線性系統(tǒng)的頻域分析方法

（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的頻域分析方法當(dāng)前第1頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)引言(1)高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；(2)當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫(xiě)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無(wú)法進(jìn)行；用時(shí)域法分析系統(tǒng)的性能比較直觀、準(zhǔn)確，但是求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)往往比較繁雜。1.時(shí)域分析法的缺點(diǎn)當(dāng)前第2頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)頻域分析法是二十世紀(jì)三十年代發(fā)展起來(lái)的研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典工程實(shí)用方法。是一種利用頻率特性進(jìn)行控制系統(tǒng)分析的圖解方法，可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。2.頻域分析法

頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，通過(guò)這種內(nèi)在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)求出時(shí)域性能指標(biāo)或反之。因此，頻域分析法與時(shí)域分析法是統(tǒng)一的。當(dāng)前第3頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)頻域分析法的優(yōu)點(diǎn)(1)不必求解系統(tǒng)的特征根，采用較為簡(jiǎn)單的圖解法來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于頻率響應(yīng)法主要通過(guò)開(kāi)環(huán)頻率特性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而形象直觀且計(jì)算量少。(2)系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出。頻率特性有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)方法來(lái)測(cè)定，這對(duì)于難以列寫(xiě)微分方程式的元件或系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，具有重要的實(shí)際意義。當(dāng)前第4頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)(3)頻域分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)的分析研究，還可以推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng)。(4)便于系統(tǒng)分析和校正。根據(jù)系統(tǒng)的頻率性能間接地揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，便于分析和校正。2.頻域分析法當(dāng)前第5頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法本章主要內(nèi)容：5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)和開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制5.3頻率域穩(wěn)定判據(jù)5.4穩(wěn)定裕度5.5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)6當(dāng)前第6頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法本章要求：正確理解基本概念；掌握開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制；熟練運(yùn)用頻率域穩(wěn)定判據(jù)；掌握穩(wěn)定裕度的概念；了解閉環(huán)頻域性能指標(biāo)。7當(dāng)前第7頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)§5.1頻率特性本節(jié)主要內(nèi)容：

1、頻率特性的基本概念

2、頻率特性的幾何表示8當(dāng)前第8頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)G(S)R(s)C(s)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖:設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為特征方程的根。G(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)U(s)r(t)=AsinωtS1,S2‥‥Sn輸出響應(yīng)

c(t)?R(s)=AωS2+ω2C(s)=G(s)R(s)C(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)U(s)AωS2+ω2·一、頻率特性的基本概念1.頻率特性的定義當(dāng)前第9頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)C(s)=A2S–jωA1S+jωBiS–Si∑ni=1++c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi將C(s)按部分分式展開(kāi):拉氏反變換得:設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S1,S2···Sn的實(shí)部均小于零。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為cs(t)=limc(t)=A1e-jtωejtω+A2t→∞求待定系數(shù):A1=G(s)AωS2+ω2·(S+jω)S=-jω=G(-jω)-2jA=-2jA|G(jω)|e-jG(jω)同理:A2=G(jω)2jA=2jA|G(jω)|ejG(jω)代入-2jcs(t)=A|G(jω)|ej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+=A|G(jω)|sin[G(jω)]ωt+A1系統(tǒng)正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，輸出與輸入的幅值之比為|G(jω)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為∠G(jω)。當(dāng)前第10頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)系統(tǒng)輸入輸出曲線r(t)t0c(t)φr(t)c(t)AAG(jω)=φ(ω)G(jω)當(dāng)前第11頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)定義:系統(tǒng)的幅頻特性：

系統(tǒng)的相頻特性：

系統(tǒng)的頻率特性：G(jω)=G(s)S=jωjG(jω)=|G(jω)|e

=A(ω)ejφ(ω)A(ω)

=|G(jω)|=φ(ω)G(jω)當(dāng)前第12頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)---幅頻特性幅頻特性曲線幅頻特性：在正弦信號(hào)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比。1.00A(w)w線性系統(tǒng)G(s)頻率特性的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的幅值和相位的變化，這就是頻率特性的物理意義。當(dāng)前第13頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)---相頻特性相頻特性曲線相頻特性：在正弦信號(hào)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入正弦信號(hào)的相位差。j(w)w線性系統(tǒng)G(s)當(dāng)前第14頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)

右圖為RC濾波網(wǎng)絡(luò)，設(shè)電容C的初始電壓為uo０,取輸入信號(hào)為正弦信號(hào)，曲線如圖所示。15RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)當(dāng)響應(yīng)呈穩(wěn)態(tài)時(shí)，可以看出仍為正弦信號(hào)，頻率與輸入信號(hào)相同，幅值較輸入信號(hào)有一定衰減，相位存在一定延遲。ABφ當(dāng)前第15頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)16RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)其微分方程是網(wǎng)絡(luò)的傳函輸出電壓的瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量右圖RC網(wǎng)絡(luò)輸入頻率響應(yīng)當(dāng)前第16頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)17隨著t趨于無(wú)窮大,瞬態(tài)分量趨于零,于是都是頻率ω的函數(shù)幅頻特性相頻特性∠ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTTω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTT當(dāng)前第17頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)18幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性頻率特性:

線性定常系統(tǒng)的頻率特性是零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比(頻域）。2.介紹幾個(gè)名詞：幅值比：同頻率下輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值之比。B/A相位差：同頻率下輸出信號(hào)的相位與輸入信號(hào)的相位之差。φ當(dāng)前第18頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)19幅頻特性：幅值比與頻率之間的關(guān)系。相頻特性：相位差與頻率之間的關(guān)系。幅相特性：將幅頻和相頻畫(huà)到一起。矢量端點(diǎn)的軌跡。當(dāng)前第19頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)3.求取頻率特性的方法：實(shí)驗(yàn)法20利用傳遞函數(shù)求頻率特性的方法：系統(tǒng)的頻率特性G(jω)可以通過(guò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)來(lái)求?。豪脗鬟f函數(shù)求已知系統(tǒng)的方程，輸入正弦函數(shù)求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復(fù)數(shù)比一般不用當(dāng)前第20頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)21例1:設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)函數(shù)為，若輸入信號(hào)為：，試求(1)穩(wěn)態(tài)輸出css(t)(2)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)?解:(1)穩(wěn)態(tài)輸出：當(dāng)前第21頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)22(2)穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)前第22頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)23將G(jω)寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式：---實(shí)頻特性---虛頻特性幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間的關(guān)系：4.頻率特性的表示法當(dāng)前第23頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)241.幅頻—相頻形式:

G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)2.

實(shí)頻—虛頻形式:G(jω)=P(ω)+jQ(ω)3.

三角函數(shù)形式:

G(jω)=A(ω)cosj(ω)+jA(ω)sinj(ω)4.

指數(shù)形式:

G(jω)=A(ω)ejφ(ω)頻率特性的表示法當(dāng)前第24頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)由于頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，因而它和傳遞函數(shù)、微分方程一樣，可以表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型。255.頻率特性與其它數(shù)學(xué)模型的關(guān)系微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)當(dāng)前第25頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)26[例2]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：當(dāng)前第26頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)27頻率特性的極坐標(biāo)圖（幅相圖）/奈魁斯特圖頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖/伯德圖頻率特性的對(duì)數(shù)幅相圖/尼柯?tīng)査箞D二、頻率特性的幾何表示法當(dāng)前第27頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)28系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性通常有三種表達(dá)形式:1.通過(guò)頻率特性G(jω)的模|G(jω)|與相位∠G(jω)在極坐標(biāo)中表示的圖形,稱為極坐標(biāo)圖(Polarplot)或奈魁斯特圖(Nyquistplot)。

2.通過(guò)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)分別表示幅頻特性和相頻特性的圖形,稱為對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(Logarithmicplot)或伯德圖(Bodeplot)。

3.用伯德圖中的幅頻特性與相頻特性統(tǒng)一繪制成的圖形來(lái)表示系統(tǒng)的頻率特性。這種表達(dá)頻率特性的圖形稱為對(duì)數(shù)幅相圖（Log-magnitude-phasediagram）或尼柯?tīng)査箞D(Nicholschart)。當(dāng)前第28頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)291.極坐標(biāo)圖當(dāng)ω：0→∞時(shí)，向量G(jω)的幅值|G(jω)|和相角j(ω)隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡稱為極坐標(biāo)圖或Nyqusit圖（奈氏圖）。以橫軸為實(shí)軸、縱軸為虛軸。--幅相頻率特性曲線（Nyqusit曲線）

是ω的偶函數(shù)，是ω的奇函數(shù)，因此，ω：0→-∞時(shí)，G(-jω)與G(jω)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。G(jw2

)G(jw1

)w0ReImω＝０ω＝∞當(dāng)前第29頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)30共軛對(duì)稱共軛對(duì)稱一般作圖方法(1)手工繪制取ω=0和ω=∞兩點(diǎn)，必要時(shí)還應(yīng)在0<ω<∞之間選取一些特殊點(diǎn)，算出這些點(diǎn)處的幅值和相角，然后在幅相平面上作出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線將它們連接起來(lái)。(2)用計(jì)算機(jī)繪制當(dāng)前第30頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)312.伯德圖--對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode曲線）

伯德圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線組成，都以頻率為橫軸變量。慣性環(huán)節(jié)當(dāng)前第31頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)32(1)伯德圖的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分度：橫坐標(biāo)采用不均勻的對(duì)數(shù)刻度縱坐標(biāo)采用線性刻度半對(duì)數(shù)坐標(biāo)lgω0132ω１2345678910100lgω00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954121101000100ω

線性分度：變量增大1時(shí)，坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度。對(duì)數(shù)分度：變量增大10倍時(shí)，坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度。當(dāng)前第32頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)33縱坐標(biāo)分度：

對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L(ω)--對(duì)數(shù)幅值L(ω)=20lgA(ω)對(duì)數(shù)相頻特性曲線單位：分貝(dB)單位：度(o)或弧度

以頻率ω的對(duì)數(shù)值lgω

進(jìn)行線性分度，但為了便于觀察仍標(biāo)以ω的值，因此對(duì)ω

而言是非線性刻度。Dec(十倍頻程)：ω每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長(zhǎng)度。當(dāng)前第33頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)34(2)使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)①由于橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)刻度，展寬了低頻段，壓縮了高頻段；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性②縱坐標(biāo)采用L(ω)=20lgA(ω)可以將幅值的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；當(dāng)前第34頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)35③所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示；④對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫(xiě)出它的頻率特性表達(dá)式。當(dāng)前第35頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)36(3)關(guān)于Bode圖的說(shuō)明①由于橫坐標(biāo)采用ω的對(duì)數(shù)刻度，所以ω=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來(lái)；②橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。當(dāng)前第36頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)37本章主要內(nèi)容：

1、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性

2、開(kāi)環(huán)幅相曲線繪制

3、開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線繪制

4、傳遞函數(shù)的頻率實(shí)驗(yàn)確定§5.2典型環(huán)節(jié)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性當(dāng)前第37頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性38系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是由一系列具有不同傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)所組成當(dāng)前第38頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)39G(jω)=KA(ω)=Kφ(ω)=0o1．比例環(huán)節(jié)0KReIm比例環(huán)節(jié)的奈氏圖(1)奈氏圖奈氏圖是實(shí)軸上的K點(diǎn)。G(s)=K

傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性起始角，起始點(diǎn)的相位角當(dāng)前第39頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)40

比例環(huán)節(jié)的伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：(2)伯德圖20lgK0L(ω)/dB0ω10.110.1ωL(ω)=20lgA(ω)=20lgK=0o=tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)φ(ω)K不同時(shí)：幅頻曲線上下平移，相頻曲線不變。當(dāng)前第40頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)41傳遞函數(shù):

G(s)=Kdb40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.0120lgK對(duì)數(shù)幅頻特性L(w)=20lgK相頻特性

j(w)=0比例環(huán)節(jié)K>1時(shí)20lgKK=1時(shí)20lgKK<1時(shí)當(dāng)前第41頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)422．慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性G(s)=1Ts+1G(jω)=1jωT+1

A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT(1)奈氏圖繪制奈氏圖近似方法:

根據(jù)幅頻特性和相頻特性求出特殊點(diǎn),然后將它們平滑連接起來(lái).ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-90o慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖ω=0A(ω)=1φ(ω)=0o取特殊點(diǎn)：1ω=TA(ω)=0.707φ(ω)=-45o可以證明：

慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是以(1/2,jo)為圓心，以1/2為半徑的半圓。ω∞ReIm00.7071ω=Tω=0-45當(dāng)前第42頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)43整理得：證明:當(dāng)前第43頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)44傳遞函數(shù)幅頻特性：相頻特性：0K當(dāng)前第44頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)45(2)伯德圖ω

<1/T頻段,可用0dB漸近線近似代替。L(ω)=20lg11+(ωT)2ω<<1T(ωT)2<<120lg1=0dB~~L(ω)

慣性環(huán)節(jié)的伯德圖ω>>1T(ωT)2>>120lgωT1~~L(ω)

=-20lgωTω

>1/T頻段，可用-20dB/dec漸近線近似代替

兩條漸近線相交點(diǎn)的頻率為轉(zhuǎn)折頻率ω

=1/T。

漸近線所產(chǎn)生的最大誤差值為：L(ω)=20lg11+(ωT)221=20lg=-3.03dBL(ω)/dB漸近線轉(zhuǎn)折/交接頻率漸近線精確曲線-20020-20dB/decT110T110Tω相頻特性曲線：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-45oω=1/Tφ(ω)=-90oω→∞ω0-45-90φ(ω)wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4當(dāng)前第45頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)46傳遞函數(shù):對(duì)數(shù)幅頻特性，為對(duì)數(shù)幅頻特性的高頻段相頻特性漸近線精確曲線轉(zhuǎn)折頻率當(dāng)，為對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段當(dāng)，為對(duì)數(shù)幅頻特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)轉(zhuǎn)折頻率當(dāng)前第46頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)473．積分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性(1)奈氏圖積分環(huán)節(jié)奈氏圖G(s)=1SG(jω)=1jωA(ω)=1ωφ(ω)=-90o0當(dāng)前第47頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)48(2)伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性：

對(duì)數(shù)相頻特性：

積分環(huán)節(jié)的伯德圖L(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90oΦ(ω)ω10.1100-90L(ω)/dB10.1ω10020-2040-20dB/dec分析：w=1,L=0dbw=10,L=-20db

當(dāng)前第48頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)49db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.01傳遞函數(shù):

G(s)=1/s對(duì)數(shù)幅頻特性L(w)=-20lg

w相頻特性

分析：w=1,L=0dbw=10,L=-20db

當(dāng)前第49頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)504．微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)和頻率特性

幅頻特性和相頻特性(1)奈氏圖

微分環(huán)節(jié)奈氏圖G(s)=SG(jω)=jωA(ω)=ωφ(ω)=90o0ω=0ω=∞當(dāng)前第50頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)51(2)伯德圖微分環(huán)節(jié)的伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性：

對(duì)數(shù)相頻特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωφ(ω)=90oΦ(ω)ω10.110L(ω)/dB10.1ω10020-2020dB/dec090當(dāng)前第51頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)52當(dāng)前第52頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)535．一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)和頻率特性：幅頻特性和相頻特性：G(s)=1+TsG(jω)=1+jωTA(ω)=1+(ωT)2φ(ω)=tg-1ωT(1)奈氏圖1ReIm0∞ω=0一階微分環(huán)節(jié)奈氏圖ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=∞A(ω)=∞φ(ω)=90o當(dāng)前第53頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)54--轉(zhuǎn)折/交接頻率高頻漸近線斜率為20dB/Dec對(duì)數(shù)幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線(2)伯德圖db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020當(dāng)前第54頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)55

對(duì)數(shù)幅頻特性：L(ω)=20lg1+(ωT)2

一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反比,所以它們的伯德圖對(duì)稱于橫軸.G(jω)=1+jωT1+jωTG(jω)=1L(ω)=20lg1+(ωT)21當(dāng)前第55頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)56db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)當(dāng)前第56頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)57６．二階微分環(huán)節(jié)（１）奈氏圖當(dāng)前第57頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)58--轉(zhuǎn)折/交接頻率（２）伯德圖高頻漸近線斜率為40dB/Dec對(duì)數(shù)幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線當(dāng)前第58頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)59伯德圖當(dāng)前第59頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)60

７．振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)和頻率特性：幅頻特性和相頻特性：G(s)=s2+2ωn2ζωns+ωn2G(jω)=ωn2ωn

2-ω2+j2ζ

ωnωA(ω)=(ωnωn22-ω2)2+(2ζωnω)2=(1-ωω2ωn1)222n)2+(ζω當(dāng)前第60頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)61

振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖(1)奈氏圖ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oReIm01ω=0ω=ωnξ=0.8ξ=0.6ξ=0.4ω∞ω=ωnφ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180oA(ω)=2ζ1

振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性曲線因ζ值的不同而異.當(dāng)前第61頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)62(2)伯德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性：(1-)2+()2ω2ωn22ζωωn1L(ω)=20lgω<<ωnL(ω)≈20lg1=0dBω>>ωnL(ω)≈-40lgωωn

對(duì)數(shù)相頻特性：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-90oω=ωnφ(ω)=-180oω→∞→轉(zhuǎn)折頻率ω=ωn當(dāng)前第62頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)63=0.1=0.5=0.2=0.3=0.7=1當(dāng)>>1時(shí),即高頻段漸近線當(dāng)<<1時(shí),即低頻段漸近線漸近線振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖當(dāng)前第63頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)64

從圖可知,當(dāng)ζ較小時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線出現(xiàn)了峰值，稱為諧振峰值Mr，對(duì)應(yīng)的頻率稱為諧振頻率ωr。dA(ω)dω=0ωr=ωn1-2ζ2

(0≤ζ≤0.707)

Mr=A(ωr)=2ζ1-ζ21可求得代入得

精確曲線與漸近線之間存在的誤差與ζ值有關(guān)，ζ過(guò)大或過(guò)小，誤差都較大，曲線應(yīng)作出修正。當(dāng)前第64頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)65漸近線誤差用漸進(jìn)特性近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性存在誤差誤差曲線為一曲線簇，根據(jù)誤差曲線可以修正漸進(jìn)特性曲線而獲得準(zhǔn)確曲線當(dāng)前第65頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)８.延遲環(huán)節(jié)66

延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個(gè)單位圓(1)奈氏圖1ω=00ReImG(s)=e-τsG(jω)=e-jωτA(ω)=1φ(ω)=-τωc(t)=1(t-τ)r(t-τ)當(dāng)前第66頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)67（2）伯德圖時(shí)滯環(huán)節(jié)的伯德圖φ(ω)=-τωL(ω)=20lg1=0φ(ω)L(ω)/dBω0ω1100-100-200-300延遲環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響是造成了相頻特性的明顯變化當(dāng)前第67頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)68慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于0dB線對(duì)稱；對(duì)數(shù)相頻特性曲線關(guān)于0o線對(duì)稱。典型環(huán)節(jié)綜合分析當(dāng)前第68頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)69純微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)當(dāng)前第69頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)70振蕩環(huán)節(jié)二階微分當(dāng)前第70頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)71環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

斜率(dB/dec)特殊點(diǎn)φ(ω)常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表s2+2ωnζωns+ωn221+τs0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKL(ω)=0ω=1,T1ω=轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率1ω=τ轉(zhuǎn)折頻率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例積分重積分慣性比例微分振蕩00，-20-20-400，200，-40當(dāng)前第71頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)72※對(duì)于最小相位系統(tǒng)而言,幅頻特性和相頻特性之間有著確定的單值關(guān)系。

最小相位傳遞函數(shù)：在復(fù)平面S的右半面既沒(méi)有極點(diǎn)、也沒(méi)有零點(diǎn)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。※若ω→∞時(shí),幅頻特性的斜率為-20(n-m)dB/dec,

其中n,m分別為傳遞函數(shù)中分母、分子多項(xiàng)式的階數(shù),而相角等于-90°(n-m),則系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)：具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)?！哂邢嗤l特性的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。

最小相位系統(tǒng)當(dāng)前第72頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)73

９．非最小相位環(huán)節(jié)

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中沒(méi)有S右半平面上的極點(diǎn)和零點(diǎn)的環(huán)節(jié),稱為最小相位環(huán)節(jié);

而開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含有S右半平面上的極點(diǎn)或零點(diǎn)的環(huán)節(jié),則稱為非最小相位環(huán)節(jié)。

最小相位環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而對(duì)非最小相位環(huán)節(jié)來(lái)說(shuō)，就不存在這種關(guān)系。當(dāng)前第73頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)74(1)比例環(huán)節(jié)：(2)慣性環(huán)節(jié)：(3)一階微分環(huán)節(jié)：(4)振蕩環(huán)節(jié)：(5)二階微分環(huán)節(jié)：

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置。最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)＋＋＋＋＞當(dāng)前第74頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)

的幅相曲線

幅相曲線75當(dāng)前第75頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)幅相曲線76當(dāng)前第76頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)對(duì)數(shù)頻率特性曲線77當(dāng)前第77頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)對(duì)數(shù)頻率特性曲線78當(dāng)前第78頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)對(duì)數(shù)頻率特性曲線79當(dāng)前第79頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)80非最小相位的慣性環(huán)節(jié)最小相位的慣性環(huán)節(jié)＋－其幅頻特性相同，相頻特性符號(hào)相反，幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。舉例分析最小相位環(huán)節(jié)與非最小相位環(huán)節(jié)區(qū)別及聯(lián)系當(dāng)前第80頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)81最小相位的慣性環(huán)節(jié)非最小相位的慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線相同；相頻特性曲線關(guān)于0o線對(duì)稱。

這些特點(diǎn)同樣適合于其他最小相位環(huán)節(jié)對(duì)。當(dāng)前第81頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)82二、系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線的繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積

極坐標(biāo)形式：求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性：首先計(jì)算ω=0和ω=∞時(shí)開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值及相角,然后分析或計(jì)算中間過(guò)程，繪制極坐標(biāo)圖。當(dāng)前第82頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)（1）確定開(kāi)環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)；83繪制奈氏圖的三要素（2）確定開(kāi)環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)

或?yàn)榇┰筋l率，開(kāi)環(huán)幅相曲線與實(shí)軸交點(diǎn)為（3）開(kāi)環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。當(dāng)前第83頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)84020例1系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。

當(dāng)時(shí)幅值：相角：當(dāng)時(shí)幅值：相角：當(dāng)前第84頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)850當(dāng)時(shí)幅值：相角：例2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=,試?yán)L制極坐標(biāo)圖。

－KT當(dāng)時(shí)幅值：相角：當(dāng)前第85頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)86例3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是G(s)H(s)=試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。

0當(dāng)時(shí)幅值：相角：當(dāng)時(shí)幅值：相角：當(dāng)前第86頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)87例4比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：每增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后90°；若增加λ個(gè)積分環(huán)節(jié)，頻率特性就滯后λ90°。當(dāng)前第87頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)88例5比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：結(jié)論：每增加一個(gè)一階環(huán)節(jié)，當(dāng)ω→∞時(shí)，相位應(yīng)滯后90°。當(dāng)前第88頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)89例6：比較下列函數(shù)的極坐標(biāo)圖：思考題：當(dāng)前第89頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)最小相位系統(tǒng)奈氏圖小結(jié)：90一般情況1.0型系統(tǒng)：無(wú)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，λ=0當(dāng)前第90頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)912.1型系統(tǒng)：有一個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，λ=13.2型系統(tǒng)：有2個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，λ=2ω=0時(shí)ω=∞時(shí)0型1型2型起始幅角與系統(tǒng)型號(hào)有關(guān)n-m=1n-m=2n-m=3終止幅角與n-m個(gè)數(shù)有關(guān)注意：若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含有在右半平面的極點(diǎn)或零點(diǎn)，幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)不具有以上規(guī)律！當(dāng)前第91頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)924.ω→0時(shí)的漸近線平行于虛軸的漸近線平行于實(shí)軸的漸近線當(dāng)前第92頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)935.極坐標(biāo)曲線與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)求與虛軸的交點(diǎn)，令實(shí)部為0。求與實(shí)軸的交點(diǎn)，令虛部為0。當(dāng)前第93頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)94例1

某0型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試概略繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線。解：由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為０°-900，故該系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線中起點(diǎn)為：終點(diǎn)為：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性當(dāng)前第94頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)95令，得，即系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線除在處外與實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)。由于、可正可負(fù)，故系統(tǒng)幅相曲線在第Ⅱ和第Ⅰ象限內(nèi)變化，系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線如左圖虛線所示。

由于，而非最小相位比例環(huán)節(jié)的相角恒為，故此時(shí)系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線相對(duì)于最小相位比例環(huán)節(jié)的曲線，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得。

w00>Kj當(dāng)前第95頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)96例2:設(shè)某Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為：(K,T1,T2>0)，試?yán)L制其開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。解：分析：1.w=0時(shí)當(dāng)ω→0時(shí)，G(jω)漸近線是一條通過(guò)實(shí)軸-K(T1+T2)，且平行于虛軸的直線。當(dāng)前第96頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)972.當(dāng)w→∞時(shí)3.與實(shí)軸的交點(diǎn)令：Q(w)

=0解得：交點(diǎn)為：ImRe極坐標(biāo)圖：當(dāng)前第97頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)98幅值和相角分別為:先繪制慣性環(huán)節(jié)G1(jω)的極坐標(biāo)圖

在每一個(gè)頻率ω上幅值保持不變,相角再增加-ωτ,即得該系統(tǒng)的奈氏圖例3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是試?yán)L制其極坐標(biāo)圖。當(dāng)前第98頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)99

例4已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試畫(huà)出該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線。解：

n=mG(s)=K(1+τs)1+Ts1+(ωτ)21+(ωT)2KA(ω)=φ(ω)=tg-1ωτ-tg-1ωT1)τ>Tω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω>0A(ω)>Kφ(ω)>0oω=∞A(ω)>Kφ(ω)=0oKτ

Tω=∞Kω=0Re0Imτ>T的奈氏圖2)τ<Tω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω>0A(ω)<Kφ(ω)<0oω=∞A(ω)<Kφ(ω)=0oτ<T的奈氏圖ω=∞Kω=0Re0ImKτ

T當(dāng)前第99頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)100例5已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為起點(diǎn)：終點(diǎn)：與實(shí)軸的交點(diǎn)：當(dāng)前第100頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)101因?yàn)閺膯握{(diào)減至，故幅相曲線在第第Ⅲ象限與第Ⅱ象限間變化。開(kāi)環(huán)概略幅相曲線如圖所示。當(dāng)前第101頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)102

例1已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試畫(huà)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解：G(s)=(S+10)S(2S+1)G(s)=10(0.1S+1)S(2S+1)1)將式子標(biāo)準(zhǔn)化解2)畫(huà)出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2Φ(ω)L(ω)/dBL1L3L2L41100.5

-20020400-180-9090-40dB/dec-20dB/decωG2(s)=1SG3(s)=0.1S+1G4(s)=2S+113）將各環(huán)節(jié)的曲線相加，即為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。三、系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性當(dāng)前第102頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)103例2：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫(huà)bode圖。步驟：（1）找交接頻率：（2）寫(xiě)出頻率特性表達(dá)式：交接頻率當(dāng)前第103頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)104（3）畫(huà)漸近特性：當(dāng)前第104頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)105通過(guò)上例可知：

根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的低頻段和各轉(zhuǎn)折頻率即可確定系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。

低頻段幅頻特性近似表示為：低頻段曲線的斜率低頻段曲線的高度L(ω)≈20lgK-20lgωυ-20υdB/decL(1)=20lgK當(dāng)前第105頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)106繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的一般步驟和方法:寫(xiě)出以時(shí)間常數(shù)表示、以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘積形式的系統(tǒng)頻率特性。(2)求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,并從小到大依次標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上。(3)計(jì)算20lgK的分貝值,其中K是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。過(guò)ω=1,20lgK這一點(diǎn),做斜率為-20νdB/dec的直線,此即為低頻段的漸近線或其延長(zhǎng)線,其中ν是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)包含串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。當(dāng)前第106頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)107(4)繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的其它漸近線。從低頻段漸近線開(kāi)始,從左到右,每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率就按上述規(guī)律改變一次斜率。直到繪出轉(zhuǎn)折頻率最高的環(huán)節(jié)為止；如有必要再利用誤差曲線修正,得到精確對(duì)數(shù)幅頻特性的光滑曲線。(5)畫(huà)出各典型環(huán)節(jié)的相頻特性，疊加后得到開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相頻特性曲線。慣性環(huán)節(jié)：-20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)：-40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)：+20dB/dec二階微分環(huán)節(jié)：+40dB/dec注意：對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上要標(biāo)明斜率！當(dāng)前第107頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)例3試?yán)L制下列傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。

108ω1=0.5

ω2=2

ω3=8

3、過(guò)ω=1,20log4=12dB這一點(diǎn),作-20dB/dec的直線(ν=1),即為該系統(tǒng)低頻漸近線。4、沿低頻漸近線開(kāi)始,從左到右,在每個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處相應(yīng)改變系統(tǒng)漸近線斜率。

1、將此傳遞函數(shù)改寫(xiě)為用時(shí)間常數(shù)表示的形式,其頻率特性為：2、計(jì)算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：2、各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：2、各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：-20db/十倍頻程-40db/十倍頻程-20db/十倍頻程-60db/十倍頻程當(dāng)前第108頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)例4繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線解：a.確定轉(zhuǎn)折頻率ω1=1，ω2=2.5，ω3=5，ω4=1/0.04=25b.確定L(ω)起始段的高度和斜率過(guò)ω=1，L(ω)=20dB點(diǎn)畫(huà)斜率為-20dB/dec的直線0204060-60-40-20L(ω)(dB)ω109ω1ω=1ω2ω=2.5ω3ω=5ω4ω=25Kv-20db/十倍頻程-40db/十倍頻程-20db/十倍頻程-40db/十倍頻程-80db/十倍頻程當(dāng)前第109頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)110例5:畫(huà)出系統(tǒng)的Bode圖解：G(s)=100(S+2)S(S+1)(S+20)G(s)=10(0.5S+1)S(S+1)(0.05S+1)將式子標(biāo)準(zhǔn)化各轉(zhuǎn)折頻率為：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/decφ(ω)L(ω)/dB-2002040ω1=1ω2=2ω3=20低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：ω=0φ(ω)=-90oω=∞φ(ω)=-180o當(dāng)前第110頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)111例6系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為：試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性。解：1.該系統(tǒng)是II型系統(tǒng)2.低頻漸近線過(guò)點(diǎn)(1,20)斜率為：-20ν=-40dB/dec當(dāng)前第111頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)1123.開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性：ω

110220100一階微分振蕩環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)斜率變化環(huán)節(jié)-20dB/dec+20dB/dec-40dB/dec當(dāng)前第112頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)113例8開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳函為：，試畫(huà)出該系統(tǒng)的伯德圖。解：1.該系統(tǒng)是1型系統(tǒng)2.低頻漸近線過(guò)點(diǎn)(1,20lgK)斜率為：-20ν=-20dB/dec3.伯德圖如下：L(ω)ω當(dāng)前第113頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)114例9系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為：，試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。解：1.該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)2.低頻漸近線過(guò)點(diǎn)(1,20)斜率為：-20ν=0dB/dec3.開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如下：-40dB/dec-60dB/dec124100ωL(ω)20當(dāng)前第114頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)115紅線為漸近線，藍(lán)線為實(shí)際曲線。當(dāng)前第115頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)1163）繪制低頻段漸近特性線：由于一階環(huán)節(jié)或二階環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線在交接頻率前斜率為，在交接頻率處斜率發(fā)生變化，故在頻段內(nèi)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近特性的斜率取決于，因而直線斜率為為獲得低頻漸近線，還需確定該直線上的一點(diǎn)，可以采用以下三種方法：方法一：在范圍內(nèi)，任選一點(diǎn)，計(jì)算

方法二：取頻率為特定值，則2）確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的軸上；1）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解；對(duì)數(shù)頻率特性曲線繪制的步驟：當(dāng)前第116頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)117方法三：取為特殊值0，則有，即過(guò)在范圍內(nèi)作斜率為的直線。顯然，若有，則點(diǎn)位于低頻漸近特性曲線的延長(zhǎng)線上。4）作頻段漸近特性線：在頻段，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線。每?jī)蓚€(gè)相鄰交接頻率之間為直線，在每個(gè)交接頻率點(diǎn)處，斜率發(fā)生變化，變化規(guī)律取決于該交接頻率對(duì)應(yīng)的典型環(huán)節(jié)的種類，如下表所示。

當(dāng)前第117頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)118注意：當(dāng)系統(tǒng)的多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同交接頻率時(shí)，該交接頻率點(diǎn)處斜率的變化應(yīng)為各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的斜率變化值的代數(shù)和。

以的低頻漸近線為起始直線，按交接頻率由小到大順序和由表確定斜率變化，再逐一繪制直線。當(dāng)前第118頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)119四、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定1.頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)信號(hào)源對(duì)象記錄儀

sinωt2.傳遞函數(shù)確定G(s)=Sυ∏(TjS+1)n-υj=1k∏(τiS+1)i=1m

根據(jù)Bode圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增益K和ν的值，轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)等參數(shù)。當(dāng)前第119頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)1201）ν=0低頻漸近線為系統(tǒng)的伯德圖20lgKX-40dB/dec0ωL(ω)/dB-20dB/decωcL(ω)=20lgK=χK=1020Χ即（1）根據(jù)低頻段漸近線或其延長(zhǎng)線在ω

=1的分貝值，根據(jù)傳函中積分環(huán)節(jié)υ的不同分別確定開(kāi)環(huán)增益K。當(dāng)前第120頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)121ωL(ω)/dB1ω1ωc-20dB/dec-40dB/dec0低頻段的曲線或其延長(zhǎng)線與橫軸相交點(diǎn)的頻率為ω02）ν=1ω020lgKL(ω)=20lgKω=1lgω0-lg120lgK=2020lgK=20lgω0K=ω0系統(tǒng)的伯德圖：因?yàn)楣十?dāng)前第121頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)122

0ω-20dB/dec-40dB/dec-40dB/decωc1L(ω)/dB3）ν=2lgω0-lg120lgK=4020lgK=40lgω0K=ω02系統(tǒng)的伯德圖：L(ω)=20lgKω=120lgK低頻段的曲線與橫軸相交點(diǎn)的頻率為ω0ω0因?yàn)楣十?dāng)前第122頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)123(2)確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；低頻段斜率為-20dB/dec，則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有個(gè)積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為型系統(tǒng)。(3)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)某處系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此即為某個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。當(dāng)前第123頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)124ω0=3.164020-200L(ω)/dB0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec2例1最小相位系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解:

對(duì)數(shù)頻率特性曲線ω1=0.5ω2=2K=(ω0)2=10G(s)=10(2S+1)S2(0.5S+1)當(dāng)前第124頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)125ω

0.1120例2.已知某最小相位系統(tǒng)由頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲得的對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù)。(1)確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)υ=1解：(2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)低頻段的漸近線為-20dB/dec當(dāng)前第125頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)126(0.1,20)和(1,20lgK)都位于-20dB/dec的直線上K=1ω

0.1120(3)確定開(kāi)環(huán)增益K當(dāng)前第126頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)127例3[例5-7]已知某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)漸進(jìn)特性曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù)。(1)確定積分環(huán)節(jié)(或微分環(huán)節(jié))的個(gè)數(shù)υ=-1解：(2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)低頻段的漸近線為+20dB/dec

一個(gè)微分環(huán)節(jié)當(dāng)前第127頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)128(1,0)和(ω1,12)位于+20dB/dec的直線上ω1

=3.98(ω2,12)和(100,0)都位于-40dB/dec的直線上ω2

=50.1求ω1,ω2,

ζ當(dāng)前第128頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)129K=1(3)確定開(kāi)環(huán)增益K20lgK=0諧振峰值當(dāng)前第129頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)130例4由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。ω0=3.16解:由圖可得：20lgMr=3dBMr=1.41Mr==1.41ξ2ξ1-21得：ξ1=±0.92ξ2=±0.38根據(jù)0≤ξ≤0.707取ξ=0.38S23.162由頻率曲線得G(s)=L(ω)/dB0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dBωφ(ω)0-180-90-270ω0(0.25S2+0.38S+1)(2S+1)當(dāng)前第130頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)131例5已知采用積分控制液位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和對(duì)數(shù)頻率特性曲線,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。K1STs+1-hr(t)h(t)解:將測(cè)得的對(duì)數(shù)曲線近似成漸近線:L(ω)/dBω20-200φ(ω)0-180-90ω1-20dB/dec4-40dB/decφ(s)=1(S+1)(S/4+1)=10.25S2+1.25S+1)當(dāng)前第131頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)§

5.３頻率域穩(wěn)定判據(jù)

本節(jié)主要內(nèi)容：

1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

2

、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

3

、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)132當(dāng)前第132頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)133

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是用開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它是頻率分析法的重要內(nèi)容。奈氏判據(jù)能夠：判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定(絕對(duì)穩(wěn)定性)；確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度(相對(duì)穩(wěn)定性)；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。當(dāng)前第133頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)幅角定理1341.點(diǎn)的映射s0F(s0)閉環(huán)特征函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)［s］［F(s)］

奈魁斯特判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的映射定理,又稱幅角定理。

一、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)當(dāng)前第134頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)1352.圍線的映射ReImF（s）平面s平面與F(s)平面的映射關(guān)系S平面z1,z2

……

zm——為F(s)的零點(diǎn)p1,p2

,……pn——為F(s)的極點(diǎn)當(dāng)前第135頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)136（1）在s平面上順時(shí)針不包圍F(s)任何零、極點(diǎn)的圍線s

，映射到F(s)平面上的s’必不包圍F(s)的坐標(biāo)原點(diǎn)。ReImS平面F（s）平面當(dāng)前第136頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)137（2）在s平面上順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)的圍線s，映射到F(s)平面上的s’必順時(shí)針包圍F(s)的坐標(biāo)原點(diǎn)一周。ReIm封閉曲線包圍z1時(shí)的映射情況S平面F（s）平面（逆時(shí)針）（極點(diǎn)）p0當(dāng)前第137頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)138（3）s平面上順時(shí)針包圍F(s)的z個(gè)零點(diǎn)（或P個(gè)極點(diǎn)）的圍線s，映射到F(s)平面的s’必順（或逆）時(shí)針包圍F(s)的坐標(biāo)原點(diǎn)z(或P）周。如果s平面上的封閉曲線以順時(shí)針?lè)较虬鼑瘮?shù)F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn),則F(s)平面上的映射曲線相應(yīng)地包圍坐標(biāo)原點(diǎn)N次,

Ｎ

=P-Z若P>Ｚ,N為正值，包圍方向?yàn)槟鏁r(shí)針;若P<Ｚ,N為負(fù)值，包圍方向?yàn)轫槙r(shí)針。這種映射關(guān)系,稱為映射定理。一般情況：當(dāng)前第138頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)139設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

F(s)=1+G(s)H(s)=0代入特征方程,得其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)特征函數(shù)1)F(s)的分子與分母多項(xiàng)式的階次相同；2)F(s)的極點(diǎn)就是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；3)F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；4)復(fù)平面F與復(fù)平面GH只相差常數(shù)1，F(xiàn)平面的原點(diǎn)就是GH平面的(-1,j0)點(diǎn)。特點(diǎn)：當(dāng)前第139頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)140閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根,即F(s)的零點(diǎn),都位于S平面的左半平面,或者說(shuō)F(s)的所有零點(diǎn)都不在S平面的右半平面內(nèi)。s平面上的封閉曲線ss包圍了根平面的整個(gè)不穩(wěn)定區(qū)。稱作奈氏軌跡。①開(kāi)環(huán)傳函中無(wú)s=0極點(diǎn)當(dāng)前第140頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)141F（jω）=1+G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)

的映射：

的映射：以實(shí)軸為對(duì)稱當(dāng)前第141頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)142

在s平面上的奈氏軌跡線順時(shí)針包圍F(s)的P個(gè)極點(diǎn)和z個(gè)零點(diǎn)，那么奈氏軌跡線映射到GH平面的GH(jω)為逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)N周，且N=P-Z。式中：Z——閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的特征根的個(gè)數(shù)；P——開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)前第142頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)143關(guān)于奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的說(shuō)明：P=０(即開(kāi)環(huán)是穩(wěn)定的）,

如果系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的，則Z=0，所以N必為0,

也即開(kāi)環(huán)頻率特性曲線GΗ(jω)不包圍(-1,j0)點(diǎn)；(2)P≠0（即開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定）,若使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定則Z=0，所以N=P-Z=P

即開(kāi)環(huán)頻率特性曲線GΗ(jω)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)P周（3）GΗ(jω)通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)前第143頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)

反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是半閉合曲線ΓGH不穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn)且逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)圈數(shù)R等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)P。144奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)前第144頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)145例1試用奈氏判據(jù)分析下面系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:頻率特性

系統(tǒng)的奈氏曲線如圖：因?yàn)镻=0，N=0，計(jì)算Z=P-N=0，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)前第145頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)146例2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。

G(s)H(s)=∵P=0，

N=0∴Z=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)前第146頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)147例3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。

G(s)H(s)=∵P=0，N=-2∴Z=P-N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第147頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)148②開(kāi)環(huán)傳函中有s=0的極點(diǎn)奈魁斯特軌跡映射圖s∵P=0，N=-2∴Z=P-N=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)前第148頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)149

當(dāng)開(kāi)環(huán)傳函有ν個(gè)s=0的極點(diǎn)時(shí)，起終點(diǎn)為ω=0－、0＋的半徑無(wú)窮小半圓，映射到GH平面的頻特是從ω=0－起，以無(wú)窮大半徑順時(shí)針繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)ν180°后終止于ω=0＋點(diǎn)。

時(shí)的奈氏曲線

時(shí)的奈氏曲線當(dāng)前第149頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)150例4系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)分析當(dāng)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:開(kāi)環(huán)頻率特性幅頻特性和相頻特性：當(dāng)前第150頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)151(a)當(dāng)時(shí)：(a)因?yàn)镻=0,N=0，所以Z=0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)前第151頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)152(b)當(dāng)時(shí)：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定當(dāng)前第152頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)153(c)當(dāng)時(shí)：因?yàn)镻=0,N=-2，所以Z=P-N=2，該系統(tǒng)閉環(huán)是不穩(wěn)定的。當(dāng)前第153頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)154例5設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：先根據(jù)奈氏路徑畫(huà)出完整的映射曲線(Ⅰ型系統(tǒng))映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以：N=1-1=0。P=0Z=P-N=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)前第154頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)155例6某Ⅱ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無(wú)極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：先根據(jù)奈氏路徑畫(huà)出完整的映射曲線(Ⅱ型系統(tǒng))映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈，所以：N=-2。P=0Z=P-N=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定當(dāng)前第155頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)156對(duì)應(yīng)的曲線為起始點(diǎn)逆時(shí)針作半徑無(wú)窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線所示。因?yàn)槟问锨€為ω由０→

∞的范圍變化時(shí)的曲線，因此含有積分環(huán)節(jié)時(shí)注意：當(dāng)前第156頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)157通常，只畫(huà)出ω=0→+∞的開(kāi)環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：Z=P-2N／。式中，N／為ω=0→+∞變化時(shí)，開(kāi)環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N／=00型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，N／=-1Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)當(dāng)前第157頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)

根據(jù)半閉合曲線可獲得包圍原點(diǎn)的圈數(shù)R。設(shè)N為穿越點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越），表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則158閉合曲線包圍原點(diǎn)圈數(shù)R的計(jì)算當(dāng)前第158頁(yè)\共有207頁(yè)\編于星期二\13點(diǎn)（圖a）159（圖b）（圖c）（圖d）D圖中，b點(diǎn)從上向下運(yùn)動(dòng)至實(shí)軸停止為半次正穿越點(diǎn)A，B為奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，按穿越負(fù)實(shí)軸上段的方向，分