）選取一個變量x（或y）確定它的變化區(qū)間[ab]2）設(shè)想[ab]分成n個小區(qū)間，計算U在xx

axx+dbdx]的值DUfx)×dxfx)dx稱為量U的素且記作dU，即dUf3）寫出所求量U的定積分：U

bfx)dxa1解(1)畫圖1yy=

x,下=f下(x)=x2yyyS=y0

-y2 解(1)畫圖

問：是否只可以選y 2x2x2xS=0 - ))dx+2 -x-42x2x2xx=f(t)一般：若曲線yyt

A=x

xi=f(ti

t2y(t

(t)

為yroRxr?為yroRxRA=02R

DS≈圓扇形面積=1r2dq=1q bS=b

dS

b1q2解解例5求雙紐線r =a2cos2q所圍平面圖形的面積解由對稱性知總面積A=4倍第一象限部分面積Ar2=a2Ar2=a2cosp[a,b]=[0,4pA= acos

=a2

用圓柱體的體積p[f(x)]2dx作為切片體,例6連接坐標(biāo)原點O及點P(hr)的直線、直線x=h及x軸圍成一個直角三角形.將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、解解dV= p[f(y)]d2y類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線xfy)、ycydyyy轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積 dV=

p[f(y)]2

co

x=f(xVdcf(y)]2Vdcf(y)]2=6p3a3=6p3a3dV=p[f(y)]2d

bVx=

y|x1(y)-x2(y)|

1任y?[0,1]取橫條

y=x

x=y2體積元——薄圓 yyyy

-y2

x2=00=3

-y2

bbyfx)、直線xa、xb及x軸所圍曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體，體積為：bbVy=

x|f(x)|

一般：

x|y1(x)-y2(x)| Vy= x|f(x)|= a(t-sint)a(1-cost)d[a(t-sint=2pa32p(t-sint)(1-cost)2dt=6p3a3 PQM34求由曲線y4x2及y0所圍成的圖形繞直線xPQM3y,y?[0,4]dV=[pPM2-pQM2=[p(3+4-y)2-p(3=12p4-4

4-y)2\V=

4-ydy=

y=f(x)

解例14求 例1電量為+q的點電荷位于r軸的坐標(biāo)原點O處它所產(chǎn)解在點x處因為V=xS,提示：由物理學(xué)知道解在點x處因為V=xS,例3一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3m桶內(nèi)盛作x軸如圖mg=ρvg=98ppxdx882p

F= 解取坐標(biāo)系如圖壓力元素為：dFdpSdhS

R2-x2RF=R

R2-x2.例5求長度為l、線密度為r的均勻細(xì)直棒對其中垂線上.解取坐標(biāo)系如圖由對稱性知, 1ny1y2Lyn

y的定義如下：1)將[a,b]n等分，每個區(qū)間長度 =b-a n12)記分點ax0x1<Lxnn1則y

f(xi)

nb-n

f(xibn1bn1nfi￥＝limnfi

b-

f(xi

b-a

f(x)dx例：求y=a2x2[-aa]y= 2a-

a2-x2=11pa2=1pa2a2

bb-ab

f