拉格朗日龍格現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)報(bào)告一．實(shí)驗(yàn)名稱：拉格朗日插值的龍格現(xiàn)象二．實(shí)驗(yàn)?zāi)康模豪斫飧唠A插值的病態(tài)性，觀察拉格朗日插值的龍格現(xiàn)象。三．實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在區(qū)間[—5,5]上取節(jié)點(diǎn)數(shù)n=ll,等距離h=1的節(jié)點(diǎn)為插值點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f（x）二二1+X2進(jìn)行拉格朗日插值，把f（x）與插值多項(xiàng)式的曲線花在同一張圖上。四．實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)知識(shí)及原理：1）拉格朗日插值函數(shù)定義:對(duì)某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k+1個(gè)取值點(diǎn)：y0）,.,（如?佻）其中"對(duì)應(yīng)著自變數(shù)的位置，而化對(duì)應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的取值。假設(shè)任意兩個(gè)不同的Xj都互不相同，那麼應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為：k以工）=￡期掐3）（X-Ij_i）（X-Ij_i）（X-Tj+1）（X-Tfc）'L :H, 」；—：比心：’[3]拉格朗日基本多項(xiàng)式的特點(diǎn)是在兒上取值為1,在其它的點(diǎn)丿上取值為0。2） 龍格現(xiàn)象：在計(jì)算方法中，有利用多項(xiàng)式對(duì)某一函數(shù)的近似逼近，這樣，利用多項(xiàng)式就可以計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值。一般情況下，多項(xiàng)式的次數(shù)越多，需要的數(shù)據(jù)就越多，而預(yù)測(cè)也就越準(zhǔn)確。但是在有的情況下，并非取節(jié)點(diǎn)（日期數(shù)）越多多項(xiàng)式就越精確。3） matlab:MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（MatrixLaboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。該實(shí)驗(yàn)中可利用matlab的繪圖功能將拉格朗日函數(shù)跟原函數(shù)顯示出來(lái)，通過(guò)對(duì)比得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

五.具體實(shí)驗(yàn)過(guò)程1.用matlab的editor將老師提供的拉格朗日插值的調(diào)用函數(shù)編輯為一個(gè)m文件lagrange.m執(zhí)行上面的命令可以得到輸出的曲線如下：

在以下圖中可以看到相應(yīng)變量的數(shù)據(jù)值：Workspace國(guó)國(guó)魚(yú)］聯(lián)電畫-Stack:Base▼Name生ValueMinMax<1x101doubl亡:>-55xO<1x11doLible>-55y<1x101double>-1.27...9.7948yo<1x11double>0.19235yi<1x101double^0.19235六．實(shí)驗(yàn)結(jié)論：通過(guò)龍格現(xiàn)象可知，并不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高（即插值節(jié)點(diǎn)越多）精度就越高，在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中插值函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處發(fā)生劇烈的波動(dòng)，造成較大的誤差，從數(shù)值計(jì)算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來(lái)舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真，因此，實(shí)