運(yùn)籌學(xué)動(dòng)態(tài)規(guī)劃

運(yùn)籌學(xué)動(dòng)態(tài)規(guī)劃第一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是用來解決多階段決策過程最優(yōu)化的一種數(shù)量方法。其特點(diǎn)在于，它可以把一個(gè)n維決策問題變換為幾個(gè)一維最優(yōu)化問題，從而一個(gè)一個(gè)地去解決。

需指出：動(dòng)態(tài)規(guī)劃是求解某類問題的一種方法，是考察問題的一種途徑，而不是一種算法。必須對(duì)具體問題進(jìn)行具體分析，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的原理和方法，建立相應(yīng)的模型，然后再用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法去求解。第二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三即在系統(tǒng)發(fā)展的不同時(shí)刻（或階段）根據(jù)系統(tǒng)所處的狀態(tài)，不斷地做出決策；每個(gè)階段都要進(jìn)行決策,目的是使整個(gè)過程的決策達(dá)到最優(yōu)效果。動(dòng)態(tài)決策問題的特點(diǎn)：系統(tǒng)所處的狀態(tài)和時(shí)刻是進(jìn)行決策的重要因素；找到不同時(shí)刻的最優(yōu)決策以及整個(gè)過程的最優(yōu)策略。多階段決策問題：在多階段決策過程中,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程可以按照時(shí)間進(jìn)程分為狀態(tài)相互聯(lián)系而又相互區(qū)別的各個(gè)階段；第三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三多階段決策問題的典型例子：

1.生產(chǎn)決策問題：企業(yè)在生產(chǎn)過程中，由于需求是隨時(shí)間變化的，因此企業(yè)為了獲得全年的最佳生產(chǎn)效益，就要在整個(gè)生產(chǎn)過程中逐月或逐季度地根據(jù)庫存和需求決定生產(chǎn)計(jì)劃。

2.機(jī)器負(fù)荷分配問題：某種機(jī)器可以在高低兩種不同的負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)。在高負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品的年產(chǎn)量g和投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量u1的關(guān)系為g=g(u1)12n狀態(tài)決策狀態(tài)決策狀態(tài)狀態(tài)決策第四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

這時(shí)，機(jī)器的年完好率為a，即如果年初完好機(jī)器的數(shù)量為u，到年終完好的機(jī)器就為au,0<a<1。

在低負(fù)荷下生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品的年產(chǎn)量h和投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量u2的關(guān)系為

h=h(u2)

假定開始生產(chǎn)時(shí)完好的機(jī)器數(shù)量為s1。要求制定一個(gè)五年計(jì)劃，在每年開始時(shí)，決定如何重新分配完好的機(jī)器在兩種不同的負(fù)荷下生產(chǎn)的數(shù)量，使在五年內(nèi)產(chǎn)品的總產(chǎn)量達(dá)到最高。

相應(yīng)的機(jī)器年完好率b,0<b<1。

第五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

3.航天飛機(jī)飛行控制問題：由于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)的環(huán)境是不斷變化的，因此就要根據(jù)航天飛機(jī)飛行在不同環(huán)境中的情況，不斷地決定航天飛機(jī)的飛行方向和速度（狀態(tài)），使之能最省燃料和實(shí)現(xiàn)目的（如軟著落問題）。

4.不包含時(shí)間因素的線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等靜態(tài)決策問題（本質(zhì)上是一次決策問題）也可以適當(dāng)?shù)匾腚A段的概念，作為多階段的決策問題用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來解決。第六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

5.

最短路問題：給定一個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)圖如下，其中兩點(diǎn)之間的數(shù)字表示距離（或花費(fèi)），試求從A點(diǎn)到G點(diǎn)的最短距離（總費(fèi)用最小）。123456AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2E3F1F2G531368763685338422213335256643第七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

（一）、基本概念

1、階段：把一個(gè)問題的過程，恰當(dāng)?shù)胤譃槿舾蓚€(gè)相互聯(lián)系的階段，以便于按一定的次序去求解。描述階段的變量稱為階段變量（k)。k=1,2,3,…，n階段的劃分，一般是根據(jù)時(shí)間和空間的自然特征來進(jìn)行的，但要便于問題轉(zhuǎn)化為多階段決策。2、狀態(tài)：表示每個(gè)階段開始所處的自然狀況或客觀條件。通常一個(gè)階段有若干個(gè)狀態(tài)，描述過程狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量sk(表示第k階段的狀態(tài)變量)。年、月、路段一個(gè)數(shù)、一組數(shù)、一個(gè)向量狀態(tài)變量的取值有一定的允許集合或范圍，此集合稱為狀態(tài)允許集合SK={s1,s2,…,sk,…}。一、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想第八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

3、決策：表示當(dāng)過程處于某一階段的某個(gè)狀態(tài)時(shí)，可以作出不同的決定，從而確定下一階段的狀態(tài)，這種決定稱為決策。描述決策的變量，稱為決策變量。常用uk（sk）表示第k階段當(dāng)狀態(tài)為sk時(shí)的決策變量。

決策變量是狀態(tài)變量的函數(shù)?？捎靡粋€(gè)數(shù)、一組數(shù)或一向量（多維情形）來描述。

在實(shí)際問題中決策變量的取值往往在某一范圍之內(nèi)，此范圍稱為允許決策集合。

常用Dk（sk）表示第k階段從狀態(tài)sk出發(fā)的允許決策集合，顯然uk（sk）∈Dk（sk）。第九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

4、多階段決策過程可以在各個(gè)階段進(jìn)行決策，去控制過程發(fā)展的多段過程；其發(fā)展是通過一系列的狀態(tài)轉(zhuǎn)移來實(shí)現(xiàn)的；系統(tǒng)在某一階段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移不但與系統(tǒng)的當(dāng)前的狀態(tài)和決策有關(guān)，而且還與系統(tǒng)過去的歷史狀態(tài)和決策有關(guān)。第十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三圖示如下：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是確定過程由一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的演變過程。如果第k階段狀態(tài)變量sk的值、該階段的決策變量一經(jīng)確定，第k+1階段狀態(tài)變量sk+1的值也就確定。其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下（一般形式）12ks1u1s2u2s3skuksk+1能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解的多階段決策過程是一類特殊的多階段決策過程，即具有無后效性的多階段決策過程。第十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三如果狀態(tài)變量不能滿足無后效性的要求，應(yīng)適當(dāng)?shù)馗淖儬顟B(tài)的定義或規(guī)定方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃中能處理的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的形式。狀態(tài)具有無后效性的多階段決策過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下無后效性(馬爾可夫性)如果某階段狀態(tài)給定后，則在這個(gè)階段以后過程的發(fā)展不受這個(gè)階段以前各段狀態(tài)的影響；過程的過去歷史只能通過當(dāng)前的狀態(tài)去影響它未來的發(fā)展；構(gòu)造動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型時(shí)，要充分注意是否滿足無后效性的要求；狀態(tài)變量要滿足無后效性的要求；第十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

5、策略：相互連接的決策序列稱為一個(gè)策略。從第k階段開始到第n階段結(jié)束稱為一個(gè)子策略。

Pk,n,全策略

P1,n.

所有策略當(dāng)中有最優(yōu)值的策略稱為最優(yōu)策略。

6、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：是確定過程由一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的演變過程，描述了狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律。第十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

7、指標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)值函數(shù)：用來衡量所實(shí)現(xiàn)過程優(yōu)劣的一種數(shù)量指標(biāo)，為指標(biāo)函數(shù)。階段指標(biāo)函數(shù)：Vk(sk,uk)

表示第k階段位于sk

狀態(tài)、決策為uk

的指標(biāo)值。

策略指標(biāo)函數(shù)：各決策序列指標(biāo)值之和。（個(gè)別情況為乘積）指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，稱為最優(yōu)值函數(shù)。在不同的問題中，指標(biāo)函數(shù)的含義是不同的，它可能是距離、利潤(rùn)、成本、產(chǎn)量或資源消耗等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的指標(biāo)函數(shù)，應(yīng)具有可分離性，并滿足遞推關(guān)系。第十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三小結(jié):方程:狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程概念:階段變量k﹑狀態(tài)變量sk﹑決策變量uk;指標(biāo):

動(dòng)態(tài)規(guī)劃本質(zhì)上是多階段決策過程;

效益指標(biāo)函數(shù)形式:

和、積無后效性可遞推第十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三解多階段決策過程問題，求出

最優(yōu)策略，即最優(yōu)決策序列f1(s1)

最優(yōu)軌線，即執(zhí)行最優(yōu)策略時(shí)的狀態(tài)序列

最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值從k到終點(diǎn)最優(yōu)策略子策略的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值第十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

1、動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的關(guān)鍵在于正確地寫出基本的遞推關(guān)系式和恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件（簡(jiǎn)稱基本方程）。要做到這一點(diǎn)，就必須將問題的過程分成幾個(gè)相互聯(lián)系的階段，恰當(dāng)?shù)倪x取狀態(tài)變量和決策變量及定義最優(yōu)值函數(shù)，從而把一個(gè)大問題轉(zhuǎn)化成一組同類型的子問題，然后逐個(gè)求解。即從邊界條件開始，逐段遞推尋優(yōu)，在每一個(gè)子問題的求解中，均利用了它前面的子問題的最優(yōu)化結(jié)果，依次進(jìn)行，最后一個(gè)子問題所得的最優(yōu)解，就是整個(gè)問題的最優(yōu)解。（二）、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想第十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

2、在多階段決策過程中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是既把當(dāng)前一段和未來一段分開，又把當(dāng)前效益和未來效益結(jié)合起來考慮的一種最優(yōu)化方法。因此，每段決策的選取是從全局來考慮的，與該段的最優(yōu)選擇答案一般是不同的.

最優(yōu)化原理：作為整個(gè)過程的最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì)：無論過去的狀態(tài)和決策如何，相對(duì)于前面的決策所形成的狀態(tài)而言，余下的決策序列必然構(gòu)成最優(yōu)子策略?！币簿褪钦f，一個(gè)最優(yōu)策略的子策略也是最優(yōu)的。

3、在求整個(gè)問題的最優(yōu)策略時(shí)，由于初始狀態(tài)是已知的，而每段的決策都是該段狀態(tài)的函數(shù)，故最優(yōu)策略所經(jīng)過的各段狀態(tài)便可逐段變換得到，從而確定了最優(yōu)路線。第十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三（三）、建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的步驟

1、劃分階段k劃分階段是運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解多階段決策問題的第一步，在確定多階段特性后，按時(shí)間或空間先后順序，將過程劃分為若干相互聯(lián)系的階段。對(duì)于靜態(tài)問題要人為地賦予“時(shí)間”概念，以便劃分階段。

2、正確選擇狀態(tài)變量sk選擇變量既要能確切描述過程演變又要滿足無后效性，而且各階段狀態(tài)變量的取值能夠確定。一般地，狀態(tài)變量的選擇是從過程演變的特點(diǎn)中尋找。

3、確定決策變量uk(sk)及允許決策集合Dk(sk)通常選擇所求解問題的關(guān)鍵變量作為決策變量，同時(shí)要給出決策變量的取值范圍，即確定允許決策集合。第十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

4、確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程根據(jù)k階段狀態(tài)變量和決策變量，寫出k+1階段狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程應(yīng)當(dāng)具有遞推關(guān)系。

sk+1=Tk(sk,uk)Tk

—函數(shù)關(guān)系

5、確定階段指標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)，建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程階段指標(biāo)函數(shù)是指第k

階段的收益，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)是指從第k階段狀態(tài)出發(fā)到第n階段末所獲得收益的最優(yōu)值，最后寫出動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程。fk(sk)=Opt[Vk(sk,uk)+fk+1(sk+1)]fn+1(sn+1)=0Opt最優(yōu)化（max,min）第二十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

以上五步是建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般步驟。由于動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型與線性規(guī)劃模型不同，動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型沒有統(tǒng)一的模式，建模時(shí)必須根據(jù)具體問題具體分析，只有通過不斷實(shí)踐總結(jié)，才能較好掌握建模方法與技巧。

f1(s1)是整個(gè)問題的最優(yōu)策略，最優(yōu)值。

fk(sk)表示從第k階段（狀態(tài)sk）到終點(diǎn)的最優(yōu)指標(biāo)值。（距離、利潤(rùn)、成本等）第二十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三例一、從A

地到D

地要鋪設(shè)一條煤氣管道,其中需經(jīng)過兩級(jí)中間站，兩點(diǎn)之間的連線上的數(shù)字表示距離，如圖所示。問應(yīng)該選擇什么路線，使總距離最短？AB1B2C1C2C3D24333321114二、最短路徑問題第二十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三解：整個(gè)計(jì)算過程分三個(gè)階段，從最后一個(gè)階段開始。第三階段（C→D）：C

有三條路線到終點(diǎn)D

。

AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3顯然有f3(C1)

=1；

f3(C2)

=3；

f3(C3)

=4

第二十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

d(B1,C1)+f3(C1)

3+1f2(B1)=mind(B1,C2

)+f3(C2)

=min3+3

d(B1,C3)+f3(C3)1+44=min6=45第二階段（B→C）：B到C

有六條路線。AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2(最短路線為B1→C1→D)第二十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

d(B2,C1)+f3(C1)

2+1f2(B2)=mind(B2,C2

)+f3(C2)

=min3+3

d(B2,C3)+f3(C3)1+43=min6=35AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2(最短路線為B2→C1→D)第二十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三第一階段（

A→B

）：A到B有二條路線。

f1(A)1=d(A,B1)＋f2(B1)＝2＋4＝6

f1(A)2=d(A,B2)＋f2(B2)＝4＋3＝7∴f1(A)

=min=min｛6,7｝=6d(A,B1)＋f2(B1)d(A,B2)＋f2(B2)(最短路線為A→B1→C1→D)AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2A第二十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2A最短路線為A→B1→C1→D

路長(zhǎng)為6第二十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三三、非線性規(guī)劃問題【例7-4】用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解下列非線性規(guī)劃問題

第二十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三解：解決這一類靜態(tài)規(guī)劃問題，需要人為地賦予時(shí)間概念，從而將該問題轉(zhuǎn)化為多階段決策過程。按問題的變量個(gè)數(shù)劃分階段，把它看作一個(gè)三階段決策問題，k=1，2，3設(shè)狀態(tài)變量為s1，s2，s3，s4并記s1≤c取問題中的變量x1，x2，x3為決策變量

第二十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

s3=x3

s3+x2=s2

s2+x1=s1≤c允許決策集合為：

x3=s3 0≤x2≤s2 0≤x1≤s1各階段指標(biāo)函數(shù)為：v1（x1）=x1

v2（x2）=x22

v3（x3）=x3，各指標(biāo)函數(shù)以乘積方式結(jié)合，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示從第k階段初始狀態(tài)sk出發(fā)到第3階段所得到的最大值，則動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：

第三十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三用逆序解法由后向前依次求解：k=3時(shí)，

x3*=s3k=2時(shí)，第三十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三令h2（s2，x2）=x22（s2－x2）用經(jīng)典解析法求極值點(diǎn)：解得：

x2=0（舍）

所以

是極大值點(diǎn)。

第三十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=1時(shí)，

令解得：

x1=s1（舍）

所以

是極大值點(diǎn)。

第三十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三由于s1未知，所以對(duì)s1再求極值，顯然s1=c時(shí)，f1（s1）取得最大值

反向追蹤得各階段最優(yōu)決策及最優(yōu)值：

s1=c

所以最優(yōu)解為：

第三十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

一般地，如果階段指標(biāo)函數(shù)vk（sk，uk）是線性函數(shù)或凸函數(shù)時(shí)，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）的表達(dá)式比較容易得到，但是當(dāng)vk（sk，uk）不具備上述特性時(shí)，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）的表達(dá)式不易得到，就需要采用數(shù)值法，即對(duì)連續(xù)變量進(jìn)行離散化處理，再分散求解。例如靜態(tài)規(guī)劃模型其動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為sk+1=sk－xk

s1=a第三十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三狀態(tài)變量sk及決策變量xk都是連續(xù)變量，對(duì)其進(jìn)行離散化處理，具體做法是：1.對(duì)區(qū)間[0，a]進(jìn)行分割，分割數(shù)m=，其中Δ是分割后的小區(qū)間的長(zhǎng)度，其大小可以根據(jù)所求解問題要求的精度及計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力而定，分割點(diǎn)為0，Δ，2Δ，…，mΔ=a。2.規(guī)定狀態(tài)變量sk及決策變量xk僅在離散點(diǎn)0，Δ，2Δ，…，mΔ處取值，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）也定義在這些離散點(diǎn)上。動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程可以寫為：其中sk=qΔ，xk=pΔ。3.由后向前逐段遞推，直至求出整個(gè)過程最優(yōu)解。

第三十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三【例7-5】解按變量個(gè)數(shù)將原問題分為三個(gè)階段，階段變量k=1，2，3；

選擇xk為決策變量；

狀態(tài)變量sk表示第k階段至第3階段決策變量之和；

取小區(qū)間長(zhǎng)度Δ=1，小區(qū)間數(shù)目m=6/1=6，狀態(tài)變量sk的取值點(diǎn)為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk－xk；允許決策集合：Dk（sk）=｛xk|0≤xk≤sk｝ k=1，2，3

xk，sk均在分割點(diǎn)上取值；

第三十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

階段指標(biāo)函數(shù)分別為：g1（x1）=x12

g2（x2）=x2

g3（x3）=x33，

最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示從第k階段狀態(tài)sk出發(fā)到第3階段所得到的最大值，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程為：

k=3時(shí)，

s3及x3取值點(diǎn)較多，計(jì)算結(jié)果以表格形式給出，見表7-1所示。

第三十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三表7－1取值第三十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=2時(shí)，計(jì)算結(jié)果見表7-2

第四十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

k=1時(shí)，其中s1=6，計(jì)算結(jié)果見表7-3所示。

由表7-3知，x1*=2，s1=6，則s2=s1－x1*=6－2=4，查表7-2得：x2*=1，則s3=s2－x2*=4－1=3，查表7-1得：x3*=3，所以最優(yōu)解為：x1*=2，x2*=1，x3*=3，f1(s1)=108。

本例也可用經(jīng)典解析法求得各段的極值，讀者可自行求解，二者結(jié)論完全相同。需要指出的是當(dāng)連續(xù)變量離散化處理以后，由于狀態(tài)變量和決策變量只在給定的離散點(diǎn)上取值，故有可能漏掉最優(yōu)解，因此需要慎重選擇參數(shù)m與Δ。

第四十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三資源分配問題就是將一定數(shù)量的一種或若干種資源（原材料、資金、設(shè)備等）合理分配給若干使用者，使得資源分配后總結(jié)果最優(yōu)。一種資源的分配問題稱為一維資源分配問題，兩種資源的分配問題稱為二維資源分配問題。

四、資源分配問題第四十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

假設(shè)有一種資源，數(shù)量為a，將其分配給n個(gè)使用者，分配給第i個(gè)使用者數(shù)量xi時(shí)，相應(yīng)的收益為gi（xi），問如何分配使得總收入最大？這就是一維資源分配問題，該問題的數(shù)學(xué)模型為：

這是一個(gè)靜態(tài)規(guī)劃問題，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解時(shí)人為賦予時(shí)間概念，將其看作是一個(gè)多階段決策問題。

第四十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三按變量個(gè)數(shù)劃分階段，k=1，2，…，n；設(shè)決策變量uk=xk，表示分配給第k個(gè)使用者的資源數(shù)量；設(shè)狀態(tài)變量為sk，表示分配給第k個(gè)至第n個(gè)使用者的總資源數(shù)量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk－xk，其中s1=a；允許決策集合：Dk（sk）=｛xk|0≤xk≤sk｝階段指標(biāo)函數(shù)：vk（sk，uk）=gk（xk）表示分配給第k個(gè)使用者數(shù)量xk時(shí)的收益；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示以數(shù)量sk的資源分配給第k個(gè)至第n個(gè)使用者所得到的最大收益，則動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：由后向前逐段遞推，f1（a）即為所求問題的最大收益。第四十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三【例7-6】某公司打算在3個(gè)不同的地區(qū)設(shè)置4個(gè)銷售點(diǎn)，根據(jù)市場(chǎng)部門估計(jì)，在不同地區(qū)設(shè)置不同數(shù)量的銷售點(diǎn)每月可得到的利潤(rùn)如表7-4所示。試問在各地區(qū)如何設(shè)置銷售點(diǎn)可使每月總利潤(rùn)最大。表7-4

第四十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三解如前所述，建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：將問題分為3個(gè)階段，k=1，2，3；決策變量xk表示分配給第k個(gè)地區(qū)的銷售點(diǎn)數(shù)；狀態(tài)變量為sk表示分配給第k個(gè)至第3個(gè)地區(qū)的銷售點(diǎn)總數(shù)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk－xk，其中s1=4；允許決策集合：Dk（sk）=｛xk|0≤xk≤sk｝

階段指標(biāo)函數(shù)：gk（xk）表示xk個(gè)銷售點(diǎn)分配給第k個(gè)地區(qū)所獲得的利潤(rùn)；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示將數(shù)量為sk的銷售點(diǎn)分配給第k個(gè)至第3個(gè)地區(qū)所得到的最大利潤(rùn)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：

第四十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

k=3時(shí)，數(shù)值計(jì)算如下表7-5

表7-5第四十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=2時(shí)，計(jì)算結(jié)果見下表7-6

表7-6

第四十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=1時(shí)，k=1時(shí)，只有s1=4的情況。計(jì)算結(jié)果如表7-7所示。所以最優(yōu)解為：x1*=2，x2*=1，x3*=1，f1(4)=47，即在第1個(gè)地區(qū)設(shè)置2個(gè)銷售點(diǎn)，第2個(gè)地區(qū)設(shè)置1個(gè)銷售點(diǎn)，第3個(gè)地區(qū)設(shè)置1個(gè)銷售點(diǎn)，每月可獲利潤(rùn)47。表7-7

第四十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三【例7-7】機(jī)器負(fù)荷問題

某工廠有100臺(tái)機(jī)器，擬分四期使用，每一期都可在高、低兩種不同負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)。若把x臺(tái)機(jī)器投入高負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，則在本期結(jié)束時(shí)將有1/3x臺(tái)機(jī)器損壞報(bào)廢；余下的機(jī)器全部投入低負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)，則在期末有1/10的機(jī)器報(bào)廢。如果高負(fù)荷下生產(chǎn)時(shí)每臺(tái)機(jī)器可獲利潤(rùn)為10，低負(fù)荷下生產(chǎn)時(shí)每臺(tái)機(jī)器可獲利潤(rùn)為7，問怎樣分配機(jī)器使四期的總利潤(rùn)最大？解將問題按周期分為4個(gè)階段，k=1，2，3，4；狀態(tài)變量sk表示第k階段初完好的機(jī)器數(shù)，s1=100，0≤sk≤100；決策變量xk表示第k階段投入高負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)，則sk－xk表示第k階段投入低負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)；允許決策集合：Dk（sk）=｛xk|0≤xk≤sk｝狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=Tk（sk，xk），即第k+1階段初擁有的完好機(jī)器數(shù)sk+1為：

第五十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

階段指標(biāo)函數(shù)：vk（sk，xk）=10xk+7（sk－xk）表示第k階段所獲得的利潤(rùn)；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示從第k階段初完好機(jī)器數(shù)為sk至第四階段的最大利潤(rùn)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：

k=4時(shí)，

x4*=s4

k=3時(shí)，

∴x3*=s3

第五十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=2時(shí)，

∴

x2*=0

k=1時(shí)，

∴

x1*=0第五十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三因?yàn)閟1=100，所以f1（100）=2680，逆向追蹤得：

s1=100，

x1*=0

x2*=0

x3*=s3=81

x4*=s4=54

即，第1，2期把全部完好機(jī)器投入低負(fù)荷下生產(chǎn)，第3，4期把全部完好機(jī)器投入高負(fù)荷下生產(chǎn)所得利潤(rùn)最大。

第五十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三五、生產(chǎn)計(jì)劃問題

在企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到如何合理安排生產(chǎn)、庫存及銷售計(jì)劃，使總效益最高的問題，這一類問題統(tǒng)稱為生產(chǎn)計(jì)劃問題。

第五十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三【例7-8】

（生產(chǎn)—庫存問題）

某工廠要對(duì)一種產(chǎn)品制定今后四個(gè)時(shí)期的生產(chǎn)計(jì)劃，據(jù)估計(jì)在今后四個(gè)時(shí)期內(nèi)，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求量分別為2，3，2，4單位，假設(shè)每批產(chǎn)品固定成本為3千元，若不生產(chǎn)為0，每單位產(chǎn)品成本為1千元，每個(gè)時(shí)期最大生產(chǎn)能力不超過6個(gè)單位，每期期末未出售產(chǎn)品，每單位需付存貯費(fèi)0.5千元，假定第1期初和第4期末庫存量均為0，問該廠如何安排生產(chǎn)與庫存，可在滿足市場(chǎng)需求的前提下總成本最小。解以每個(gè)時(shí)期作為一個(gè)階段，該問題分為4個(gè)階段，k=1，2，3，4；決策變量xk表示第k階段生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)；狀態(tài)變量sk表示第k階段初的庫存量；

第五十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三

以dk表示第k階段的需求，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk+xk－dk

k=4，3，2，1

由于期初及期末庫存為0，所以s1=0，s5=0；允許決策集合Dk（sk）的確定：當(dāng)sk≥dk時(shí)，xk可以為0，當(dāng)sk<dk時(shí)，至少應(yīng)生產(chǎn)dk－sk，故xk的下限為max（0，dk－sk）；每期最大生產(chǎn)能力為6，xk最大不超過6，由于期末庫存為0，xk還應(yīng)小于本期至4期需求之和減去本期的庫存量，所以xk的上限為min（，6），故有：

Dk（sk）=｛xk|max（0,dk－sk）≤xk≤min（

,6）｝

第五十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三階段指標(biāo)函數(shù)rk（sk，xk）表示第k期的生產(chǎn)費(fèi)用與存貯費(fèi)用之和：最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示第k期庫存為sk到第4期末的生產(chǎn)與存貯最低費(fèi)用，動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：第五十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三先求出各狀態(tài)允許狀態(tài)集合及允許決策集合，如表7-8所示。表7-8第五十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=4時(shí)，

計(jì)算結(jié)果見表7-9所示。

表7-9

第五十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=3時(shí)，

計(jì)算結(jié)果如下表：第六十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=2時(shí)，

計(jì)算結(jié)果如下表第六十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=1時(shí)，

計(jì)算結(jié)果見表7-12所示

逆向追蹤可得：x1*=5，s2=3，x2*=0，s3=0，x3*=6，s4=4，x4*=0，即第1時(shí)期生產(chǎn)5個(gè)單位，第3時(shí)期生產(chǎn)6個(gè)單位，第2，4時(shí)期不生產(chǎn)，可使總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為20.5千元。

第六十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三【例7-9】

（庫存—銷售問題）

設(shè)某公司計(jì)劃在1至4月份從事某種商品經(jīng)營。已知倉庫最多可存儲(chǔ)600件這種商品，已知1月初存貨200件，根據(jù)預(yù)測(cè)知1至4月份各月的單位購貨成本及銷售價(jià)格如表7-13所示，每月只能銷售本月初的庫存，當(dāng)月進(jìn)貨供以后各月銷售，問如何安排進(jìn)貨量和銷售量，使該公司四個(gè)月獲得利潤(rùn)最大（假設(shè)四月底庫存為零）。表7-13

第六十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三解按月份劃分階段，k=1，2，3，4；狀態(tài)變量sk表示第k月初的庫存量，s1=200，s5=0；決策變量xk表示第k月售出的貨物數(shù)量，yk表示第k月購進(jìn)的貨物數(shù)量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk+yk－xk；允許決策集合：0≤xk≤sk，0≤yk≤600－（sk－xk）；階段指標(biāo)函數(shù)為：pkxk－ckyk表示k月份的利潤(rùn)，其中pk為第k月份的單位銷售價(jià)格，ck為第k月份的單位購貨成本；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示第k月初庫存為sk時(shí)從第k月至第4月末的最大利潤(rùn)，則動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：

第六十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=4時(shí)，

x4*=s4

y4*=0k=3時(shí)，

為求出使44s3－5x3+4y3最大的x3，y3，須求解線性規(guī)劃問題：

第六十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三只有兩個(gè)變量x3，y3，可用圖解法也可用單純形法求解，圖解法求解示意圖如圖7-5所示：在A點(diǎn)處取得最優(yōu)解，x3*=0，y3*=600－s3，f3（s3）=40s3+2400

As3600y3x30600－s3圖7-5

第六十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=2時(shí)，

類似地求得：x2*=s2，y2*=600，f2（s2）=42s2+3600k=1時(shí)，

類似地求得：x1*=s1，y1*=600，

f1（s1）=45s1+4800=13800

第六十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三逆向追蹤得各月最優(yōu)購貨量及銷售量：x1*=s1=200 y1*=600；x2*=s2=s1+y1*－x1*=600 y2*=600；x3*=0 y3*=600－s3=600－（s2+y2*－x2*）=0x4*=s4=（s3+y3*－x3*）=600 y4*=0即1月份銷售200件，進(jìn)貨600件，2月份銷售600件，進(jìn)貨600件，3月份銷售量及進(jìn)貨量均為0，4月份銷售600件，不進(jìn)貨，可獲得最大總利潤(rùn)13800。

第六十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三六、背包問題

有人攜帶背包上山，其可攜帶物品的重量限度為a公斤，現(xiàn)有n種物品可供選擇，設(shè)第i種物品的單件重量為ai公斤，其在上山過程中的價(jià)值是攜帶數(shù)量xi的函數(shù)ci（xi），問應(yīng)如何安排攜帶各種物品的數(shù)量，使總價(jià)值最大。這就是背包問題，類似的貨物裝載問題，下料問題都等同于背包問題。背包問題的數(shù)學(xué)模型為：第六十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三下面用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解：按照裝入物品的種類劃分階段，k=1，2，…，n；狀態(tài)變量sk表示裝入第k種至第n種物品的總重量；決策變量xk表示裝入第k種物品的件數(shù)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：sk+1=sk－akxk允許決策集合為：其中表示不超過的最大整數(shù)；

階段指標(biāo)函數(shù)ck（xk）表示第k階段裝入第k種商品xk件時(shí)的價(jià)值；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk（sk）表示第k階段裝入物品總重量為sk時(shí)的最大價(jià)值，動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：第七十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三【例7-10】某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，各產(chǎn)品重量與利潤(rùn)關(guān)系如表7-14所示，現(xiàn)將此三種產(chǎn)品運(yùn)往市場(chǎng)銷售，運(yùn)輸能力總重量不超過6噸，問如何安排運(yùn)輸使總利潤(rùn)最大？表7-14種類123單位重量（噸）234單位利潤(rùn)（元）80130180解設(shè)xi為裝載第i種貨物的件數(shù)，i=1，2，3，該問題數(shù)學(xué)模型為：第七十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三按前述方法建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型；k=3時(shí)，

計(jì)算結(jié)果如表7-15所示。第七十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期三k=2時(shí)，

計(jì)算結(jié)果如表7-16所示。表