原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復習》數學 第八章 第3講 點、直線、平面之間的位置關系配套課件

第3講

點、直線、平面之間的位置關系課標要求考情分析1.借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理：◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.2.以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定平面的基本性質是研究立體幾何的基礎，是高考主要考點之一，考查內容有以平面基本性質、推論為基礎的共線、共面問題，也有以平行、異面為主的兩直線的位置關系，求異面直線所成的角是本節(jié)的重點項目公理1公理2公理3公理4圖形語言

1.空間中點、直線、平面之間位置關系的基本性質(即四條公理的“圖形語言”“文字語言”“符號語言”列表)及推論項目公理1公理2公理3公理4文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線平行于同一條直線的兩條直線互相平行符號語言

A，B，C不共線?A，B，C確定平面α(續(xù)表)推論1經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面等角定理空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補兩直線的位置關系共面直線平行一個交點相交沒有交點異面直線沒有交點直線與平面的位置關系平行沒有交點相交一個交點在平面內無數個交點兩平面的位置關系平行沒有交點相交無數個交點2.空間線、面之間的位置關系3.異面直線所成的角銳角或直角(0°，90°]

過空間任一點O分別作異面直線a與b的平行線a′與b′.那么直線a′與b′所成的_______________，叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)，其范圍是______________.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)設α是給定的平面，A，B是不在α內的任意兩點，則(

)A.在α內存在直線與直線AB異面B.在α內存在直線與直線AB相交C.在α內存在直線與直線AB平行D.存在過直線AB的平面與α垂直解析：A，B是不在α內的任意兩點，則直線AB與平面α相交或平行.如果直線AB與平面α相交，則α內不過交點的直線與直線AB異面，但沒有直線與直線AB平行，

如果直線AB與平面α平行，則在α內存在直線b與直線AB平行，而在α內與b相交的直線與直線AB異面，但α內不存在直線與直線AB相交，由上知A正確，BC均錯誤；

不論直線AB與平面α是平行還是相交，過A作平面α的垂線，則這條垂線與直線AB所在平面與α垂直，(如果垂線與AB重合，則過AB的任意平面都與α垂直)，D正確.故選AD.答案：AD題組二走進教材

2.(必修2P52B組第2題改編)如圖8-3-1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(

)圖8-3-1A.30°B.45°C.60°D.90°

解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.故選C.答案：C3.(必修2P59例3改編)(2020年江西一模)用一個平面去截正方體，截面的形狀不可能是( A.正三角形 C.正五邊形

)B.正方形D.正六邊形解析：答案：C由面面平行的性質定理可知選C.題組三真題展現

4.(2016年山東)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：直線a與直線b相交，則α，β一定相交，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能平行或異面.故選A.

答案：A

5.(2019年上海)已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足：a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關系()A.兩兩垂直C.兩兩相交B.兩兩平行D.兩兩異面解析：如圖D64(1)，可得a，b，c可能兩兩垂直；如圖D64(2)，可得a，b，c可能兩兩相交；如圖D64(3)，可得a，b，c可能兩兩異面；故選B.(1)(2)(3)

圖D64答案：B考點1平面的基本性質自主練習1.設a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線.上述命題中錯誤的是________(寫出所有錯誤命題的序號).

解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯誤；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行或異面，故③錯誤；a?平面α，b?平面β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故④錯誤.故填②③④.答案：②③④2.(2018年福建廈門模擬)下列四個命題中，真命題的個數為()

①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合； ②兩條直線可以確定一個平面； ③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A.1個B.2個C.3個D.4個解析：過不共線的三點有且只有一個平面，因此①正確；若兩直線異面則不能確定一個平面，因此②不正確；正方體中一個頂點引出的三條棱，不在同一平面內，因此③不正確；由公理可知④正確，故選B.答案：B3.下列推斷中，錯誤的是()

A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α

B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB

D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合答案：C

【題后反思】直線在平面內也叫平面經過直線，如果直線不在平面內，記作l

α，包括直線與平面相交及直線與平面平行兩種情形.反映平面基本性質的三個公理是研究空間圖形和研究點、線、面位置關系的基礎，三個公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據.公理1是判斷直線在平面內的依據；公理2的作用是確定平面，這是把立體幾何轉化成平面幾何的依據；公理3是證明三(多)點共線或三線共點的依據.考點2三點共線、三線共點的證明師生互動

[例1]如圖8-3-2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點.求證： (1)E，C，D1，F四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點.

圖8-3-2證明：(1)如圖8-3-3，連接EF，CD1，A1B.圖8-3-3∵E，F分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四點共面.∴CE與D1F必相交.設交點為點P，如圖8-3-3，則由點P∈CE，CE?平面ABCD，得點P∈平面ABCD.同理點P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴點P∈直線DA.∴CE，D1F，DA三線共點.

【考法全練】

1.如圖8-3-4，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C

l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()圖8-3-4A.點AC.點C但不過點MB.點B

D.點C和點M解析：∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據公理3可知，M在γ與β的交線上.同理可知，點C也在γ與β的交線上.故選D.答案：D

2.如圖8-3-5所示，ABCD-A1B1C1D1

是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1

于點M，則下列結論正確的是()圖8-3-5A.A，M，O三點共線C.A，M，C，O不共面B.A，M，O，A1不共面D.B，B1，O，M共面解析：連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，答案：A∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.∴A，M，O三點共線.考點3空間內兩直線的位置關系多維探究考向1兩直線位置關系的判定[例2](1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是()A.相交C.平行B.異面D.垂直

解析：如圖8-3-6所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交.

圖8-3-6答案：A其中正確的結論為________.圖8-3-7(2)如圖8-3-7所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線.

解析：∵點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內，答案：③④直線CC1在平面CDD1C1內，CC1不過點M，∴AM與CC1是異面直線.故①錯；取DD1中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交.故②錯；∵點B1與BN都在平面BCC1B1內，點M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，∴BN與MB1是異面直線.故③正確；同理④正確，故填③④.

(3)(2019年全國Ⅲ)如圖8-3-8，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，點M是線段ED的中點，則()

圖8-3-8A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

解析：如圖8-3-9所示，作EO⊥CD于O，連接ON，過M作MF⊥OD于F，連BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO?平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，圖8-3-9∴△MFB與△EON均為直角三角形.答案：B

【題后反思】判斷直線是否平行比較簡單直觀，可以利用公理4；判斷直線是否異面則比較困難，掌握異面直線的兩種判斷方法：①反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，再由假設的條件出發(fā)，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面；②在客觀題中，也可用下述結論：過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線.【考法全練】

1.下列如圖8-3-10所示的正方體和正四面體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________(填所有滿足條件圖形的序號，下題同).圖8-3-10

解析：易知①③中PS∥QR，所以四點共面.在②中構造如圖D65所示的含點P，S，R，Q的正六邊形，易知四點共面.在④中，由點P，R，Q確定平面α，由圖象觀察知點S在平面α外，因此四點不共面.綜上知，故填①②③.圖D65答案：①②③

2.如圖8-3-11，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則使直線GH，MN是異面直線的圖形有________.圖8-3-11

解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點在三棱柱的側面上，MG與這個側面相交于G，∴M

平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H

平面GMN，因此GH與MN異面.答案：②④考向2異面直線所成的角[例3](1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點.①AC與D1D所成的角為__________________；②AC與C1D所成的角為__________________；③BD1

與CE所成角的余弦值為____________.解析：根據題意作圖，如圖8-3-12，①D1D∥A1A，A1A⊥AC，所以AC⊥D1D，即AC與DD1成90°角；圖8-3-12②AC∥A1C1，AC與C1D所成的角為∠A1C1D，而△A1C1D為等邊三角形，所以∠A1C1D＝60°，所以AC，與C1D成60°角；答案：①90°②60°解析：如圖8-3-13，設平面CB1D1∩平面ABCD＝m′，平面CB1D1∩平面ABB1A1＝n′圖8-3-13∵α∥平面CB1D1，∴m∥m′，n∥n′.答案：A

(3)(2015年浙江)如圖8-3-14，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________.圖8-3-14

解析：如圖8-3-15，連接DN，取DN中點P，連接PM，PC，

則可知∠PMC為異面直線AN，CM所成的圖8-3-15

【題后反思】(1)求異面直線所成的角的常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移. (2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”.其中空間選點任意，但要靈活，經常選擇端點、中點、等分點，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉化為解三角形問題，進而求解.

【考法全練】

3.(2020年江西一模)在四面體ABCD中，BD＝AC＝2，AB

解析：如圖D66，把四面體ABCD補成一個長、寬、高分

取AB的中點G，連接GE，GF.

因為G，F分別是AB，BC的中點，圖D66答案：B

4.如圖8-3-16，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.則BD1與C1N所成角的余弦值為________.圖8-3-16

解析：如圖D67所示，將長方體ABCD-A1B1C1D1平移到BCFE-B1