原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復(fù)習(xí)》數(shù)學(xué) 第四章 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示配套課件

第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求考情分析1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件從近幾年的高考試題看，向量的線性運(yùn)算、共線問題是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目1.平面向量基本定理

如果e1，e2

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模： 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1

－x2

，y1－y2)，λa＝________________(λ∈R)，|a|＝

(2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

(λx1，λy1)3.共線向量及其坐標(biāo)表示(1)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b共線.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，對(duì)平面內(nèi)的任一向量a，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y) B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2

C.若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O

D.若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)解析：由平面向量基本定理，可知A中結(jié)論正確；若a＝(1，0)≠(1，3)，則1＝1，0≠3，故B中結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲詀＝(x，y)與a的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān)，故C中結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故D中結(jié)論錯(cuò)誤.故選BCD.答案：BCD題組二走進(jìn)教材2.(必修4P97

例4改編)(2014年北京)已知向量a＝(2，4)，)b＝(－1，1)，則2a－b＝( A.(5，7) C.(3，7)B.(5，9)D.(3，9)

解析：因?yàn)?a＝(4，8)，所以2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)，故選A.

答案：A3.(必修4P101A組第5題改編)(2020年四川內(nèi)江模擬)下列)各組向量中，可以作為基底的是( A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)解析：A選項(xiàng)中，零向量與任意向量都共線，故其不可以作為基底；B選項(xiàng)中，不存在實(shí)數(shù)λ，使得e1＝λe2，故兩向量不共線，故其可以作為基底；C選項(xiàng)中，e2＝2e1，兩向量共線，故其不可以作為基底；D選項(xiàng)中，e1＝4e2，兩向量共線，故其不可以作為基底.故選B.答案：B題組三真題展現(xiàn)

4.(2017年山東)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，則λ＝____________.

解析：由

a∥b，得

2λ＝－6，λ＝－3.

答案：－35.(2020年全國Ⅰ)設(shè)向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，則m＝________.解析：由a⊥b可得a·b＝0，又因?yàn)閍＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，所以a·b＝1·(m＋1)＋(－1)·(2m－4)＝0，即m＝5.答案：5考點(diǎn)1平面向量基本定理的應(yīng)用自主練習(xí)答案：B

2.(2019年河北衡水調(diào)研)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線AC于點(diǎn)M，若

()A.－12B.1C.32D.－3

答案：A圖4-2-1A.19B.13C.1D.3答案：A

【題后反思】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.考點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算師生互動(dòng)A.(－7，－4)C.(－1，4)B.(7，4)D.(1，4)

－4).故選A.

答案：A

(2)(2015年江蘇)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為__________.

解析：由題意，得2m＋n＝9，m－2n＝－8?m＝2，n＝5. ∴m－n＝－3.

答案：－3(3)(多選題)已知

a＝(1，0)，|b|＝1，c＝(0，－1)，滿足3a＋kb＋7c＝0，則實(shí)數(shù)k的值可能為()

解析：由題意可得kb＝－3a－7c＝－3×(1，0)－7×(0，－1)＝(－3，7)，

故選AB.

答案：AB(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值.【考法全練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長；→→→考點(diǎn)3向量共線的坐標(biāo)表示多維探究A.－23B.43C.12D.13答案：A2a＋b＝(4，2)，c∥(2a＋b)?4λ＝2，∴λ＝.

(2)(2018年全國Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，則λ＝________.解析：12答案：12(3)已知向量a＝(－1，1),b＝(3，m),a∥(a＋b)，則m＝()A.2B.－2C.－3D.3

解析：向量a＝(－1，1)，b＝(3，m)，a＋b＝(2，m＋1)，∵a∥(a＋b)，∴－(m＋1)＝2，m＝－3.

答案：C

【題后反思】明確兩向量相等的充要條件，它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，其實(shí)質(zhì)為平面向量基本定理的應(yīng)用.向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.【考法全練】(多選題)已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(1，2)，則下列命題正確的是()A.若a∥b，則tanα＝12B.若a⊥b，則tanα＝12C.若f(α)＝a·b取得最大值，則tanα＝12D.|a－b|的最大值為

＋1解析：若a∥b，則2sinα－cosα＝0，

(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－2(sinα＋2cosα)故選ACD.答案：ACD⊙利用方程的思想求解平面向量問題[例3]在△ABC中，已知AM∶AB＝1∶3，AN∶AC＝1∶

【策略指導(dǎo)】(1)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)：找不到問題的切入口，即想不到利用待定系數(shù)法求解. (2)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題很多學(xué)生易忽視M，P，C共線和B，P，N共線這兩個(gè)幾何特征.【高分訓(xùn)練】

(2019年江蘇啟東模擬)如圖

4-2-2，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線.圖4-2-2∴由①②得兩個(gè)充要條件：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0.(2)設(shè)向量a，b，其中b≠0，則a與b共線的充要條件是有且只有唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.三個(gè)運(yùn)算：設(shè)a＝(x