2021屆新高考數(shù)學模擬培優(yōu)卷（二）（新高考版）

絕密★啟用前

2021屆新高考數(shù)學模擬培優(yōu)卷(二)(新高考版)

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案正

確填寫在答題卡上

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合人=卜,2+咚=卜,若Au8={x|-3,,x<5},則\A=()

A.(-8,-3)7(0,”)B.(0,3)C(-8,-g)u(0,+8)D.(V,O]35,”)

2.復數(shù)上心在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某防汛抗旱指揮部擬安排甲、乙等5名志愿者進行為期5天的護堤安全排查工作，要求每

人安排1天，每天安排1人，則甲不安排在前兩天，且乙不安排在第一天和最后一天的概率

為()

7329

A.—B.—C.-D.—

2010520

4.已知角a的定點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點41,。)，8(2,。)，

2

且cos2a=-則=()

5.甲、乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計如圖，甲、乙兩名同學成績的平均數(shù)分別為不，亂，標

準差分別為，%,則0

123456工（次）

A.不〈亂，dp<cr^B.^p<x^,Op>/

C.五M>石，％<b乙D.承>石，5|,>b乙

6.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+oo)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)=0,則不等式組出二互魚wo的

5x

解集為()

A.(-00,-2]u(0,2]B.[-2,0]u[2,+oo)

C.(-00,-2]u[2,+00)D.[-2,0)o(0,2]

7.己知盡寫為雙曲線C:%2-y2=2的左、右焦點，點P在C上產(chǎn)制=2|尸段,則cosN/^PE

等于()

A.-B.-C.-D.-

4545

8.若/(》)=以1!1》+6(1-4)111彳-》(》>1)恰有1個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[0,+oo)B.{0}UC.(e,+oo)D.(0,1)0(1.+°°)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

r2v2

9.橢圓C:r+與=l(a>b>0)的左、右焦點分別為《和凡,尸為橢圓C上的動點廁下列說

ab"

法正確的是()

A.a=同，滿足"產(chǎn)2=90。的點P有兩個

B.a<同，滿足N-PE=90。的點P有四個

2

C.VPGE的面積的最大值為]

D.VPK"的周長小于4a

10.下圖是函數(shù)y=sin(5+o)的部分圖像，則sin(s+s)=()

c__兀、__,5兀/、

C.cos(2x+—)D.cos(——2尤)

6

11.已知函數(shù)］(或=如(x—2)+ln(6-x),則()

A.f(x)在(2,6)上的最大值為21n2BJ(x)在(2,6)上單調(diào)遞增

CJ(x)在(2,6)上無最小值D./(%)的圖象關(guān)于直線x=4對稱

12.若隨機變量X服從兩點分布，其中尸(X=0)=1,E(X),￡>(X)分別為隨機變量X的均值與

4

方差，則下列結(jié)論正確的是()

3

A.P(X=1)=E(X)B.￡(4X+1)=4C.D(X)=—D.O(4X+1)=4

16

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線(機+l)x+(〃Ll)y-2=0與圓(x-l)2+y2=1的位置關(guān)系是.

14.已知等差數(shù)列｛q｝的前”項和為S”,且￡=3(生+%),則”=.

15.已知三棱錐A-BCO中，點A在平面BC。上的射影與點O重合，AD=CD=4.若

NCBD=135°,則三棱錐A-BCD的外接球的體積為.

16.已知直三棱柱ABC-A4G的各頂點都在同一球面上，若AB=3,AC=5,BC=1,A\=2,

則此球的表面積等于.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在口48。中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c已知

Z?(sin3+sinC)=〃sinA-csinC.

(1)求角A的大小.

(2)^sin^C-^=^yy-,求tanB的值.

18.(12分)已知數(shù)列｛叫中，q=2,%=3,其前”項和S,,滿足S?+1+S,i=2S“+1,其中〃±2,

nwN*.

(1)求證：數(shù)列｛〃,,｝為等差數(shù)列，并求其通項公式.

(2)設(shè)，為數(shù)列圾｝的前“項和，求使工,>2的“的取值范圍。

19.(12分)在高三一次數(shù)學測驗后，某班對選做題的選題情況進行了統(tǒng)計,如表.

坐標系與參數(shù)方程不等式選講

人數(shù)及均分人數(shù)均分人數(shù)均分

男同學14867

女同學86.5125.5

(1)求全班選做題的均分；

(2)據(jù)此判斷是否有90%的把握認為選做《坐標系與參數(shù)方程》或《不等式選講》與性別有

關(guān)？

(3)已知學習委員甲(女)和數(shù)學科代表乙(男)都選做《不等式選講》若在《不等式選講》中按

性別分層抽樣抽取3人,記甲乙兩人被選中的人數(shù)為，求的數(shù)學期望.

2

公生八一n(ad-bc)

參考公式：*=g+b)(c+d)(a+c)("d)，〃=a+-c+”-

下面臨界值表僅供參考：

戶(小洛)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0723.8415.024

k。2.7066.6357.87910.828

20.(12分)如圖，直四棱柱ABC。-AAGA的底面是菱

形,44,=4,A8=2,ABAD=60°,瓦M,N分別是BC,3件A。的中點.

(1)證明:MNP平面CQE;

(2)求二面角A-K4,-N的正弦值.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=￡二.

x-\

⑴當a=1時,求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

22.(12分)如圖，設(shè)拋物線￡=-4g(〃z>0)的準線I與x軸交于橢圓

221

G：夕+京=1(。>匕>0)的右焦點用，耳為G的左焦點.橢圓的離心率為e=g，拋物線￡與

橢圓G交于x軸上方一點尸，連接尸片并延長其交G于點Q,M為G上一動點，且在P,Q之

間移動.

(1)當4+半取最小值時，求C和C,的方程：

(2)若**的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，當4MPQ面積取最大值時，求面積最大值以

及此時直線的方程.

答案以及解析

一、單項選擇題

1.答案：A

解析：AuB={x|-3強*<5},A={x|W+ox0},B=[x|-；<x<5卜得A={x|-舞*0,所以

QA=(f,-3)D(0,+OO).

2.答案：B

解析：二=與器二?=其包=-1+"其在復平面內(nèi)對應(yīng)點(一:，江位于第二巡

l+i(l+i)(l-i)222{22J

故選B.

3.答案：A

解析：由題意知，總的基本事件數(shù)為A；=120,對于甲不安排在前兩天，且乙不安排在第一

天和最后一天，考慮先安排甲，如果甲安排在最后一天，乙只能安排在第2天到第4天中的

某一天，共有C；種安排方法，其他3人可以任意安排，則有C；A；=18種不同的安排方法，

如果甲安排在第3天或第4天，則甲有2種安排方法，乙也只有2種安排方法，其他3人可

以任意安排，有2x2xA；=24種不同的安排方法，所以共有18+24=42種不同的安排方法.

427

故甲不安排在前兩天，且乙不安排在第一天和最后一天的概率為面、

4.答案：B

解析：根據(jù)題的條件，可知O,A,B三點共線，從而得到b=2a，因為

cos2a=2cos2<7-1=2-l-1=r

解得即|a|=],所以|“_勿=|〃_2〃|邛,故選B.

5.答案：C

解析：由題圖可知，甲同學除第二次考試成績稍低于乙同學，其他考試成績都高于乙同學,

可知4>之.又由題圖中折線趨勢可知甲同學的成績比乙同學的成績穩(wěn)定，故叫<%.

6.答案：D

解析：?；函數(shù)fM在(0,-KO)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且/⑵=0,.?.函數(shù)/(%)在(0,2)的函數(shù)值

為正，在(2,內(nèi))上的函數(shù)值為負.當x>0時，不等式直上2二組通”0等價于

37(一)-2/。)40,又奇函數(shù)/。)，所以有/(x)N0,所以有0<xV2.同理當x<0時，可解

得-24x<0.綜上，不等式3/(T)-2/(X),,0的解集為12,0)u(0,2].故選D.

5x

7.答案：C

解析：將雙曲線C化為標準方程三-《=1,則”=應(yīng)，b=&,c=2.由雙曲線定義，知

22

|歷|一|「閭=2夜.又歸用=2歸閭,.-.\PF2\=2y/2,|P耳|=4及，\FtF2\=2c=4,

附『+照『-僧封32+8—163

cos/耳尸馬=±.故選C.

2|一閥|2x40x2&4

8.答案：B

解析：由f(x)=axlnx+e(l-a)lnx-x(x>l)恰有1個零點，方程

orlnx+e(l-a)Inx-l=0(x>l)恰有1個解，即方程一^=〃(x-e)+e(x>l)恰有,1個解，

Inx

即函數(shù)g(x)==匚(x>1)的圖象與直線y=a(x-e)+e(x>1)在(l,4~oo)上恰有1個交點，因為

]nx

8")=嗎二1，當l<x<e時，g'(x)V0,當x>e時，g'(x)X)，所以g(x)在區(qū)間(l,e)上

1m

都是減函數(shù)，在(e,+8)是增函數(shù)，當x=e時，g(x)取極小值g(e)=e,直線y=〃(x-e)+e

過點(e,e)f斜率為a,顯然(e,e)是函數(shù)g(x)=，匚(x>1)的圖象與直線y=a(x-e)+e(x>1)

Inx

的一個交點，這兩個圖象不能有其他交點，作出函數(shù)y=上(x>1)與)，=a(x-e)+e的圖象,

Inx

由圖可知，當x>e時，直線y=a(x-e)+e應(yīng)在函數(shù)g(x)=±(x>l)的圖象上方，設(shè)

Inx

°(x)=-------a(x-e)-e(x>e)，

\nx

即Q(x)<0恒成立，因為e(e)=0,.-.只需0(x)為減函數(shù)，所以/(x)=電二一,

Inx

即恒成立'設(shè)〃心:)=見4—-(x>e)>設(shè)f=lnx-l，則/>0,

hr九ln-x

r_1<1_1

=(77IF=n=4.當且僅當f=l，即yI,EPinx-l=l.

f+j+2+2t

即x=e?時，[加")]”"=1，所以，當a=0時，直線y-a(x—e)+e與y='X—(x>1)相

"""44Inx

切，也適合，故滿足題意a的取值范圍為{0}U[L+oo)，故選B.

二、多項選擇題

9.答案：ACD

解析：記橢圓C的上、下頂點分別為用,鳥,易知WN月線尼=N耳與鳥.選項A

中,/6百鳥=N片與6=90。,正確.選項B中,/68與=/片鳥鳥<90。,不存在90。的N片P&

錯誤.選項C中，面積Svgvgz/mw生產(chǎn)檢，正確?選項D中，周長

GPRF、=2c+2av4a,正確.

10.答案：BC

2兀71271

解析：由題圖可知，函數(shù)的最小正周期7=2=兀，-'-,：-：=71,69=±2.當t0=2時，

T-61切

y=sin(2x+°),將點《可代入得，sinf2x-7^1+^l=0,2x￡兀+9=2E+幾,左eZ,即

66

e=2E+g2兀,%￡Z,故)，=$山(2%+年).由于

3

選項C正確；對于選項A,當X=g時,

6

sin(H)=lw°，錯誤；對于選項D,當6+3一5兀時’cost=

(63)x=---=—<612；

錯誤.當0=-2時，尸sin(-2x+g),將伍0)代入，得sin，2xF+“=0,結(jié)合函數(shù)圖象,

7T47r(4兀1

知一2x—+0=兀+2E,AeZ,得9=----F2kit,k&Z,y=sin-2x+~,但當x=0時，

63k37

<0,與圖象不符合，舍去.綜上，選BC.

11.答案：ACD

解析：f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定義域為(2,6).

令f=(x—2)(6-x),貝！]y=Int.

因為二次函數(shù)f=(x-2)(6-x)的圖象的對稱軸為直線x=4,且在(2,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)

上單調(diào)遞減，

所以當x=4時，t有最大值，所以/。)皿=/(4)=21112"(》)在(2,6)上無最小值.

故選ACD.

12.答案：ABC

解析：因為隨機變量X服從兩點分布，且尸(X=0)=；,所以

P(X=1)=士,E(X)=0x2+lx二二3,所以P(X=1)=E(X),故A正確；

4444

3

E(4X+1)=4E(X)+1=4X-+1=4,故B正確；

4

D(X)=fo--^+x-=—,故C正確；

(4I416

D(4X+l)=42D(X)=16x—=3,故D不正確.故選ABC.

三、填空題

13.答案：相交或相切

解析：直線（，"+l）x+（加-l）y-2=0的方程可化為（x+y）m+x-y-2=0,

由優(yōu):0得憶，即直線過定點

因為點（1,-1）在圓（X-1）2+9=1上，

所以直線與圓相交或相切.

14.答案：-

3

解析：由題意知S、=5（4+%）=5%,又￡=3（%+/），所以％=3（生+G），則&=

2。3J

15.答案：32底t

解析：本題考查正弦定理、空間幾何體的外接球.

如圖，設(shè)口8C。的外接圓圓心為?,半徑為r,三棱錐A-BC。的外接球球心為0,半徑為

R,

則OOt±平面BCD,^OO]=—=2.

在口8c。中，由正弦定理得2r=―——=4近，故r=20,

sinZCfiD

則R=0G;=26.

故球0的體積V=3成3=d兀X（2百）3=32百兀.

33

解析：設(shè)VA8C的外接圓的圓心為?,半徑為r，則

32+52—72BC7_14>/3.7A/3

cosNBAC==120°,/.2r。-，一~亍

2x3x52sinABACsin]203

四、解答題

22

17.答案：(1)因為b(sin5+sinC)=ssinA-csinC,所以由正弦定理，Wb{b+c)=a-c9

B|Jb*1+c2-=-》c.由余弦定理，得cos4="+'——土=一’.又0＜人＜兀，故A=".

2bc23

⑵由i知,則c-刑-沈)

因為sin(c4)=坐，所以cos.由奢，故tan]Y卜義

因為A+8+C=兀，所以tan8=tan(m-c1=tan￡一(。一:)=

n(「兀)11

tan—tanC--廣—(―r~

616)￡2上=出

1兀，「兀)1I17

1+tantanC—1H—尸x--=

616)V32V3

18.答案：(1)由S,用+S,i=2S“+l(〃N2,”eN*)可得

即%+"”=1(〃*2)

又出一4=1

數(shù)列｛可｝是首項％=2,公差為1的等差數(shù)列

，通項公式4,=2+(〃-1)*1=〃+1

綜上所述，結(jié)論為：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，通項公式?！?”+1.

(2)由題1知：4=〃+1=aj2-"=(〃+l).(g

數(shù)列出}的前〃項和為T,則Z,=2-；+3*(：)■+---4小停)+(n+l)-^j

*=2x?+3.?+...+叱,+("+1).(7

兩式相減可得

-(〃+l)?m

由(>2可得3-若>2,即耍-l<0

設(shè)〃〃)=%T，貝廿M+1)—/(")=竽一1一〃+3_]

2〃

；?.”〃)在M上單調(diào)遞減，?"⑴=1>。，/(2)=1>0,/(3)=-1<0

當"=1,"=2時/(〃)>0,當n>3(nsN*)時/(/?)<0

?"的取值范圍為“23且"eN"

綜上所述，結(jié)論為：〃的取值范圍為〃上3且〃eN*.

19.答案：⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算全班選做題的平均分為

x=—x(14x8+8x6.5+6x7+12x5.5)=6.8.

40、/

(2)由表中數(shù)據(jù)計算觀測值：

2

2n(ad-bc)40x(14x12-8x6)240］二八07nA

K=-------------------r=-----------------=—x3.636>2.706,

(〃+〃)(c+d)(Q+c)(b+d)22x18x20x2011

所以，據(jù)此統(tǒng)計有90%的把握認為

選做《坐標系與參數(shù)方程》或《不等式選講》與性別有關(guān).

(3)學習委員甲被抽取的概率為《，

設(shè)《不等式選講》中6名男同學編號為乙』,2,3,4,5；

從中隨機抽取2人，共有15種抽法：

乙與1,乙與2,乙與3,乙與4,乙與5,

1與2,1與3,1與4,1與5,2與3,

2與4,2與5,3與4,3與5,4與5,

數(shù)學科代表乙被抽取的有5種：

乙與1,乙與2,乙與3,乙與4,乙與5,

數(shù)學科代表乙被抽取的概率為之=：，，甲乙兩人均被選中的概率為=

12336

20.答案：⑴連接BC，廊.因為M,E分別為8綜BC的中點，所以MEP80,且ME=^BlC.

又因為N為A。的中點，所以NO=‘A"由題設(shè)知A4尸叱，可得4cp4,故ME/WD,因

2===

此四邊形MNDE為平行四邊形,MNPED.又MNa平面EDC.，所以MN尸平面C.DE.

UUU

(2)由已知可得DE_LZM.以D為坐標原點,D4的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間

直角坐標系。型,則

A(2,0,0),A(2,0,4),M(l,百,2),N(l,0,2),

UUUU11UUIUUUUUU_

AA=(0,0,Y),AM=(-1,75,-2),AN=(—1,0,-2),MN=(0,->/3,0).

所以口竦一一°,可取…肉0).

設(shè)”=(p,g,r)為平面AMN的法向量,

uuir

n,MN=0,…

則uuir所以，

言可取〃力

〃?4N=0.23-

2A/3V15

于是cos(m,n)=——---

\fn\\n\2x近一5

所以二面角A-M\-N的正弦值為半.

21.答案：(1)當。=1時,/(?=￡-,則f(x)=e，(A'"?.

x-\(x-1)

八°)=忌=T/'(°)e°(0-2)

0—1(0-1)2

所以曲線y=〃x)在點(OJ(O))處的切線方程為y-(-l)=—2(x—0),即y=-2x-l.

(2)由函數(shù)/(x)=￡，得f(x)=e”年.

x-1(x-1)

當a=0時J(x)=[J<0,

U-D-

所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,1),(1,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間.

當。工0時，令/'(幻=0,即以-3+1)=0,解得

當。>o時,％="■!■>1,

a

所以xj'(x)J(x)的變化情況如下表:

a+\

X(-00,1)

(修~T

f(x)-一0+

f(x)]]極小值z

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(Y0,1),(1,gl),單調(diào)遞增區(qū)間為(