大話統(tǒng)計(jì)學(xué)教師chap6隨機(jī)變量4雙

定義：若X

和Y

是間斷型隨機(jī)變量，則X

,Y的聯(lián)合概率分布函數(shù)(joint

probabilitydistribution

function)為，簡記P(x,y)，滿足：(1)(3)0

￡

P(

x,

y)

￡

0P(X

=

x,Y

=

y)P(

x,

y)

=

P(

X

=

x,Y

=

y)=

P({X

=

x}

{Y

=

y}),(2)

P(x,

y)

=

1x

yb

dP(a

￡

X

￡

b,

c

￡

Y

￡

d

)

=

P(x,

y)x=a

y

=c雙隨機(jī)變量(間斷/離散型)聯(lián)合概率分布定義：若X

,Y

是連續(xù)型隨機(jī)變量，則X

,Y

的聯(lián)合概率密度函數(shù)(joint

probability

density，，滿足下列條件(1)(2)(3)f

XY

(x,

y)function)，記作或簡記

f

(x,

y)f

(x,

y)

>0

￥

￥-￥

-￥

b

da

cf

(x,

y)dydxf

(x,

y)dxdy

=

1￡

b,

c

￡

Y

￡

d

)

=P(a

￡

X雙隨機(jī)變量(連續(xù)型)

聯(lián)合概率分布雙隨機(jī)變量

聯(lián)合概率分布離散型連續(xù)型i￡x

j￡

ys￡x

t

￡

y定義：若X

,Y

是雙隨機(jī)變量，則X

,Y

的聯(lián)合累積概率函數(shù)(joint

cumulative

probabilityfunction)，記

FXY

(

x,

y

)，或簡記

：F

(

x

,

y

)F

(x,

y)

=

P(

X

￡

x,Y

￡

y)

=

P(i,

j)=

f

(s,

t)dtds雙隨機(jī)變量

聯(lián)合累積概率分布雙隨機(jī)變量

聯(lián)合累積概率分布間斷(離散)型連續(xù)型定義：若X

,Y

是雙隨機(jī)變量，則X的邊際概率函數(shù)(marginal

probability

function)：離散型

PX

(x),

PY

(y)

或連續(xù)型

fX

(x),

fY

(y)

：PY

(

y)

=

P(x,

y)xPX

(x)

=

P(x,

y),y￥-￥￥-￥YXf

(x,

y)dxf

(

y)

=f

(x,

y)dy,f

(x)

=V

(

X

)V

(Y

)Cov(

X

,Y

)XYr

=

corr(

X

,Y

)

=若X,Y

是雙隨機(jī)變量，則X,Y

的相關(guān)系數(shù)(correlation

coefficient)例題6.12：第1路口1分鐘車程第2路口X=第1路口燈號

Y=1分鐘后第2路口燈號YX綠燈黃燈紅燈PX

(x)綠燈000.450.45黃燈00.100.1紅燈0.45000.45PY

(

y)0.450.10.451P(X=綠燈)=0.45，但是P(X=綠燈|Y=綠燈)=0，P(X=紅燈|Y=綠燈)=1X,Y兩隨機(jī)變量線性相關(guān)非線性相關(guān)相關(guān)不完全相關(guān)相關(guān)Y

=

a

+

bX

,rXY

=1>

0②正相關(guān)rXY③負(fù)相關(guān)

rXY

<

0④曲線XYrrXY

=

0⑤完全

X,Y不相關(guān)

獨(dú)立①完全 函數(shù)關(guān)系=0

可經(jīng)轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系條件概率3

個(gè)

兩個(gè)

以上

事件事件兩個(gè)隨機(jī)變量兩個(gè)

兩兩獨(dú)立非兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立非相互獨(dú)立互斥非互斥列聯(lián)表獨(dú)立非獨(dú)立分類數(shù)據(jù)分析(檢驗(yàn)獨(dú)立性)非直線相關(guān)

相關(guān)正

負(fù)曲線獨(dú)立相關(guān)相關(guān)相關(guān)兩兩獨(dú)立以上

相互隨機(jī)

獨(dú)立變量一組

隨機(jī)抽樣兩組

隨機(jī)抽樣信息負(fù)面獨(dú)立正面信息有限離散型直線獨(dú)立匹配樣本樣本事件與變量的獨(dú)立條件概率三個(gè)

兩個(gè)

以上

事件事件兩個(gè)隨機(jī)變量三個(gè)

兩兩獨(dú)立非兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立非相互獨(dú)立互斥非互斥列聯(lián)表獨(dú)立非獨(dú)立分類數(shù)據(jù)分析(檢驗(yàn)獨(dú)立性)非直線相關(guān)

相關(guān)正

負(fù)曲線獨(dú)立相關(guān)相關(guān)相關(guān)兩兩獨(dú)立以上

相互隨機(jī)

獨(dú)立變量一組

隨機(jī)抽樣兩組

隨機(jī)抽樣信息信息分類變量直線獨(dú)立匹配樣本樣本互斥負(fù)面獨(dú)立正面事件獨(dú)立變量獨(dú)立抽樣獨(dú)立隨機(jī)變量獨(dú)立邊際概率分布函數(shù)XYf(x,y)fX

(x)

=面積X

=

x變數(shù)Y邊際機(jī)率0123PX(x)變數(shù)X010/22040/22030/2204/22084/220130/22060/22018/2200108/220215/22012/2200027/22031/2200001/220邊際機(jī)率PY(y)56/220112/22048/2204/2201習(xí)題

6.6中文統(tǒng)計(jì)習(xí)題

6.6定義：若X

,Y

是雙隨機(jī)變量，則X

,Y

的共變量(covariance)

Cov(X,Y)：Cov(

X

,Y

)

=

s

XY

=

E[(

X

-

m

X

)(Y

-

mY

)]

=

E(

XY

)

-

E(

X

)E(Y

)定理：若X,Y,Z

是三個(gè)相同樣本空間的隨機(jī)變量，a與b是實(shí)數(shù)常數(shù)，則1.

E(a

+

bX

)

=

a

+

bE(

X

)

2.

V

(a

+

bX

)

=

b

2V

(

X

)3.

E(aX

+

bY

)

=

aE(

X

)

+

bE(Y

)5.

Cov(

X

,

X

)

=

V

(

X

)7.

Cov(

X

,Y

)

=

Cov(Y

,

X

)4.

V

(aX

+

bY

)

=

a

2V

(

X

)

+

b

2V

(Y

)

+

2abCov(

X

,Y

)6.

V

(

X

–

Y

)

=

V

(

X

)

+

V

(Y

)

–

2Cov(

X

,Y

)8.

Cov(a

+

bX

,

c

+

dY

)

=

bdCov

(

X

,Y

)10.

Cov(

X

+

Z

,Y

)

=

Cov(

X

,Y

)

+

Cov(Z

,Y

)9.

Cov(a,Y

)

=

0,

"

a

?

Rn

m

n

m11.

Cov(

ai

X

i

,

bj

Yj

)

=

aib

j

Cov(

X

i

,Yj

)i=1

j

=1

i

=1

j

=1Cov(W

+

X

,Y

-

Z

)

=

Cov(W

,Y

)

-

Cov(W

,

Z

)

+

Cov(

X

,Y

)

-

Cov(

X

,

Z

)定理：若X,Y,Z

是三個(gè)相同樣本空間的隨機(jī)變量，a

,b,c是實(shí)數(shù)常數(shù)，則1.

V

(aX

+

bY

+

cZ

)

=

a2V

(

X

)

+

b2V

(Y

)

+

c2V

(Z

)+

2abCov(

X

,Y

)

+

2acCov(

X

,

Z

)

+

2bcCov(Y

,

Z

)

k k

iji

ik

ki

i

r

r

ji

a1s1

=

(a1s1

aks

k

)

i=1

i?

j2i=1

1

a

s

1aia

jCov(

Xi

,

X

j

)a

V

(

X

)

+a

X

)

=2.

V

(jii

jijs

sr

=Cov(

Xi

,

X

j

)= =

rV

(

Xi

)V

(

X

j

)Cov(

Xi

,

X

j

)1.2.只是衡量隨機(jī)變量X,Y

的「線性」關(guān)系。定理：若X,Y

是獨(dú)立的雙隨機(jī)變量，則定義：若X,Y

是雙隨機(jī)變量，則X,Y

的相關(guān)系數(shù)(correlation

coefficient)：Cov(

X

,Y

)

=

0,

=

0rXYV

(

X

)V

(Y

)Cov(

X

,Y

)=

corr(

X

,Y

)

=rXY-1

￡

rXY

￡

+1定理：若X,Y

是雙隨機(jī)變量，則X,Y

的相關(guān)系數(shù)rXY|

rXY|=

1

若且唯若存在

a

和

b

?

0，使P(Y

=

a

+

bX

)

=

1=1，則b>0；若rXY=-，1

則b<0。rXY若rXY19不同相關(guān)系數(shù)的聯(lián)合概率分布f(x,y)已知Y=y,則X

的條件概率函數(shù)(conditional

probability

function)，記作或P(x

|

Y

=

y)

f

(x

|

Y

=

y)

：P

(

y)YP(x

|

Y

=

y)

=

P(x,

y)P(x,

y)P(

y

|

XX=

x)

=P

(x)f

(x

|

Y

=

y)

=

f

(x,

y)fY

(

y)f

(x)

f

(x,

y)f

(

y

|

XX=

x)

=定義：已知Y=y,則X

的條件期望值(conditional

expectedvalue)E(

X

|

Y

=

y)

=

xP(x

|

Y

=

y：)x已知Y=y,則X

的條件變異數(shù)(conditional

variance)V

(

X

|

Y

=

y)

=

[x

-

E(

X

|

Y

=

y)]2

P(x

|

Y

=

y)x=

x2

P(x

|

Y

=

y)

-[E(

X

|

Y

=

y)]2x條件概率分布函數(shù)XY面積fY

(

y)f

(x

|

Y

=

y)

=

f

(x,

y)f(x,y)Y

=

yE(X|Y)和V(X|Y)都是隨機(jī)變量，定義域和Y

相同：E(X|Y)

：

y

E(X|Y

=

y)

概率是

PY

(

y)V(X|Y)

：

y

V(X|Y

=

y)

概率是

PY

(

y)因?yàn)殡S機(jī)變量有期望值與變異數(shù)，所以有

E[E(X|Y)]、V[E(X|Y)]、E[V(X|Y)]、V[V(X|Y)]定理：

E(X)

=

E[E(V|Y)]V(X)

=

E[V(X|Y)]

+

V[E(X|Y)]X教育程度Y

年齡PX

(x)30457000.010.020.050.0810.030.060.100.1920.180.210.150.5430.070.080.040.19PY

(

y)0.290.370.341例題6.11：隨機(jī)變量X=教育程度，隨機(jī)變量Y=年齡：計(jì)算：

E(

X

|

Y

=

30)E(

X

|

Y

=

45)E(

X

|

Y

=

70)V

(

X

|

Y

=

30)V

(

X

|

Y

=

45)V

(

X

|

Y

=

70)xP(x|Y=30)xP(x|Y=30)x2P(x|Y=30)00.01/0.29=0.0340010.03/0.29=0.1040.1040.10420.18/0.29=0.6211.2422.48230.07/0.29=0.2410.7232.169Σ2.074.757E(

X

|

Y

=

30)

=

2.07V

(

X

|

Y

=

30)

=

4.757

-

(2.07)2

=

0.4721E(

X

|

Y

=

45)

=

1.95E(

X

|

Y

=

70)

=

1.53V

(

X

|

Y

=

45)

=

0.5755V

(

X

|

Y

=

70)

=

0.7791結(jié)論：年齡愈低，教育程度愈高；年齡愈高，教育程度的差異(變化)愈大。中文統(tǒng)計(jì)例題6.8：隨機(jī)變量X,Y

的聯(lián)合概率密度函數(shù)如下：，(2) X,Y

是否獨(dú)立？變數(shù)X變數(shù)Y機(jī)率+1+11/30-11/3-1+11/3rXY(1)

計(jì)算

Cov(

X

,Y

),解答：PX

(1)

=

1/

3,

PX

(0)

=

1/

3,

PX

(-1)

=

1/

3,E(

X

)

=

0E(

XY

)

=

0PY

(1)

=

2

/

3,

PY

(-1)

=

1/

3,

E(Y

)

=

1/

3,E(

XY

)

=

0,

Cov(

X

,Y

)

=

0,

=

0rXYP(1,1)

=

1/

3

?

PX

(1)PY

(1)

=

(1/

3)(2

/

3)

=

2

/

9中文統(tǒng)計(jì)習(xí)題

4.8例題6.13：投資組合股票期望標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)係數(shù)隨機(jī)變數(shù)報(bào)酬E(X)風(fēng)險(xiǎn)s

(%)ABC(%/年)AX9.116.5---0.220.13BY12.115.8-0.22--0.41CZ11.213.90.130.41--f00.10.20.30.40.5E(W)12.111.811.511.210.910.6sW15.813.9512.3411.0810.2910.08f0.60.70.80.91.0E(W)10.310.09.79.49.1sW10.511.4712.8814.5816.5V

(W