浙江省寧波市北侖松花江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

浙江省寧波市北侖松花江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知長方體ABCD－A′B′C′D′，對角線AC′與平面A′BD相交于點(diǎn)G，則G是△A′BD的()A．垂心

B．外心

C．內(nèi)心

D．重心

參考答案：D略2.設(shè)x，y為正數(shù)，則（x+y）（+）的最小值為(

)A．6 B．9 C．12 D．15參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】函數(shù)中含有整式和分式的乘積，展開出現(xiàn)和的部分，而積為定值，利用基本不等式求最值【解答】解：x，y為正數(shù)，（x+y）（）=≥1+4+2=9當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”∴最小值為9故選項(xiàng)為B．【點(diǎn)評】利用基本不等式求最值，需要滿足的條件“一正，二定，三相等”3.一束光線從A（1，0）點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)B（0，2）后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是（）A．x+2y﹣2=0 B．2x﹣y+2=0 C．x﹣2y+2=0 D．2x+y﹣2=0參考答案：B【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程．【分析】由反射定律可得點(diǎn)A（﹣1，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′（1，0）在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)b（0，1）也在反射光線所在的直線上，用兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程．【解答】解：由反射定律可得點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′（﹣1，0）在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)B（0，2）也在反射光線所在的直線上，用兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程為=1，即2x﹣y+2=0，故選：B．4.

的值是(

)A、

B、

C、

D、

參考答案：C5.根據(jù)下圖給出的2011年至2016年某企業(yè)關(guān)于某產(chǎn)品的生產(chǎn)銷售（單位：萬元）的柱形圖，以下結(jié)論不正確的是A．逐年比較，2014年是銷售額最多的一年B．這幾年的利潤不是逐年提高（利潤為銷售額減去總成本）C．2011年至2012年是銷售額增長最快的一年D．2014年以來的銷售額與年份正相關(guān)參考答案：D6.在空間，下列條件可以確定一個(gè)平面的是

（

）A.兩條直線

B.一個(gè)三角形

C.一點(diǎn)和一條直線

D.三個(gè)點(diǎn)參考答案：B7.設(shè)、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，下列推理正確的是（）A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的定義，判定定理和性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】對于A，若，結(jié)論錯(cuò)誤，對于B，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知B正確；對于C，由，平行可知，沒有公共點(diǎn)，故，平行或異面，故C錯(cuò)誤；對于D，若，相交，，均與交線平行，顯然結(jié)論不成立，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線線，線面，面面位置關(guān)系的判定及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.（5分）（2014?鄭州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（﹣5，0）和C（5，0），頂點(diǎn)B在雙曲線﹣=1，則的值為（）A．B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】：雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：根據(jù)雙曲線的定義，以及正弦定理，即可得到結(jié)論．解：∵在雙曲線﹣=1，∴a=4，b=3，c=5，即A，C是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，∵頂點(diǎn)B在雙曲線﹣=1，∴|BA﹣BC|=2a=8，AC=10，則由正弦定理得=，故選：C．【點(diǎn)評】：本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，利用正弦定理將條件轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．9.若雙曲線方程為，則其漸近線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案： B10.在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，則的值為（）A. B. C.1 D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某校高一年級(jí)有400人，高二年級(jí)有600人，高三年級(jí)有500人，現(xiàn)要采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中選出100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，那么抽出的樣本中高二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為

▲

．參考答案：40略12.已知直線和平面，試?yán)蒙鲜鋈齻€(gè)元素并借助于它們之間的位置關(guān)系，構(gòu)造出一個(gè)判斷⊥的真命題參考答案：

⊥或⊥略13.經(jīng)過點(diǎn)M(–2，m)、N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為__________．參考答案：114.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________

參考答案：15.兩平行直線：3x+4y-2=0與：6x+8y-5=0之間的距離為

.

參考答案：略16.長方體中，AB=12，=5，與面的距離為_________________；參考答案：17.過點(diǎn)P（-2，3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為____________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國人民發(fā)出的口號(hào).某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：試銷單價(jià)x（元）456789產(chǎn)品銷量y（件）q8483807568

已知，.（Ⅰ）求出q的值；（Ⅱ）已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（件）關(guān)于試銷單價(jià)x（元）的線性回歸方程；（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程得到的與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求“好數(shù)據(jù)”至少有一個(gè)的概率.（參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘估計(jì)分別為，）參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）利用平均數(shù)求出即可；（Ⅱ）參考公式求解線性回歸方程即可得解；（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ），滿足的共有3個(gè)“好數(shù)據(jù)”，又從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，共有種不同的取法，利用概率公式運(yùn)算即可.【詳解】（Ⅰ），可求得.（Ⅱ），，所以所求的線性回歸方程為.（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足的共有3個(gè)“好數(shù)據(jù)”：、、.又從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，共有=15種不同的取法，設(shè)所求事件用A表示，則.【點(diǎn)睛】本題考查了回歸直線及概率公式，屬中檔題.19.（本題滿分12分）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．

(1)求出，并猜測的表達(dá)式；(2)求證：＋＋＋…＋．參考答案：解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，又n＝1時(shí)，f(1)也適合f(n)．∴f(n)＝2n2－2n＋1.

--------6分(2)當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋＋…＋，∴…＋.

--------12分20.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（1）請舉一個(gè)“超導(dǎo)函數(shù)”的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個(gè)在R上單調(diào)遞增，另一個(gè)在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實(shí)根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說明理由.參考答案：解：（1）舉例：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，因?yàn)?，，滿足對任意實(shí)數(shù)恒成立，故是“超導(dǎo)函數(shù)”.……4分注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.（2）∵，∴，∴

……………6分因?yàn)楹瘮?shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，所以不等式與對任意實(shí)數(shù)都恒成立，故，，①

………8分而與一個(gè)在上單調(diào)遞增，另一個(gè)在上單調(diào)遞減，故，②由①②得對任意實(shí)數(shù)都恒成立，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.

……10分（3）∵，所以方程可化為，設(shè)函數(shù)，，則原方程即為，③

……………12分因?yàn)槭恰俺瑢?dǎo)函數(shù)”，∴對任意實(shí)數(shù)恒成立，而方程無實(shí)根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程③等價(jià)于，即，

……………14分設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，，且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，從而原方程有且僅有唯一實(shí)數(shù)根.……………16分注：發(fā)現(xiàn)但缺少論證過程的扣4分.

21.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．（1）求證：AC⊥平面PDB（2）當(dāng)PD=AB=2，設(shè)E為PB的中點(diǎn)，求AE與平面ABCD所成角．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】整體思想；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）根據(jù)題意證明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2）根據(jù)直線和平面所成角的定義找出直線和平面所成的角，即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDB，（3分）（2）解：設(shè)AC∩BD=O，連接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，又O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，∴OE∥PD，OE=PD=，∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，則∴∠EAO為AE與平面ABCD所的角，∵PD=AB=2，∴PD=2，AB=，在Rt△AOE中，OE=，∵AB=，∴A0=1，∵AB=AO，∴∠AEO=