自動(dòng)控制理論頻率特性的基本概念

自動(dòng)控制理論頻率特性的基本概念第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20231頻率特性的基本概念頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內(nèi)容

第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20232第一節(jié)頻率特性的基本概念第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20233考察一個(gè)系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時(shí)也用正弦波輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個(gè)頻率正弦波輸入時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個(gè)正弦波輸入下所對應(yīng)的每個(gè)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的一個(gè)既方便又有效的工具。第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20234一、頻率特性的定義：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點(diǎn)。若：則：第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20235拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：式中，分別為：第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20236而式中：Rm、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個(gè)正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動(dòng)了。

和都是頻率的函數(shù)。第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20237定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性；定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時(shí)的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復(fù)數(shù)形式，即第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20238由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/20239[結(jié)論]：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時(shí)，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202310從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：可見，頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時(shí)之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202311[例子]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202312頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之一在于它可以通過實(shí)驗(yàn)量測來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時(shí)，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。此外，在驗(yàn)證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時(shí)，也往往用它所對應(yīng)的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中有非常重要的作用。第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202313頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動(dòng)態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實(shí)際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴(kuò)展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實(shí)驗(yàn)方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202314工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實(shí)部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2．對數(shù)坐標(biāo)圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以為橫坐標(biāo)，對數(shù)分度，分別以和作縱坐標(biāo)的一種圖示法。3．對數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，以為參變量的一種圖示法。二、頻率特性的表示方法：第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202315一、極坐標(biāo)頻率特性曲線（奈魁斯特曲線、幅相頻率特性曲線）它是在復(fù)平面上用一條曲線表示由時(shí)的頻率特性。即用矢量的端點(diǎn)軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線的上的任意一點(diǎn)可以確定實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性。由于是偶函數(shù)，所以當(dāng)從 和變化時(shí)，奈魁斯特曲線對稱于實(shí)軸。根據(jù)上面的說明，可知：頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時(shí)在G(s)平面上的映射。第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202316二、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）它由兩條曲線組成：幅頻特性曲線和相頻特性曲線。波德圖坐標(biāo)（橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅值和相角）的分度：

橫坐標(biāo)分度：它是以頻率的對數(shù)值進(jìn)行分度的。所以橫坐標(biāo)（稱為頻率軸）上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程（或十倍頻），用Dec表示。如下圖所示：由于以對數(shù)分度，所以零頻率線在處。第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202317

縱坐標(biāo)分度：幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)是以或表示。其單位分別為貝爾（Bl）和分貝（dB）。直接將或 值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個(gè)橫坐標(biāo)（頻率軸）。當(dāng)幅制特性值用分貝值表示時(shí)，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值第十八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期三6/13/202318使用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸