第七講矩陣的秩線性方程組的解演示文稿

第七講矩陣的秩線性方程組的解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)（優(yōu)選）第七講矩陣的秩線性方程組的解當(dāng)前第2頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)3.初等變換的應(yīng)用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B當(dāng)前第3頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)第二節(jié)矩陣的秩一.矩陣秩的概念二.矩陣秩的求解當(dāng)前第4頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)一、矩陣秩的概念矩陣的秩當(dāng)前第5頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)如：矩陣取第1行、第3行和第1列、第4列交叉處的元素，二階子式是組成的的最高階子式是3階，共有4個(gè)3階子式.易見當(dāng)前第6頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)最低階為階，最高階為階.當(dāng)前第7頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)注:顯然,中不等于零的子式的最矩陣的秩是高階數(shù).矩陣的秩具有下列性質(zhì):(1)若矩陣中有某個(gè)階子式不為0,則(2)若中所有階子式全為0,則(3)若為矩陣,則(4)當(dāng)前第8頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例1求矩陣解在中,又的3階子式只有一個(gè)且的秩.當(dāng)前第9頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例2解當(dāng)前第10頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法當(dāng)前第11頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解當(dāng)前第12頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)當(dāng)前第13頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)當(dāng)前第14頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)當(dāng)前第15頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知當(dāng)前第16頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)當(dāng)前第17頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)則這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.故A中必有3階非零子式，計(jì)算A的前三行構(gòu)成的子式當(dāng)前第18頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)當(dāng)前第19頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例設(shè)為階非奇異矩陣,為矩陣.試證:與之積的秩等于的秩,即證因?yàn)榉瞧娈?故可表示成若干初等矩陣之積,皆為初等矩陣.即是經(jīng)次初等行變換后得出的.因而證畢.注:由矩陣的秩及滿秩矩陣的定義,顯然,若一個(gè)階矩陣是滿秩的,則因而非奇異;反之亦然.當(dāng)前第20頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)三、小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));定理等價(jià)矩陣的秩相等當(dāng)前第21頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)結(jié)論矩陣的秩最高階非零子式的階數(shù)行階梯形矩陣非零行的行數(shù)行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的行數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的階數(shù)當(dāng)前第22頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)主要內(nèi)容線性方程組解的存在性線性方程組的解法第三節(jié)線性方程組的解當(dāng)前第23頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)解向量線性方程組A稱為系數(shù)矩陣，B=（A,b）稱為增廣矩陣當(dāng)前第24頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)同解方程組為同解方程組為當(dāng)前第25頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)線性方程組的解有下列三種情況：無解有無窮解有惟一解當(dāng)前第26頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)

當(dāng)前第27頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)同解方程組為同解方程組為當(dāng)前第28頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)求解線性方程組的步驟：寫出增廣矩陣，對(duì)于齊次線性方程組寫出系數(shù)矩陣用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣根據(jù)增廣矩陣與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系判斷是否有解如果有解，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣首非零元素1對(duì)應(yīng)的未知量為非自由未知量，其余未知量為自由未知量令自由未知量為c,從而得到方程組的通解（一般解）當(dāng)前第29頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例1

求解齊次線性方程組解當(dāng)前第30頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)即得與原方程組同解的方程組當(dāng)前第31頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)由此即得當(dāng)前第32頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例２求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無解．當(dāng)前第33頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例３求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換當(dāng)前第34頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)故方程組有解，且有當(dāng)前第35頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)得方程組的通解為當(dāng)前第36頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例５設(shè)有線性方程組解當(dāng)前第37頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)當(dāng)前第38頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)其通解為當(dāng)前第39頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)這時(shí)又分兩種情形：當(dāng)前第40頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)當(dāng)前第41頁\共有44頁\編于星期三\8點(diǎn)例6設(shè)有線性方程組問取何值時(shí)，此方程組（1）有唯一解