【典型題】數(shù)學(xué)高考模擬試題(帶答案)

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一、挑選題

1．已知長方體的長、寬、高分離是3，4，5，且它的8個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是（）A．25π

B．50π

C．125π

D．都不對

2．()22

xx

ee

fxxx--=+-的部分圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．

3．設(shè)集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},則M?N中元素的個數(shù)為()A．2

B．3

C．5

D．7

4．設(shè)01p．

()1求()fx的單調(diào)區(qū)間；

()2若()fx0≤在區(qū)間[]1,e上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、挑選題1．B解析：B【解析】【分析】

按照長方體的對角線長等于其外接球的直徑，求得2

25

2

R=，再由球的表面積公式，即可求解．【詳解】

設(shè)球的半徑為R，按照長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得

2R=2

252R=

，所以球的表面積為2

2544502

SRπππ==?

=球.故選：B【點(diǎn)睛】

本題主要考查了長方體的外接球的性質(zhì)，以及球的表面積的計(jì)算，其中解答中嫻熟應(yīng)用長方體的對角線長等于其外接球的直徑，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

2．A

解析：A【解析】【分析】

按照函數(shù)的奇偶性，排解D；按照函數(shù)解析式可知定義域?yàn)閧}

1xx≠±,所以y軸右側(cè)虛線部分為x=1，利用特別值x=0.01和x=1.001代入即可排解錯誤選項(xiàng)．【詳解】

由函數(shù)解析式()22xxeefxxx--=+-，易知()2

2xx

ee

fxxx=+-=()fx-所以函數(shù)()22

xx

ee

fxxx--=+-為奇函數(shù)，排解D選項(xiàng)

按照解析式分母不為0可知,定義域?yàn)閧}

1xx≠±,所以y軸右側(cè)虛線部分為x=1，當(dāng)x=0.01時，代入()fx可得()0fx，排解B選項(xiàng)所以選A【點(diǎn)睛】

本題考查了按照函數(shù)解析式推斷函數(shù)的圖象，依據(jù)主要是奇偶性、單調(diào)性、特別值等，注重圖中坐標(biāo)的位置及特別直線，屬于中檔題．

3．B

解析：B【解析】

試題分析：{1,2,6)MN?=.故選B.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.

4．D

解析：D【解析】【分析】

先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后按照方差函數(shù)確定單調(diào)性.【詳解】

111

()0122222

ppEpξ-=?+?+?=+，2222111111()(0)(1)(2)2222224

ppDpppppξ-∴=

--+--+--=-++，1

(0,1)2

∈，∴()Dξ先增后減，因此選D.【點(diǎn)睛】

2

221

1

1

(),()(())().n

n

n

iiiiiiiiiExpDxEpxpEξξξξ=====-=-∑∑∑

5．A

解析：A【解析】【分析】

先求并集，得到{1,2,3,4}AB?=，再由補(bǔ)集的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】

由于{1,2,4}A=，{2,3,4}B=，所以{1,2,3,4}AB?=，又{1,2,3,4,5,6}U=，所以()C{5,6}UAB?=.故選A.【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的并集與補(bǔ)集的運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

6．A

解析：A【解析】

本題主要考查的是向量的求模公式．由條件可知

=

=

，所以應(yīng)選A．

7．A

解析：A【解析】【分析】【詳解】

∵函數(shù)f（x）=xlnx惟獨(dú)一個零點(diǎn)，∴可以排解CD答案

又∵當(dāng)x∈（0，1）時，lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其圖象在x軸下方∴可以排解B答案考點(diǎn)：函數(shù)圖像．

8．A

解析：A【解析】

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為

在第一象限，故選A.

9．B

解析：B【解析】【分析】

按照漸近線的方程可求得,ab的關(guān)系,再按照與橢圓22

1123

xy+=有公共焦點(diǎn)求得c即可.

【詳解】

雙曲線C的漸近線方程為52

yx=,可知5

ba=

①,橢圓221123xy+=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)和(3,0),所以a2＋b2＝9②,按照①②可知a2＝4,b2＝5.故選：B.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線與橢圓的基本量求法,屬于基礎(chǔ)題型.

10．C

解析：C【解析】【分析】

AB

AB和AC

AC分離表示向量AB和向量AC方向上的單位向量，0ABACBCABAC??

?+?=?

??表示A∠平分線所在的直線與BC垂直，可知ABC為等腰三角形，再由1

2

ABACAB

AC

?

=

可求出A∠，即得三角形外形?！驹斀狻?/p>

由題的，∵0ABACBCABAC??

?+?=???

，∴A∠平分線所在的直線與BC垂直，∴ABC為等腰三角形.又12ABACAB

AC

?

=

，∴1cos2A=，∴3

Aπ

=，故ABC為等邊三角形.故選：C【點(diǎn)睛】

本題考查向量的幾何意義和三角形角平分線的性質(zhì)，以及求兩個向量的夾角，是一道中檔難度的綜合題。

11．A

解析：A【解析】【分析】

運(yùn)用向量的加法和減法運(yùn)算表示向量BQBAAQ=+，CPCAAP=+，再按照向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立關(guān)于λ的方程，可得選項(xiàng).【詳解】

∵BQBAAQ=+，CPCAAP=+，

∴()()

BQCPBAAQCAAPABACABAPACAQAQAP?=+?+=?-?-?+?

()()22

11ABACABACABACλλλλ=?+-?

()()232441212222

λλλλλλ=+-=-+-=-，∴1

2λ=.

故選：A.12．B

解析：B【解析】

【分析】

求解出集合M，按照并集的定義求得結(jié)果.【詳解】

(){}{}{}2log1001112Mxxxxxx=-，解得19a>-，所以a的取值范圍是1,9??

-+∞???

．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性．

16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函數(shù)公式可求的值按照同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值利用二倍角公式可求的值按照兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值即可利用三角形的面積公式計(jì)算得解【詳解】由正弦定

【解析】【分析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式可求cosB的值，按照同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sinC，cosC的值，按照兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，即可利用三角形的面積公式計(jì)算得解．【詳解】

2b=，3c=，2CB=，

∴由正弦定理sinsinbcBC=，可得：23

sinsinBC

=，可得：

233sinsin22sincosBBBB

==，

∴可得：3cos4B=

，可得：sinB==，

∴可得：sinsin22sincosCBBB===，21

coscos22cos18CBB==-=，

()13sinsinsincoscossin484816

ABCBCBC∴=+=+=?+?=

，11sin2322SbcA∴=

=??=

．

故答案為：157

16

．【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注重用哪一個定理更便利、簡捷普通來說,當(dāng)條件中同時浮現(xiàn)ab及2b、2a時，往往用余弦定理，而題設(shè)中假如邊和正弦、余弦函數(shù)交錯浮現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式舉行解答.

17．【解析】【分析】【詳解】復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位）則|z|==故答案為解析：

【解析】【分析】【詳解】

復(fù)數(shù)z=1+2i（i是虛數(shù)單位），則|z|==

．

故答案為

．

18．【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積【詳解】由于長方體的體積為120所以由于為的中點(diǎn)所以由長方體的性質(zhì)知底面所以是三棱錐的底面上的高所以三棱錐的體積【點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)

解析：【解析】【分析】

由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.【詳解】

由于長方體1111ABCDABCD-的體積為120，所以1120ABBCCC??=，由于E為1CC的中點(diǎn)，所以11

2

CECC=

，由長方體的性質(zhì)知1CC⊥底面ABCD，所以CE是三棱錐EBCD-的底面BCD上的高，所以三棱錐EBCD-的體積

1132VABBCCE=???=11111

1202232212ABBCCC=???=?=.

【點(diǎn)睛】

本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對立統(tǒng)一邏輯.在幾何風(fēng)光積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注重理清整體和局部的關(guān)系，靈便利用“割”與“補(bǔ)”的辦法解題.

19．畫畫【解析】以上命題都是真命題∴對應(yīng)的狀況是：則由表格知A在跳舞B

在打籃球∵③C在漫步?????是A在跳舞的充分條件∴C在漫步?????則D在畫畫故答案為畫畫解析：畫畫

【解析】

以上命題都是真命題，

∴對應(yīng)的狀況是：

則由表格知A在跳舞，B在打籃球，

∵③“C在漫步?????”是“A在跳舞”的充分條件，

∴C在漫步?????，

則D在畫畫，

故答案為畫畫

20．【解析】【分析】先還原幾何體再從底面外心與側(cè)面三角形的外心分離作相應(yīng)面的垂線交于O即為球心利用正弦定理求得外接圓的半徑利用垂徑定理求得球的半徑即可求得表面積【詳解】由該四棱錐的三視圖知該四棱錐直觀圖

解析：1015

【解析】【分析】

先還原幾何體，再從底面外心與側(cè)面三角形SAB的外心分離作相應(yīng)面的垂線交于O，即為球心，利用正弦定理求得外接圓的半徑，利用垂徑定理求得球的半徑，即可求得表面積.【詳解】

由該四棱錐的三視圖知，該四棱錐直觀圖如圖，

由于平面SAB⊥平面ABCD，銜接AC,BD交于E，過E作面ABCD的垂線與過三角形ABS的外心作面ABS的垂線交于O，即為球心，銜接AO即為半徑，

令1r為SAB?外接圓半徑，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,則cos23

SBA∠=

,∴sin5SBA∠=，∴132sin5rSBA==∠，∴125r=，又OF=12AD=,可得222

1RrOF=+，

計(jì)算得，2

8110112022R=

+=，所以2

101

45

SRππ==.故答案為

101

.5

π【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體的問題，考查了四棱錐的外接球的問題，關(guān)鍵是找到球心，屬于較難題.

三、解答題

21．（1）見解析；（2）33

-【解析】【詳解】

（1）由已知90BAPCDP∠=∠=?，得AB⊥AP，CD⊥PD．因?yàn)锳B//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面PAD內(nèi)作PFAD⊥，垂足為F，

由（1）可知，AB⊥平面PAD，故ABPF⊥，可得PF⊥平面ABCD.

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，

AB為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F

xyz.

由（1）及已知可得22A??????，2P???，2,1,02B??????，22C??-????

.所以2222PC??

=--???

?，(

)

2,0,0CB=，2222PA?=-?

?，()0,1,0AB=.設(shè)(),,nxyz=是平面PCB的法向量，則

0,0,nPCnCB??=?

?=?即22

0,

2220,xyzx?-+-=???=?

可取(0,1,2n=--.

設(shè)(),,mxyz=是平面PAB的法向量，則

0,0,mPAmAB??=??=?即220,

0.xzy=?=?

可取()1,0,1m=.則3

cos,nmnmnm?=

=-，所以二面角APBC--的余弦值為3

【名師點(diǎn)睛】

高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；

②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.22．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）35

．【解析】【分析】

（Ⅰ）所抽取的40人中，該天行走20008000~步的人數(shù)：男12人，女14人，由此能求出400位參加“微信運(yùn)動”的微信好友中，天天行走20008000~步的人數(shù)．（Ⅱ）該天抽取的步數(shù)在800010000~的人數(shù)：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分層抽取6人，則其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率．【詳解】

（Ⅰ）由題意，所抽取的40人中，該天行走20008000~步的人數(shù)：男12人，女14人，所以400位參加“微信運(yùn)動”的微信好友中，天天行走20008000~步的人數(shù)約為

26

40026040

?

=人；（Ⅱ）該天抽取的步數(shù)在800010000~的人數(shù)中，按照頻率分布直方圖可知，男生人數(shù)所占的頻率為0.1520.3?=，所以男生的人數(shù)為為200.36?=人，按照柱狀圖可得，女生人數(shù)為3人，再按男女比例分層抽取6人，則其中男4人，女2人．再從這6位微信好友

中隨機(jī)抽取2人舉行采訪，基本領(lǐng)件總數(shù)2

615nC==種，

至少1個女性的對立大事是選取中的兩人都是男性，

∴其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率：24263

15

CPC=-=．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的求解，以及分層抽樣等學(xué)問的綜合應(yīng)用，其中解答中仔細(xì)審題，正確理解題意，合理運(yùn)算求解是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．23．（Ⅰ）B=4

π

（Ⅱ）21+【解析】【分析】【詳解】(1)∵a=bcosC+csinB

∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①在三角形ABC中，A=

－(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=

(2)S△ABC12=

acsinB24

=ac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos4

π

≥2ac﹣2ac2

收拾得：ac22

≤

-，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立，則△ABC面積的最大值為

121222

22=-（22+2=1．24．（1）l的一般方程210axya+--=；C的直角坐標(biāo)方程是22220xyxy+--=；（2）33

±

【解析】【分析】

（1）把直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的t消掉即可得到直線l的一般方程，由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2（θ4π+

），綻開得2222

ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用xcosysinρθ

ρθ=??

=?

即可得出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）先求得圓心C到直線AB的距離為d，再用垂徑定理即可求解．

【詳解】

（1）由直線l的參數(shù)方程為21xt

yat=+??

=-?

，所以一般方程為210axya+--=

由曲線C的極坐標(biāo)方程是22sin4πρθ?

?

=+??

?

，所以2

22sin2sin2cos4πρθρθρθ?

?

=+

=+??

?

，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是2

2

220xyxy+--=

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為M，圓心C到直線AB的距離為d，則7

MA=，圓()()2

2

:112Cxy-+-=，則2r=

()1,1C，

1

2

dMC

====,

由點(diǎn)到直線距離公式，

1

2

d===

解得a=±，所以實(shí)數(shù)a

的值為±.

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程化為一般方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，圓中垂徑定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．25．（1）()32

245

fxxxx

=+-+；（2）13。

【解析】

【分析】

（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義結(jié)合切線方程及函數(shù)f（x）在x=-2時有極值即可列出關(guān)于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，從而得到f（x）的表達(dá)式．

（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），通過f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得出函數(shù)的最值即可．

【詳解】

（1）依題意，()232

fxxaxb

=++