2023年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)選擇性必修一：圓與圓的位置關(guān)系

2023年高二上數(shù)學(xué)選擇性必修一：圓與圓的位置關(guān)

系

一、基礎(chǔ)鞏固

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1.圓G：(x+2)2+(y-2)2=l與圓C2：(x-2)+(y-5)=16的位置關(guān)系是()

A.外離B.相交

C.內(nèi)切D.外切

解析圓G的圓心是G(-2,2),半徑力=1,圓。2的圓心是。2(2,5),半徑避=4,則圓心距

|。心|=5.因?yàn)閨。心|三n+n,所以兩圓外切.

答案:|D

2222

2.圓G:(x+l)+(y+2)=4與圓C2:(x+2)+(y+3)=l的位置關(guān)系是()

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

解析：|圓心距d=J(-2+1尸+(-3+2產(chǎn)=五,兩圓半徑的和為2+1=3,兩圓半徑之差的

絕對(duì)值為1,

所以兩圓的位置關(guān)系是相交.

ggc

3.圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓x2+y2-4x+10y+13=0的公切線的條數(shù)是()

A.lB.2C.3D.4

|解析：|兩圓的圓心分別為C(-2,2),C2(2,-5),則兩圓的圓心距d=7(-2-2)2+(2+5)2=

V65,又半徑分別為n=l/2=4,則d＞小+廠2,即兩圓外離，因此它們有4條公切線.

答案:|D

4.圓》2+產(chǎn)=4與圓X2+/2+27_6=0的公共弦長(zhǎng)為()

A.lB.2C.V3D.2V3

I解稠兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為y=1,圓+產(chǎn)=4的半徑R=2,圓心(0,0)

到直線尸1的距離41,則公共弦長(zhǎng)l=2yjR2-d2=2VI故選D.

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5.已知圓Oi的方程為/+產(chǎn)=4,圓。2的方程為⑴4+產(chǎn)勺,如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)

公共點(diǎn)，那么。的所有取值構(gòu)成的集合是()

B.{3,-3}

C.{l,-l,3,-3}D.{5,-5,3,-3}

|解析：|因?yàn)閮蓚€(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩個(gè)圓內(nèi)切或外切.當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，⑷=1;當(dāng)

兩圓外切時(shí)，同=3,即實(shí)數(shù)a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故選C.

ggc

6.已知以。(4,-3)為圓心的圓與圓O:x2+y2=l相切，則圓。的方程為()

A.(x-4)2+(y+3)2=16

B.(x+4)2+(y-3)2=36

C.(x-4)2+(y+3)2=16或(X-4)2+(>+3)2=36

D.(x+4)2+(y-3)2=16或0+4)2+3-3)2=36

|解析：|設(shè)所求圓的方程為(+4)2+什+3)2=/&>0).

因?yàn)閳AC與圓。相切，所以卜”-11=5或r+1=5,

解得r=6或r=4(負(fù)值舍去).

故所求圓的方程為(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.

答案:|c

7.圓。|：/+產(chǎn)12丫-2廣13=0和圓。2支2+/+12》+16/25=0的公共弦所在的直線方程

是___________

假正兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x+3y-2=0.

|答案：|4x+3y-2=0

8.若圓C「(x-3)2+(y-4)2=16與圓。2洸2+/=〃?(加>0)內(nèi)切，則實(shí)數(shù)加=.

解析：|圓心距d=J(0-3)2+(0-4)2=5,由題意得兩圓半徑差的絕對(duì)值|4一標(biāo)|=5,解得

m=81.

答案：|81

9.已知兩圓相交于兩點(diǎn)(1,3)和(加,1),且兩圓的圓心都在直線x-y+1=0上，則?n+

c的值是.

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解州因?yàn)閮蓤A的公共弦與兩圓的圓心所在直線垂直,且直線x-y+]=0的斜率為1,所以

公共弦所在直線的斜率為-1,可得其點(diǎn)斜式方程為產(chǎn)3=-(*1),即x+y-4=0.因?yàn)辄c(diǎn)(加,1)在

公共弦所在的直線上，代入可得m=3,因?yàn)閮蓤A公共弦的中點(diǎn)在兩圓的連心線上，即點(diǎn)(2,2)

在直線x少+1=0上，所以c=0,所以m+c=3.

答案：|3

10.求與圓0:/+產(chǎn)1外切,切點(diǎn)為P(當(dāng)與，半徑為2的圓的方程.

函設(shè)所求圓的圓心為C(a力)，則所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=4.

因?yàn)閮蓤A外切，切點(diǎn)為P(-上日)，

所以\OC\=r\+n=1+2=3,|CP|=2.

a2+/=9,

所以/、

l(a+iJ2+G/+5)=4,

(3

Q=3

解得〃3V3

lh=-—?

所以圓心c的坐標(biāo)為乎)，

所求圓的方程為(％+1)2+(y+子y=4.

二、能力提升

1.已知圓f+小2X+E=0mx2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直線方程是x-y+l=0,則

()

A.E=-4尸=8

B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8

D.E=4,F=8

解標(biāo)由題意聯(lián)立兩圓方程卜:+/-2x+F=0,4x+Ey-4-F=0,

------[%2+y2+2x+Ey-4=0,“

則：=-1,.=1,解得￡=-4尸=-8,故選C.

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答案:|c

2.若圓C|：（x-l）2+y2=l與圓。2憂2+產(chǎn)-8丫+8歹+加=0相切，則機(jī)等于（）

A.16B.7

C.-4或16D.7或16

I解析：|圓C：（x-l）2+y2=l的圓心坐標(biāo)為（1,0）,半徑為1.將圓C2：x2+y2-8x+8y+加=0化為（X-

4）2+什+4）2=32-加（32加＞0）,它表示以（4,-4）為圓心,反布為半徑的圓.當(dāng)兩個(gè)圓內(nèi)切時(shí)，兩

圓的圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值，即5=|V32-m-1|,解得加=-4.當(dāng)兩個(gè)圓外切時(shí)，兩圓

的圓心距等于半徑之和，可得5=y/32-m+1,解得加=16.綜上的值為-4或16.

Ige

3.若圓/+產(chǎn)=4與圓》2+產(chǎn)+即一2=0的公共弦的長(zhǎng)度為2聒,則常數(shù)a的值為（）

A.±2B.2C.-2D.±4

|解棉兩圓方程左右兩邊分別相減得公共弦所在直線的方程為ay+2=0.

由題意知a#0.

圓x2+y2=4的圓心到直線ay+2=0的距離為百，

又公共弦長(zhǎng)為2班,所以2百=2解得a=±2.

ggA

4.已知圓C:（x-3）2+（y-4）2=l和兩點(diǎn)/（-加,0）,8（加,0）（心0）.若圓。上存在點(diǎn)P,使得/

/06=90°,則加的最大值為（）

A.7B.6C.5D.4

假利因?yàn)?（-加,0）,8（加,0）（加＞0）,所以使乙4。8=90°的點(diǎn)P在以線段N8為直徑的圓上，

該圓的圓心為。。0）,半徑為m.

而圓。的圓心為C（3,4）,半徑為1.

由題意知點(diǎn)P在圓。上，故兩圓有公共點(diǎn).

所以兩圓的位置關(guān)系為外切、相交或內(nèi)切，

故加WM+1,

即W5W〃z+l,解得4WmW6.

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所以m的最大值為6.故選B.

IgB

5.若點(diǎn)/(a,b)在圓x2+y2=4上，則圓(x-a)2+j?=l與圓x2+(y-6)2=l的位置關(guān)系是.

解析:因?yàn)辄c(diǎn)Z(a力)在圓/+爐=4上，

所以a2+b2=4.

又圓x2+(y-b)2=l的圓心G(O,b),半徑刃=1,

圓(x-a)2+y2=i的圓心。2伍,0),半徑心=1,

則<7=|CIC2|=y/a2+b2=V4=2,

所以d=r\+r2.所以兩圓外切.

客靠外切

6.求和圓(x-2)2+(y+l)2=4相切于點(diǎn)(4,-1)且半徑為1的圓的方程.

回設(shè)所求圓的圓心為(a力)，則

V(a-4)2+(b+l)2=1.①

若兩圓外切，則有J(a-2)2+(匕+=1+2=3,②

由G)②，解得a=5,b=-\,

所以所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1.

若兩圓內(nèi)切，則有J(a-2)2+(b+1尸=2-1=1.③

由①③，解得a=3,b=-l,

所以所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=1.

綜上，可知所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.

7.一動(dòng)圓與圓。1洸2+產(chǎn)+6工+8=0外切，與圓C2：X2+^2-6X+8=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方

程.

阿圓G:(x+3)2+f=i,所以圓心為(一3,0),半徑尸1=1;圓C2：(x-3)2+y2=i,所以圓心為(3,0),半

徑n=\.

設(shè)動(dòng)圓圓心為(居冷半徑為r,由題意得

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d(x+3)2+y2==+1,J(%-3)2+y2=「一],

所以J(x+3尸+y2-J(%-3)2+y2=2,

化簡(jiǎn)并整理，得8/-產(chǎn)=8(x21).

所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是8x2-y2=8(x21).

★8.圓O1的方程為x2+(y+l)2=4,圓。2的圓心。2(2,1).

⑴若圓。2與圓。外切，求