隱藏在勢能函數(shù)里的信息

隱藏在勢能函數(shù)里的信息第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四引子——線性恢復(fù)力作用下的運(yùn)動永遠(yuǎn)指向平衡位置的力稱恢復(fù)力?；謴?fù)力的大小與偏離/形變/位移成正比時，稱為線性恢復(fù)力。受線性恢復(fù)力作用的質(zhì)點的運(yùn)動方程為：（1）或（2）解為或A稱振幅，ω稱角頻率/圓頻率，φ/δ稱初相。運(yùn)動方式(3)稱為簡諧振動。其特點是，頻率與振幅無關(guān)。（3）第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四xU2.設(shè)有一質(zhì)點受保守力作用沿x軸運(yùn)動，勢能函數(shù)為.勢能曲線如下。曲線與x軸的交點a,b,稱為U曲線的零點，它們滿足方程:abx1x0x2在x=x0,x1,x2處，勢能曲線上的點d,c,e有水平切線。它們稱為曲線的極值點，又稱平衡點。極值點的橫坐標(biāo)滿足方程：(5)cde(4)o第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四xUx1x0x2極值點可分為以下3類：1.極大如e,滿足條件cde3.拐點如c,滿足條件2.極小如d，滿足條件Exffg質(zhì)點運(yùn)動范圍不穩(wěn)定平衡點。不穩(wěn)定平衡點。穩(wěn)定平衡點。質(zhì)點的機(jī)械能守恒：o第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四在保守力場中運(yùn)動的質(zhì)點，滿足機(jī)械能守恒條件。設(shè)能量值為E,在圖中用紅色水平線表示。當(dāng)質(zhì)點位于x處時，其勢能值為蘭色箭頭所示，向下為負(fù)；動能為藍(lán)色箭頭所示，向上為正。兩者之和為E.因動能不可能為負(fù)，質(zhì)點被限制在f,g之間作往復(fù)周期性運(yùn)動,滿足條件E≥U(x)。xUx1x0x2cdeExffg質(zhì)點運(yùn)動范圍因動能是非負(fù)的，質(zhì)點運(yùn)動范圍便是：o第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四3.質(zhì)點在勢能曲線極小點附近的行為設(shè)能量值E只比勢能極小值U(x0)大一個小量ΔΕ<<1:xUx0Exffg運(yùn)動范圍●U(x0)E-U(x0)=ΔΕ<<1(6)質(zhì)點的運(yùn)動范圍也會很小：E≥U(x)x1x2-x1<<1x2因而任何時刻質(zhì)點到x0的距離都滿足條件：(7)o第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四xUx0Exffg運(yùn)動范圍●U(x0)x1x2(9)質(zhì)點運(yùn)動方程：將函數(shù)U′(x)在x0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，取到一階小量：引入新變量(8)(10)它就是質(zhì)點相對于穩(wěn)定平衡點x0的偏離。于是方程(8)成為(11)由于，（11）是ε的簡諧振動方程，圓頻率為(12)o第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四以上分析表明：任何系統(tǒng)，在其穩(wěn)定平衡狀態(tài)（如果存在的話）附近受到微小擾動時，系統(tǒng)將作微幅簡諧振動。其頻率與振幅無關(guān)，為(13)這是一個用途極其廣泛的結(jié)果：小到晶體中的晶格振動，大到建筑結(jié)構(gòu)的小振動，都服從這個規(guī)律。這種振動不會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。任何人為設(shè)計的結(jié)構(gòu)，都應(yīng)使其工作狀態(tài)處于勢能極小附近。無所不在的微擾能量會被這種非破壞性的振動吸收。第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四4.我們現(xiàn)在來將上述結(jié)果推廣到中心力作用下的二維運(yùn)動。用平面極坐標(biāo)系討論中心力問題很方便。取力心（在慣性空間靜止）為原點。中心力都是保守力，設(shè)勢能函數(shù)為。質(zhì)點動能為●●rmθ極軸力心o機(jī)械能守恒表示式為(14)中心力問題角動量守恒：為常矢，垂直圖面向外。第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四將角動量守恒式寫成投影形式：（15）（15）代入（14）消去,得到機(jī)械能守恒與角動量守恒相結(jié)合的關(guān)系式：（16）注意（16）只含一個坐標(biāo)變量r,橫向運(yùn)動看不見了！定義徑向坐標(biāo)函數(shù)（17）（16）就成為（18）這不就是一個只作徑向運(yùn)動的質(zhì)點的機(jī)械能守恒式嗎？(17)定義的稱為中心力問題的等效勢函數(shù)。

第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四設(shè)想觀察者坐在隨質(zhì)點一起繞力心旋轉(zhuǎn)的軸上，他只能看見質(zhì)點作徑向運(yùn)動，質(zhì)點的動能就是●●力心極軸勢能就是機(jī)械能守恒就是（18）這就是觀察者看見的質(zhì)點運(yùn)動微分方程。將（18）對時間求導(dǎo)：約去，得（19）第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四我們可以用等效勢函數(shù)討論徑向運(yùn)動的種種特性。以點狀彈簧問題為例：設(shè)質(zhì)點受力●●rmθ極軸彈性力心o彈性勢函數(shù)等效勢函數(shù)以下用數(shù)學(xué)分析方法討論等效勢函數(shù)的性質(zhì)：①令解出等效勢極值點坐標(biāo)：(20)第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四rE0r0右圖所示為二維胡克力場的等效勢曲線。因為質(zhì)點的機(jī)械能與角動量均守恒，可設(shè)其值分別為E與L.當(dāng)E=E0=時，能量線與等效勢曲線相切，r只能取唯一可能值r0.此時質(zhì)點無徑向運(yùn)動。在慣性空間內(nèi)，質(zhì)點作圓周運(yùn)動。反平方雙曲線拋物線由此可見，若等效勢曲線有極小，且機(jī)械能E=等效勢極小值,則質(zhì)點繞質(zhì)心作半徑為r0的圓運(yùn)動。o第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四這與(20)一致。即，圓周運(yùn)動半徑是方程的根，也就是等效勢曲線的極小點的橫坐標(biāo)。按牛頓定律，向心力公式為化成rE0r0②由圖知，能量E不可能小于E0.最小能量E0與角動量為L,半徑為r0的圓運(yùn)動對應(yīng)。o第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四rEr0③若能量值為E,能量線與曲線相交于兩點，其橫坐標(biāo)為r1與r2.r1r2r質(zhì)點的徑向運(yùn)動范圍便是：在隨質(zhì)點一起繞力心旋轉(zhuǎn)的徑向坐標(biāo)系內(nèi)，質(zhì)點受力為（21）（22）上式右方第二項是胡克力，第一項就是慣性離心力。在r>r0處，f(r)<0,在r<r0處，f(r)>0,力f永遠(yuǎn)指向平衡點r0.這表明：質(zhì)點在橫向與徑向同時在作往復(fù)周期運(yùn)動。o第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四④質(zhì)點在繞力心旋轉(zhuǎn)的同時還要做徑向振動，這是一種什么樣的復(fù)合運(yùn)動呢？可能有兩種情況：rE0r0橫向運(yùn)動周期/頻率與徑向運(yùn)動周期/頻率成簡單整數(shù)比，則質(zhì)點運(yùn)動軌跡是封閉曲線（李薩茹圖形）；橫向運(yùn)動周期/頻率與徑向運(yùn)動周期/頻率的比值是無理數(shù)，則質(zhì)點軌跡不封閉?？梢試?yán)格證明，在中心力是胡克力的情況下，徑向頻率：橫向頻率=2:1。軌跡是橢圓，力心在橢圓長短軸的交點。o第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四⑤現(xiàn)僅就能量E=E0+ΔE稍大于圓運(yùn)動能量E0的情況作一討論。因rE0r0因而質(zhì)點的徑向運(yùn)動范圍滿足條件r1r2將徑向運(yùn)動方程在平衡點r0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，展開到一級小量：可見，徑向運(yùn)動是簡諧振動，其圓頻率為o第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四因為質(zhì)點徑向小振動圓頻率質(zhì)點的橫向運(yùn)動頻率可以如下求出：橫向運(yùn)動偏離勻速圓周運(yùn)動很小。按圓周運(yùn)動計算，橫向角速度ω滿足條件：向心力公式第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四即，在徑向運(yùn)動完成兩個周期的時間內(nèi)，橫向運(yùn)動完成一個周期。質(zhì)點徑向振動圓頻率質(zhì)點的橫向運(yùn)動頻率●力心●第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四5.再看另一種常見的中心力——反平方引力的情形反平方引力勢能函數(shù)等效勢能函數(shù)①求圓運(yùn)動半徑令求得可能的圓運(yùn)動半徑可用向心力公式驗證（1）第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)質(zhì)點在慣性系中作半徑為r0的圓運(yùn)動，能量為E0。由于等效勢函數(shù)在r0處有極小。半徑為r0的圓運(yùn)動是穩(wěn)定的。r0rE0E+ΔEr1r2②求徑向振動頻率（2）o第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四為求橫向頻率，寫出向心力公式：（3）（2），（3）比較，知Ω=ω?！瘛窳π目勺C，軌道是以力心為焦點之一的橢圓。第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四r0rE0r1r2E●●力心r2r1o可證，只要軌跡都是以力心為焦點之一的橢圓。能量的最小可能值是,此時軌跡為圓。等效勢分析法還可以用以分析陀螺運(yùn)動。機(jī)械能守恒式加上兩個角動量分量守恒式，就可以將陀螺運(yùn)動用一個角坐標(biāo)及其相應(yīng)的角速度表出，迅速得出章動周期。第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四2.自然界的秩序和方向性第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四一、宏觀事物的不可逆性《漢書》上記敘了一個故事，說的是漢代有一個名叫朱買臣的人，因家境貧寒，他的妻子不愿與他患難相守，離他而去。待到幾年后，朱買臣功成名就，衣錦還鄉(xiāng)時，這個已經(jīng)嫁給了別人的女人又想破鏡重圓。朱買臣則在馬前潑水以明心志。這就是成語《覆水難收》的來歷。在自然界，我們每天都能見到不可能自動返回原狀的過程：玻璃杯落地摔成一堆玻璃碴；寵物狗與流浪狗玩了一會兒，前者染上了滿身跳蚤；克服摩擦力做的功全部變成熱，等等。我們在大學(xué)物理教材用幾個編號的分子在容器左右兩邊的分布的可能性來說明某種宏觀分布狀態(tài)出現(xiàn)的幾率?，F(xiàn)在我們來看稍微復(fù)雜的情形。第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四在教科書中，我們討論過大量分子在容器左右兩半中分布的可能情況，從而導(dǎo)出了熵的波爾茲曼表示式。實際上，分子的分布不僅有位置分布，還有能量分布。我們來說明這個問題。密閉容器中的定量氣體，不僅有確定的總分子數(shù)N和體積V,而且有確定的內(nèi)能E。以i標(biāo)記一種可能的微觀狀態(tài)，在其中，單個分子的能量為εi，處于這個能量狀態(tài)的分子數(shù)為Ni,于是有打個比方：3個人分3個蘋果。此處3個人表示總分子數(shù)N=3;3個蘋果表示總能量E=3.就單個分子而言，可能的能量有四種：第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期四總體能量分布情況有以下諸種：N=ΣNiE=ΣNiεiNi微觀能量狀態(tài)1每人1個蘋果a,b,cN1=0;N2=3；N3=0；N4=01微觀能量狀態(tài)21人獨占3個蘋果,2人無蘋果a,bcN1=2;N2=0;N3=0;N4=13a,cbb,ca微觀能量狀態(tài)31人2個蘋果1人1個蘋果1人無蘋果abc