基礎(chǔ)過關(guān)篇空間與圖形四邊形

基礎(chǔ)過關(guān)篇第27課時多邊形第28課時平行四邊形第29課時矩形第30課時菱形第31課時正方形第32課時四邊形綜合第二部分空間與圖形第五單元四邊形考點聚焦考點聚焦第27課時多邊形基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時鞏固即時鞏固考點聚焦考點1多邊形在平面內(nèi),由若干條不在同一直線上的線段

順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊;每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點;在多邊形中,連結(jié)不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線;多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.首尾考點2多邊形的內(nèi)角和與外角和n邊形的內(nèi)角和為

;任何多邊形的外角和為

.

【疑難典析】在四邊形的四個內(nèi)角中,最多能有3個鈍角,最多能有3個銳角.如果一個多邊形的邊數(shù)增加1,那么這個多邊形的內(nèi)角和增加180°.(n-2)·180°(n≥3)360°考點3多邊形的對角線n邊形有

條對角線.

【疑難典析】如果一個n邊形恰好有n條對角線,那么這個多邊形是五邊形.考點4正多邊形?各個

相等,各條

也相等的多邊形叫做正多邊形.

?正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是

.

?經(jīng)過一個正多邊形的各個頂點的圓叫做這個正多邊形的外接圓,這個正多邊形叫做圓的內(nèi)接正多邊形.任何正多邊形都有一個外接圓.內(nèi)角邊基礎(chǔ)溫故1.一個多邊形的內(nèi)角和是720°,這個多邊形的邊數(shù)是(

)A.4 B.5 C.6 D.72.正十邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為

(

)A.120° B.135° C.140° D.144°CD3.從九邊形的一個頂點出發(fā)可以引出的對角線條數(shù)為(

)A.3 B.4 C.6 D.94.如圖27-1,在正五邊形ABCDE中,連結(jié)BE,則∠ABE的度數(shù)為

(

)A.30° B.36° C.54° D.72°圖27-1CB5.一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是4∶1,則這個多邊形的邊數(shù)是

(

)A.7 B.8 C.9 D.10D分類精析類型之一多邊形的內(nèi)角和與外角和例1已知一個多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°,求這個多邊形的邊數(shù)及對角線的條數(shù).解:設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)題意,得(n-2)×180°=360°×2+180°,解得n=7,七邊形的對角線條數(shù)為:×7×(7-3)=14(條).答:所求的多邊形的邊數(shù)為7,這個多邊形對角線為14條.類型之二正多邊形例2邊長相等的正五邊形與正六邊形按如圖27-2所示拼接在一起,則∠ABO的度數(shù)為

(

)A.24° B.48° C.60° D.72°圖27-2A類型之三多邊形的有關(guān)計算例3一個多邊形的內(nèi)角和與一個外角的和為1300°.求這個多邊形的邊數(shù)和這個外角的度數(shù).類型之四綜合性問題例4如圖27-3,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠C=45°,BC=4,AD=2.求四邊形ABCD的面積.圖27-3例5如圖27-4,四邊形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,則四邊形ABCD的面積為

(

)A.15 B.12.5 C.14.5 D.17圖27-4B例6如圖27-5,在四邊形ABCD中,AB=BC=5,∠ABC=45°,連結(jié)AC,BD,若∠DAC=90°,AC=AD,則BD的長為

.

圖27-5即時鞏固一、選擇題1.一個五邊形的內(nèi)角和為

(

)A.540° B.450°C.360° D.180°A2.若正多邊形的一個外角是40°,則這個正多邊形是(

)A.正七邊形

B.正八邊形C.正九邊形

D.正十邊形3.過某個多邊形一個頂點的所有對角線,將此多邊形分成7個三角形,則此多邊形的邊數(shù)為

(

)A.10 B.9 C.8 D.7CB二、填空題4.一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍,則這個多邊形的邊數(shù)為

.

5.某正n邊形的一個內(nèi)角為108°,則n=

.

656.如圖27-6是由射線AB,BC,CD,DE,EA組成的平面圖形,若∠1+∠2+∠3+∠4=225°,ED∥AB,則∠1的度數(shù)為

.

圖27-645°三、解答題7.如圖27-7,四邊形ABCD中,AB⊥BC,∠A+∠B=160°,∠D=4∠C,求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù).圖27-7解:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∵∠A+∠B=160°,∴∠A=70°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴∠C+∠D=200°.∵∠D=4∠C,∴∠C=40°,∠D=160°.考點聚焦考點聚焦第28課時平行四邊形基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時鞏固即時鞏固考點聚焦考點1平行四邊形的定義和性質(zhì)?定義:兩組對邊分別

的四邊形是平行四邊形.

?平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形的兩組對邊分別

;

(2)平行四邊形的兩組對角分別

;

(3)平行四邊形的對角線互相

;

(4)對稱性:平行四邊形是中心對稱圖形,它的對稱中心是兩條對角線的交點.平行平行且相等相等平分【疑難典析】(1)兩條平行線中,一條直線上的任意一點到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線間的距離;(2)如果一條直線過平行四邊形的對角線的交點,那么這條直線被一組對邊截下的線段關(guān)于對角線的交點成中心對稱,且這條直線等分平行四邊形的面積和周長.考點2平行四邊形的判定?定義法.?一組對邊平行且

的四邊形是平行四邊形.

?兩組對邊分別

的四邊形是平行四邊形.

?對角線

的四邊形是平行四邊形.

相等相等互相平分考點3平行四邊形的面積平行四邊形的面積:平行四邊形的面積=底×高.【疑難典析】同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.基礎(chǔ)溫故1.在?ABCD中,∠B+∠D=260°,那么∠A的度數(shù)是(

)A.130° B.100°C.50° D.80°CC3.如圖28-1,在?ABCD中,對角線AC的垂直平分線分別交AD,BC于點E,F,連結(jié)CE,若△CED的周長為6,則?ABCD的周長為

(

)A.6 B.12C.18 D.24圖28-1BB5.如圖28-2,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AB中點,且AE+EO=4,則?ABCD的周長為

(

)A.20 B.16 C.12 D.8圖28-2B分類精析類型之一平行四邊形的性質(zhì)例1如圖28-3,在?ABCD中,點E,F分別在邊CB,AD的延長線上,且BE=DF,EF分別與AB,CD交于點G,H.求證:AG=CH.圖28-3類型之二平行四邊形的判定例2如圖28-4,B,E,C,F在一條直線上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,連結(jié)AD.求證:四邊形ABED是平行四邊形.圖28-4例3如圖28-5,將?ABCD沿過點A的直線l折疊,使點D落到AB邊上的點D'處,折痕l交CD邊于點E,連結(jié)BE.(1)求證:四邊形BCED'是平行四邊形;(2)若BE平分∠ABC,求證:AB2=AE2+BE2.圖28-5證明:(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CD,∠D=∠ABC.由折疊,可知∠D=∠AD'E,∴∠AD'E=∠ABC.∴ED'∥CB.∵AB∥CD,∴四邊形BCED'是平行四邊形.例3如圖28-5,將?ABCD沿過點A的直線l折疊,使點D落到AB邊上的點D‘處,折痕l交CD邊于點E,連結(jié)BE.(2)若BE平分∠ABC,求證:AB2=AE2+BE2.圖28-5類型之三平行四邊形綜合性問題例4如圖28-6,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAD的平分線AE交CD于點F,交BC的延長線于點E.(1)求證:BE=CD;(2)連結(jié)BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四邊形ABCD的面積.圖28-6解:(1)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴BE=AB.∵AB=CD,∴BE=CD.例4如圖28-6,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAD的平分線AE交CD于點F,交BC的延長線于點E.(2)連結(jié)BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四邊形ABCD的面積.圖28-6例5如圖28-7,在?ABCD中,分別以邊BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,連結(jié)AF,AE.(1)求證:△ABF≌△EDA;(2)延長AB與CF相交于點G.若AF⊥AE,求證:BF⊥BC.圖28-7證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∵BC=BF,CD=DE,∴BF=AD,AB=DE,∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°,∠EDC=∠CBF,∴∠ABF=∠ADE,∴△ABF≌△EDA.例5如圖28-7,在?ABCD中,分別以邊BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,連結(jié)AF,AE.(2)延長AB與CF相交于點G.若AF⊥AE,求證:BF⊥BC.圖28-7(2)延長FB交AD于點H.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=∠AFB,∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°,∴∠AHF=90°,即FB⊥AD,∵AD∥BC,∴FB⊥BC.即時鞏固一、選擇題1.如圖28-8,在?ABCD中,已知AC=4cm,若△ACD的周長為13cm,則?ABCD的周長為

(

)A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm圖28-8D2.如圖28-9,在?ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,E是邊CD的中點,連結(jié)OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,則∠1的度數(shù)為

(

)A.50° B.40°C.30° D.20°圖28-9B3.如圖28-10,在?ABCD中,BE⊥AB交對角線AC于點E,若∠1=18°,則∠2= (

)A.98° B.102° C.108° D.118°圖28-10C二、填空題4.如圖28-11,在?ABCD中,∠A=70°,DC=DB,則∠CDB=

.

圖28-115.已知平行四邊形ABCD中,AB=20,AD=16,AB與CD之間的距離為8,則AD與BC之間的距離為

.

40°106.如圖28-12,?ABCD中,AC,BD相交于點O,若AD=6,AC+BD=16,則△BOC的周長為

.

圖28-1214三、解答題7.如圖28-13,在?ABCD中,點E,F在對角線BD上,且BE=DF.求證:(1)AE=CF;(2)四邊形AECF是平行四邊形.圖28-13證明:(1)在?ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.7.如圖28-13,在?ABCD中,點E,F在對角線BD上,且BE=DF.求證:(2)四邊形AECF是平行四邊形.圖28-13(2)由(1)知△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF.∴四邊形AECF是平行四邊形.第29課時矩形考點聚焦考點聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時鞏固即時鞏固考點聚焦考點

矩形?矩形的定義有一個角是直角的

是矩形.

【疑難典析】涉及矩形問題常需要分類討論.平行四邊形?矩形的性質(zhì)(1)矩形的對邊

;

(2)矩形的四個角都是

角(或矩形的四個角相等);

(3)矩形的對角線

且

.

平行且相等直相等互相平分【疑難典析】(1)矩形的兩條對角線把矩形分成四個面積相等的等腰三角形;(2)矩形是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸,矩形還是中心對稱圖形,它的對稱中心是對角線的交點;(3)經(jīng)過矩形對角線交點的任一直線把矩形分成兩個全等的圖形;(4)矩形的面積等于兩鄰邊長的乘積;(5)利用“矩形的對角線相等且互相平分”這一性質(zhì),可以得出:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.?矩形的判定(1)定義法.(2)有三個角是直角的

是矩形.

(3)對角線相等的

是矩形.

【疑難典析】要利用矩形的判定(3),必須滿足以下兩個條件:①對角線相等;②平行四邊形.四邊形平行四邊形基礎(chǔ)溫故C2.如圖29-1,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,∠AOD=120°,AB=4cm,則矩形對角線長為

(

)A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm圖29-1C圖29-2D4.如圖29-3,四邊形ABCD的對角線互相平分,要使它成為矩形,那么需要添加的條件是

(

)A.AB=CD B.AD=BCC.AB=BC D.AC=BD圖29-3D5.如圖29-4,矩形ABCD中對角線AC,BD交于點O,E是AD中點,連結(jié)OE.若OE=3,AD=8,則對角線AC的長為

(

)A.5 B.6C.8 D.10圖29-4D分類精析類型之一矩形的性質(zhì)例1如圖29-5,在矩形ABCD中,E是AB的中點,連結(jié)DE,CE.(1)求證:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長.圖29-5例1如圖29-5,在矩形ABCD中,E是AB的中點,連結(jié)DE,CE.(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長.圖29-5例2如圖29-6,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在BD上,BE=DF.(1)求證:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面積.圖29-6例2如圖29-6,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在BD上,BE=DF.(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面積.圖29-6類型之二矩形的判定例3如圖29-7,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點,并且AE=CF,連結(jié)DE,BF.(1)求證:△DOE≌△BOF;(2)若BD=EF,連結(jié)EB,DF,判斷四邊形EBFD的形狀,并說明理由.圖29-7例3如圖29-7,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點,并且AE=CF,連結(jié)DE,BF.(2)若BD=EF,連結(jié)EB,DF,判斷四邊形EBFD的形狀,并說明理由.圖29-7(2)結(jié)論:四邊形EBFD是矩形.理由:∵OD=OB,OE=OF,∴四邊形EBFD是平行四邊形,∵BD=EF,∴四邊形EBFD是矩形.例4如圖29-8,在△ABC中,D是BC邊上的一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連結(jié)BF.(1)線段BD與CD有何數(shù)量關(guān)系,為什么?(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形AFBD是矩形?請說明理由.圖29-8解:(1)BD=CD.理由如下:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.∵E是AD的中點,∴AE=DE,∴△AFE≌△DCE,∴AF=DC.又∵AF=BD,∴BD=CD.例4如圖29-8,在△ABC中,D是BC邊上的一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連結(jié)BF.(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形AFBD是矩形?請說明理由.圖29-8(2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC時,四邊形AFBD是矩形.理由如下:∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.易知四邊形AFBD是平行四邊形,∴四邊形AFBD是矩形.類型之三矩形綜合性問題例5如圖29-9,已知四邊形ABCD是平行四邊形,并且∠A=∠D.(1)求證:四邊形ABCD為矩形;(2)點E是AB邊的中點,F為AD邊上一點,∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的長.圖29-9解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵∠A=∠D,∴∠A=90°,∴平行四邊形ABCD為矩形.例5如圖29-9,已知四邊形ABCD是平行四邊形,并且∠A=∠D.(2)點E是AB邊的中點,F為AD邊上一點,∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的長.圖29-9即時鞏固一、選擇題1.下列命題正確的是

(

)A.有一個角是直角的四邊形是矩形B.有三個角是直角的四邊形是矩形C.對角線相等的四邊形是矩形D.對角線互相平分的四邊形是矩形B2.如圖29-10,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點M是AB的中點,若OM=4,AB=6,則BD的長為

(

)A.4 B.5 C.8 D.10圖29-10D3.如圖29-11,矩形ABCD中,E點在BC上,且AE平分∠BAC,若BE=5,AC=12,則△AEC的面積為

(

)A.20 B.30C.60 D.15圖29-11B二、填空題4.矩形的對角線長為20,兩鄰邊之比為3∶4,則矩形的面積為

.5.如圖29-12,在矩形ABCD中,E為BC的中點,且∠AED=90°,AD=10,則AB的長為

.

圖29-1219256.如圖29-13,在矩形ABCD中,∠ABC的平分線交AD于點E,連結(jié)CE.若BC=7,AE=4,則CE=

.

圖29-135三、解答題7.如圖29-14,在?ABCD中,∠ABD的平分線BE交AD于點E,∠CDB的平分線DF交BC于點F.(1)求證:△ABE≌△CDF;(2)若AB=DB,求證:四邊形DFBE是矩形.圖29-147.如圖29-14,在?ABCD中,∠ABD的平分線BE交AD于點E,∠CDB的平分線DF交BC于點F.(2)若AB=DB,求證:四邊形DFBE是矩形.圖29-14(2)∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∴DE∥BF,DE=BF,∴四邊形DFBE是平行四邊形.∵AB=DB,BE平分∠ABD,∴BE⊥AD,即∠DEB=90°,∴平行四邊形DFBE是矩形.第30課時菱形考點聚焦考點聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時鞏固即時鞏固考點聚焦考點1菱形的定義一組鄰邊相等的

是菱形.

【疑難典析】菱形的定義是在平行四邊形的基礎(chǔ)上定義的.平行四邊形考點2菱形的性質(zhì)?菱形的四條邊都

.

?菱形的對角線互相

,并且每一條對角線平分一組對角.

?菱形是中心對稱圖形,它的對稱中心是兩條對角線的交點;菱形也是軸對稱圖形,兩條對角線所在的直線是它的對稱軸.相等垂直平分考點3菱形的判定?定義法.?對角線互相垂直的

是菱形.

?四條邊都相等的

是菱形.

【疑難典析】在進(jìn)行菱形判定時,必須轉(zhuǎn)化出滿足菱形的定義或判定定理所需的條件.平行四邊形四邊形考點4菱形的面積?由于菱形是平行四邊形,所以菱形的面積=底×高.?因為菱形的對角線互相垂直平分,所以其對角線將菱形分成4個全等的三角形,故菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半.【疑難典析】在計算菱形面積時,必須搞清所運用的是哪一個面積公式.基礎(chǔ)溫故B2.一個菱形的兩條對角線的長分別為5和8,那么這個菱形的面積是

(

)A.40 B.20C.10 D.253.菱形的兩條對角線長分別是6和8,則此菱形的邊長是(

)A.10 B.8 C.6 D.5BD4.如圖30-1,菱形ABCD的周長為48cm,對角線AC,BD相交于O點,E是AD的中點,連結(jié)OE,則線段OE的長等于

cm.

圖30-165.如圖30-2,菱形的周長是20cm,∠DAB=60°,則BD=

cm.

圖30-25分類精析類型之一菱形的性質(zhì)例1如圖30-3,在菱形ABCD中,分別延長AB,AD到E,F,使得BE=DF,連結(jié)EC,FC.求證:EC=FC.圖30-3證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴CB=CD,∠ABC=∠ADC,∴∠EBC=∠FDC,∵BE=DF,∴△EBC≌△FDC,∴EC=FC.類型之二菱形的判定例2如圖30-4,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點E,F分別是AB,BC上的點,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求證:(1)△AED≌△CFD;(2)四邊形ABCD是菱形.圖30-4例2如圖30-4,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點E,F分別是AB,BC上的點,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求證:(2)四邊形ABCD是菱形.圖30-4(2)∵△AED≌△CFD,∴AD=CD,又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是菱形.類型之三菱形的有關(guān)計算圖30-5圖30-6解:(1)證明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA,∵AC為∠DAB的平分線,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB,∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AD=AB,∴四邊形ABCD是菱形.圖30-6類型之四菱形綜合性問題圖30-7圖30-7即時鞏固一、選擇題1.若菱形周長為20,它的一條對角線長為6,則它的另一條對角線長為

(

)A.2 B.4 C.6 D.8D2.如圖30-8,菱形ABCD的對角線AC,BD的長分別為6cm,8cm,則這個菱形的周長為

(

)A.5cm B.10cmC.14cm D.20cm圖30-8D3.如圖30-9,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,添加下列一個條件,能使平行四邊形ABCD成為菱形的是(

)A.AO=BO B.AC=ADC.AB=BC D.OD=AC圖30-9C二、填空題4.已知一個菱形的周長為24cm,有一個內(nèi)角為60°,則這個菱形較短的一條對角線長為

cm.

5.如圖30-10,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,則菱形的面積是

.

圖30-106246.如圖30-11,已知菱形ABCD的對角線AC,BD的長分別為6cm、8cm,AE⊥BC于點E,則AE的長是

cm.

圖30-11三、解答題7.如圖30-12,在?ABCD中,作對角線BD的垂直平分線EF,垂足為O,分別交AD,BC于E,F,連結(jié)BE,DF.求證:四邊形BFDE是菱形.圖30-12第31課時正方形考點聚焦考點聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時鞏固即時鞏固考點聚焦考點1正方形的定義有一組鄰邊相等,并且

的平行四邊形是正方形.

【疑難典析】本定義從邊和角兩個角度在平行四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)行定義.有一個角是直角考點2正方形的性質(zhì)?正方形的對邊平行,四邊相等.?正方形的四個角都是直角.?正方形的對角線相等,互相

,每條對角線平分一組對角.

?正方形的對稱性:正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,對稱軸有四條,對稱中心是對角線的交點.垂直平分【疑難典析】正方形既是平行四邊形又是矩形還是菱形,因此,它擁有這三類圖形所擁有的一切性質(zhì),它特有的性質(zhì)之一是正方形的對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.考點3正方形的判定可根據(jù)以下兩條來判定:(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;(2)有一個角是直角的菱形是正方形.考點4中點四邊形定義:順次連結(jié)四邊形各邊中點所得的四邊形,我們稱之為中點四邊形.【疑難典析】1.任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.2.對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形.3.對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形.4.對角線相等且互相垂直的四邊形的中點四邊形是正方形.基礎(chǔ)溫故B2.如圖31-1,在正方形ABCD中,E是AC上的一點,且AB=AE,則∠EBC的度數(shù)是

(

)A.45° B.30° C.22.5° D.20°圖31-1C3.根據(jù)下列條件,能判定一個四邊形是正方形的是(

)A.對角線互相垂直且平分B.對角相等C.對角線互相垂直、平分且相等D.對角線相等C4.如圖31-2,正方形ABCD的周長為28cm,則矩形MNGC的周長是

(

)A.24cm B.14cmC.18cm D.7cm圖31-2B5.如圖31-3,直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A,分別過頂點B,D作DE⊥a于點E,BF⊥a于點F,若DE=4,BF=3,則EF的長為

(

)A.1 B.5 C.7 D.12圖31-3C分類精析類型之一正方形的性質(zhì)例1如圖31-4,在正方形ABCD中,E,F分別為CD,DA延長線上的點,CE=AF.(1)求證:△BEC≌△BFA;(2)求∠BEF的度數(shù).圖31-4例1如圖31-4,在正方形ABCD中,E,F分別為CD,DA延長線上的點,CE=AF.(2)求∠BEF的度數(shù).圖31-4(2)∵△BEC≌△BFA,∴BE=BF,∠CBE=∠ABF,∴∠CBE+∠EBA=∠ABF+∠ABE,即∠CBA=∠EBF.∴∠EBF=90°,∴∠BEF=∠BFE=45°.類型之二正方形的判定例2如圖31-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于F,連結(jié)CF.(1)求證:AD=AF;(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.圖31-5例2如圖31-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于F,連結(jié)CF.(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.圖31-5(2)四邊形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∥BC,∴四邊形ADCF是平行四邊形,∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴四邊形ADCF是矩形,∵AD=AF,∴四邊形ADCF是正方形.類型之三正方形綜合性問題例3如圖31-6,已知正方形ABCD的邊長為2,E是BC邊上的動點,BF⊥AE交CD于點F,垂足為G,連結(jié)CG.則CG的最小值為

.

圖31-6例4如圖31-7,正方形ABCD的邊長是2,點E,F分別是AB,BC邊上的動點(不與點A,B,C重合),且BE=BF,EG⊥AB,FG⊥BC,EG與FG相交于點G,當(dāng)△ADG為等腰三角形時,BE的長為

.

圖31-7例5某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連結(jié)CF.(1)觀察猜想如圖31-8①,當(dāng)點D在線段BC上時,①BC與CF的位置關(guān)系為:

;

圖31-8垂直②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:

;(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考如圖31-8②,當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,①,②結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明.圖31-8BC=DC+CF圖31-8例5某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連結(jié)CF.圖31-8(2)數(shù)學(xué)思考如圖31-8②,當(dāng)點D在線段CB的延長線上時,①,②結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明.圖31-8(2)①成立,②BC=DC-CF.證明:∵正方形ADEF,∴AD=AF,∠DAF=90°.∵∠BAC=90°,∴∠DAB=∠FAC.∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC.∴DB=CF,∠DBA=∠FCA.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠DBA=∠FCA=135°,∴∠BCF=90°,∴CF⊥BC.∵BC=DC-DB,DB=CF,∴BC=DC-CF.例5某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連結(jié)CF.圖31-8圖31-8即時鞏固一、選擇題D2.如圖31-9,以正方形ABCD的邊AB為一邊向內(nèi)作等邊△ABE,連結(jié)DE,則∠BED的度數(shù)為

(

)A.120° B.125° C.135° D.150°圖31-9C圖31-10C二、填空題圖31-1125.如圖31-12,在正方形ABCD中,E是CD上的點,若BE=3,CE=1,則正方形ABCD的對角線的長為

.

圖31-124圖31-131三、解答題7.如圖31-14,在正方形ABCD中,E,F分別在邊BC,AB上,AF=BE,AE與DF相交于點O.(1)求證:△DAF≌△ABE;(2)求∠AOD的度數(shù).圖31-147.如圖31-14,在正方形ABCD中,E,F分別在邊BC,AB上,AF=BE,AE與DF相交于點O.(2)求∠AOD的度數(shù).圖31-14(2)∵△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE,∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=90°,∴∠AOD=180°-(∠ADF+∠DAO)=90°.第32課時四邊形綜合考點聚焦考點聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時鞏固即時鞏固考點聚焦考點1四邊形中的計算【疑難典析】四邊形中的計算通常涉及勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)、圖形的變換(平移、對稱、旋轉(zhuǎn))等知識.解題時注意分類討論思想、方程思想的運用.考點2特殊四邊形中性質(zhì)判定的應(yīng)用【疑難典析】特殊四邊形中的計算和證明是常見的題型,熟練掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.基礎(chǔ)溫故1.下列說法正確的是

(

)A.鄰邊相等的平行四邊形是矩形B.一組鄰邊相等的矩形是正方形C.一組鄰邊互相垂直的四邊形是菱形D.一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B2.如圖32-1,以正方形ABCD的邊CD為邊向正方形ABCD外作等邊△CDE,AC與BE交于點F,則∠AFE的度數(shù)是(

)A.135° B.120° C.60° D.45°圖32-1B3.如果點E,F,G,H分別是菱形ABCD四邊AB,BC,CD,DA的中點,那么四邊形EFGH是

(

)A.菱形

B.矩形C.正方形

D.以上都不是B圖32-2A圖32-3C分類精析類型之一四邊形綜合應(yīng)用例1如圖32-4,四邊形ABCD中,AB=5,BC=2,AC⊥AD,∠ACD=∠ADC=∠ABC=45°,求對角線BD的長.圖32-4類型之二平行四邊形綜合應(yīng)用例2如圖32-5,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD上的一點,連結(jié)EB并延長,使BF=BE,連結(jié)EC并延長,使CG=CE,連結(jié)FG.H為FG的中點,連結(jié)DH.(1)求證:四邊形AFHD為平行四邊形;(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度數(shù).圖32-5例2如圖32-5,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD上的一點,連結(jié)EB并延長,使BF=BE,連結(jié)EC并延長,使CG=CE,連結(jié)FG.H為FG的中點,連結(jié)DH.(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度數(shù).圖32-5(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠DAB=∠DCB,∵CE=CB,∴∠BEC=∠EBC=75°,∴∠BCE=180°-75°-75°=30°,∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°,∴∠DAB=40°.類型之三矩