高數(shù)常系數(shù)非齊次線性微分方程演示文稿

高數(shù)常系數(shù)非齊次線性微分方程演示文稿當(dāng)前第1頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)優(yōu)選高數(shù)常系數(shù)非齊次線性微分方程當(dāng)前第2頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法當(dāng)前第3頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得為m次多項(xiàng)式.(1)若

不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為m次待定系數(shù)多項(xiàng)式當(dāng)前第4頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023(2)若是特征方程的單根,為m次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根

,是m次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解當(dāng)前第5頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023代入方程即可確定系數(shù)：從而確定特解.特解的形式為將

當(dāng)前第6頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023提示因?yàn)閒(x)Pm(x)ex3x1

0不是特征方程的根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*b0xb1

把它代入所給方程得

例1求微分方程y2y3y3x1的一個(gè)特解

解

齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30

[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b1

2b03b0x3b13b0x2b03b13x1

提示3b03

2b03b11

當(dāng)前第7頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023

例2求微分方程y5y6yxe2x的通解

解

齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r

60

其根為r12

r23

提示齊次方程y5y6y0的通解為YC1e2xC2e3x

因?yàn)閒(x)Pm(x)exxe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*x(b0xb1)e2x

把它代入所給方程得2b0x2b0b1x

提示2b01

2b0b10因此所給方程的通解為當(dāng)前第8頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023二、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)當(dāng)前第9頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023第一步利用歐拉公式將f(x)變形當(dāng)前第10頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023第二步求如下兩方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:當(dāng)前第11頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023第三步求原方程的特解利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為m次多項(xiàng)式.當(dāng)前第12頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023第四步分析因均為m次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),當(dāng)前第13頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.當(dāng)前第14頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023例4.的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解當(dāng)前第15頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023例5.的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為當(dāng)前第16頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\12點(diǎn)6/15/2023內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1