中考幾何最值問題含答案

幾何最值問題一.選擇題（共6小題）（2015?孝感一模）如圖，已知等邊&BC的邊長為6,點D為AC的中點，點E為BC的中點，點P為BD上一點，則PE+PC的最小值為（ ）A.3 B.3 C.2 D.3考點：軸對稱-最短路線問題.分析：由題意可知點A、點C關(guān)于BD對稱，連接AE交BD于點P,由對稱的性質(zhì)可得，PA=PC,故PE+PC=AE,由兩點之間線段最短可知，AE即為PE+PC的最小值.解答：解：.「△ABC是等邊三角形，點D為AC的中點，點E為BC的中點，ABDXAC,EC=3,連接AE,線段AE的長即為PE+PC最小值，二?點E是邊BC的中點，AAEXBC,/.AE===3,?'.PE+PC的最小值是3.故選D.點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.（2014?鄂城區(qū)校級模擬）如圖，在直角坐標系中有線段AB,AB=50cm,A、B到x軸的距離分別為10cm和40cm,B點到y(tǒng)軸的距離為30cm,現(xiàn)在在x軸、y軸上分別有動點P、Q,當四邊形PABQ的周長最短時，則這個值為（）A.50 B.50 C.50-50 D.50+50考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì).專題：壓軸題.分析：過B點作BM，y軸交y軸于E點，截取EM=BE,過A點作AN，x軸交x軸于F點，截取NF=AF,連接MN交X,丫軸分別為P,Q點，此時四邊形PABQ的周長最短，根據(jù)題目所給的條件可求出周長.解答：解：過B點作BM±y軸交y軸于E點，截取EM=BE,過A點作AN±x軸交x軸于F點,截取NF=AF,連接MN交x,y軸分別為P,Q點，過M點作MK，x軸，過N點作NK，y軸，兩線交于K點.MK=40+10=50,作BL±x軸交KN于L點，過A點作ASXBP交BP于S點.?「LN=AS==40.???KN=60+40=100.?MN==50.「MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50.，四邊形PABQ的周長=50+50.故選D.點評：本題考查軸對稱-最短路線問題以及坐標和圖形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是找到何時四邊形的周長最短，以及構(gòu)造直角三角形，求出周長.（2014秋?貴港期末）如圖，AB±BC,AD，DC,NBAD=110°,在BC、CD上分別找一點M、N,當4AMN周長最小時，NMAN的度數(shù)為（）A.30° B.40° C.50° D.60°考點：軸對稱-最短路線問題.分析：根據(jù)要使^AMN的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A1,A〃，即可得出NAA，M+NA〃=NHAA，=70°,進而得出NMAB+NNAD=70°,即可得出答案.解答：解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A，，A〃，連接A，A〃，交BC于M,交CD于N,則A，A〃即為AAMN的周長最小值，作DA延長線AH,.VZDAB=110°,.??NHAA，=70°,.??NAA，M+NA〃=NHAA，=70°,VZMAZA=NMAB,NNAD二NA〃，.??NMAB+NNAD=70°,.\ZMAN=110°-70°=40°.故選B.點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關(guān)鍵.（2014?無錫模擬）如圖，NMON=90°,矩形ABCD的頂點A,B分別在OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=.運動過程中，當點D到點O的距離最大時，OA長度為（ ）A. B. C.2 D.考點：勾股定理；三角形三邊關(guān)系；直角三角形斜邊上的中線.分析：取AB的中點，連接OE、DE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE,利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出O、E、D三點共線時點D到點O的距離最大，過點A作AFLOD于F,利用NADE的余弦列式求出DF,從而得到點F是OD的中點，判斷出AF垂直平分OD,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得OA=AD.解答：解：如圖，取AB的中點，連接OE、DE,VZMON=90°,.\OE=AE=AB=X2=1,二三邊形ABCD是矩形，.AD=BC=,在RtAADE中，由勾股定理得，DE===2,

由三角形的三邊關(guān)系得，0、E、D三點共線時點D到點O的距離最大，此時，0D=0E+DE=1+2=3,過點A作AFXOD于F,則cos/ADE==,即二，解得DF=,V0D=3,??點F是0D的中點，??AF垂直平分0D,.\0A=AD=.故選B.點評：本題考查了勾股定理，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，作輔助線并判斷出0D最大時的情況是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.（2015?鞍山一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E在邊BC上且CE=1,長為的線段MN在AC上運動，當四邊形BMNE的周長最小時，則tan/MBC的值是（ ）A. B. C. D.1考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).分析：根據(jù)題意得出作EF〃AC且EF=，連結(jié)DF交AC于M,在AC上截取MN二，此時四邊形BMNE的周長最小，進而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案.解答：解：作EF〃AC且EF=，連結(jié)DF交AC于M,在AC上截取MN二，延長DF交BC于P,作FQLBC于Q,則四邊形BMNE的周長最小，由NFEQ=NACB=45°,可求得FQ=EQ=1,VZDPC=ZFPQ,ZDCP=ZFQP,.?.△PFQMPDC,解得：PQ=，二PC二，由對稱性可求得tanZMBC=tanZPDC==.故選：A.點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出M,N的位置是解題關(guān)鍵.（2015?江干區(qū)一模）如圖，4ABC中，CA=CB,AB=6,CD=4,E是高線CD的中點，以CE為半徑。C.G是。C上一動點，P是AG中點，則DP的最大值為（ ）A.B.C.2A.B.C.2D.考點：圓的綜合題.分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點D是AB的中點，然后根據(jù)三角形中位線定理可得DP二BG,然后利用兩點之間線段最短就可解決問題.解答：解：連接BG,如圖.VCA=CB,CD±AB,AB=6,.\AD=BD=AB=3.又\。=4,??BC=5.E是高線CD的中點，.\CE=CD=2,ACG=CE=2.根據(jù)兩點之間線段最短可得：BGWCG+CB=2+5=7.當B、C、6三點共線時，BG取最大值為7.「P是AG中點，D是AB的中點，APD=BG,ADP最大值為.故選A.點評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，利用三角形中位線定理將DP轉(zhuǎn)化為BG是解決本題的關(guān)鍵.二.填空題(共3小題)(2014?江陰市校級模擬)如圖，線段AB的長為4,C為AB上一動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角4ACD和等腰直角ABCE,那么DE長的最小值是_2_.考點：等腰直角三角形.分析：設(shè)AC=x,BC=4-x,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD二x,CD’=(4-x),根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解.解答：解：設(shè)AC=x,BC=4-x,,.,△ABC,^BCD,均為等腰直角三角形，.\CD=x,CD’=(4-x),VZACD=45°,ZBCD’=45°,AZDCE=90°,.??DE2=CD2+CE2=x2+(4-x)2=x2-4x+8=(x-2)2+4,??.當x取2時，DE取最小值，最小值為：4.故答案為：2.點評：本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值.(2012?河南校級模擬)如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E為CD邊的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ=2,當BP=4時，四邊形APQE的周長最小.考點：軸對稱-最短路線問題.專題：壓軸題.分析：要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可.為止匕先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2,作F點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明NGEH=45°,再由CQ二EC即可求出BP的長度.解答：解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2,作F點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點.VGH=DF=6,EH=2+4=6,ZH=90°,AZGEH=45°.設(shè)BP=x，則UCQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,在ACQE中，?「NQCE=90°,NCEQ=45°,.??CQ;EC,.??6-x=2,解得x=4.故答案為4.點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題的應用，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對學生提出了較高的要求.(2013?武漢)如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于點G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是-1.考點：正方形的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD,NBAD二NCDA,NADG二NCDG,然后利用“邊角邊”證明^ABE和ADCF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得N1=N2,利用“SAS”證明4ADG和4CDG全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得N2=N3,從而得到N1=N3,然后求出NAHB=90°,取AB的中點O,連接OH、OD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=1,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當0、D、H三點共線時，DH的長度最小.解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,在^ABE和4DCF中，,.,.△ABESDCF(SAS),AZ1=Z2,在^ADG和4CDG中，,.△ADGSCDG(SAS),AZ2=Z3,AZ1=Z3,VZBAH+Z3=ZBAD=90°,AZ1+ZBAH=90°,.\ZAHB=180°-90°=90°,取AB的中點O,連接OH、OD,則OH=AO=AB=1,在Rt^AOD中，OD===,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,?..當O、D、口三點共線時，DH的長度最小，最小值=OD-OH=-1.（解法二：可以理解為點H是在Rt^AHB,AB直徑的半圓上運動當O、H、D三點共線時，DH長度最小）故答案為：-1.點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時點H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點.三.解答題（共1小題）（2015?黃岡中學自主招生）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在^ABC（其中NBAC是一個可以變化的角）中，AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC,求AP的最大值.小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.他的方法是以點B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AA/BC,連接A,A,當點A落在A,C上時，此題可解（如圖2）.請你回答：AP的最大值是_L.參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,等腰Rt^ABC.邊AB=4,P為4ABC內(nèi)部一點，則AP+BP+CP的最小值是（或不化簡為）.（結(jié)果可以不化簡）考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.專題：幾何綜合題.分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A,A=AB=BA‘=2,AP=A,C,所以在^AA/C中，利用三角形三邊關(guān)系來求A’C即AP的長度；（2）以B為中心，將4APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'B.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PA+PB+PC=P'A，+P'B+PC.當A'、P'、P、C四點共線時，（P'A，+P'B+PC）最短，即線段A'C最短.然后通過作輔助線構(gòu)造直角三角形A/DC,在該直角三角形內(nèi)利用勾股定理來求線段A/C的長度.解答：解：（1）如圖2,：^ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到4A，BC,AZA，BA=60°,A，B=AB,AP=A，C???△A，BA是等邊三角形，.??A，A=AB=BA，=2,在AAA，C中，AzC<AAZ+AC,即AP<6,則當點A，A、C三點共線時，AzC=AAZ+AC,即AP=6,即AP的最大值是：6；故答案是：6.（2）如圖3,〈RtZkABC是等腰三角形，「.AB二BC.以B為中心，將4APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'B.則A'B=AB=BC=4,PA=PZAz,PB二P，B,.,.PA+PB+PC=