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牟合方蓋與球的體積

2021/5/91先看一個中學數(shù)學中的三視圖練習題：我國古代數(shù)學家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體，圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（）利用圓柱直徑等于立方體邊長，得出此時擺放，圓柱主視圖是正方形，得出圓柱以及立方體的擺放的主視圖為兩列，左邊一個正方形，右邊兩個正方形，故選：B．B2021/5/92下面介紹與“牟合方蓋”相關(guān)的知識

動畫演示2021/5/93“牟合方蓋”是劉徽研究球積公式時創(chuàng)建的幾何模型,這一模型的建立,為最后獲得球積公式提供了充分條件。2021/5/94祖暅在劉徽研究牟合方蓋的基礎上,繼續(xù)新的探索,最終建立了球積公式。他們的共同研究成果,我們稱之為“劉·

祖原理”。2021/5/95所謂“牟合方蓋”

,是以棱長為一寸的立方體八枚,合之則棱長為二寸的立方體。2021/5/96又以過立方體中之二正圓柱垂直相貫并內(nèi)切于立方體之相應側(cè)面。2021/5/97

則二內(nèi)切于立方體的兩垂直貫的正圓柱的共同部分,就叫“牟合方蓋”。

這是由于這個立體的外形似兩把上下對稱的正方形雨傘。在這個立體里面，可以內(nèi)切一個半徑和原來圓柱體一樣大小的球體。2021/5/98

祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進行體積計算，他的方法是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一來研究。

小牟合方蓋體積=2r3/3牟合方蓋體積=16r3/3故：球體體積=(π/4)(16r3/3)=4πr3/32021/5/99設OP=h，過P點作平面PQRS平行于OABC。又設內(nèi)切球體的半徑為r，則OS=OQ=r，由勾股定理，不難證明等高處陰影部分的面積總相等。所以，有理由相信，雖然方錐跟小正立方體去掉小“牟合方蓋”后的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“緣冪勢既同，則積不容異。”再根據(jù)劉徽的想法，可求出球體體積公式。2021/5/910

牟合方蓋的三視圖：

三視圖中三個等圓的

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