3.2的抽樣分布定理證明

3.2的抽樣分布定理證明PAGEPAGE6幾種統(tǒng)計量的抽樣分布(1)樣本平均數(shù)的抽樣分布(P.116)①設(shè)(x1,x2,…,xn)是總體xN(,2)的隨機樣本，=，則E()====Var()=Var()===圖8.1正態(tài)分布2=1，2=0.5因xiN(,2)，i=1,2,…,n,=++…+，根據(jù)正態(tài)分布的線性性質(zhì)，得N(,),U=N(0,1)n∞，，樣本容量越大，離越近。②當x不服從正態(tài)分布時，在n30條件下，依據(jù)中心極限定理可認為，近似服從正態(tài)分布N(,。Z=N(0,1)上面給出的E()=，Var()=是以x為無限總體為條件的。（1）當x為有限總體，但0.05時，仍把x當作無限總體看待。（2）當0.05時，E()=Var()=其中稱作有限總體修正因子。n=100n=10n=3n=100n=10n=3圖1發(fā)票面額的分組頻數(shù)表(=20，=30)圖2n=3,n=10,n=100的抽樣分布（=30.3）（文件名：stat06）例1：8042張發(fā)票面額的分組頻數(shù)表顯示該總體是非正態(tài)、右偏倚的，如圖1，=20，=30。以樣本容量為n=3，n=10，n=100各抽取600次，得到關(guān)于的三個頻數(shù)分布圖如上。(2)統(tǒng)計量W=的抽樣分布①若U1，U2，…Un是相互獨立且同服從N(0,1)分布隨機變量，則U12+U22+…+Un2=2（n）當n=1時，U12服從1個自由度的2分布。2分布統(tǒng)計量具有可加性。②設(shè)(x1，x2，…xn)是取自正態(tài)總體x(,2)的樣本。則2（n）證：因xiN(,2)，所以N(0,1)，則=2（n）□③設(shè)(x1，x2，…xn)是取自正態(tài)總體x(,2)的樣本。則W==2（n-1）證：因為=+=2++2=2+n2所以=+=+移項整理=-因為2（n），2（1），且與相互獨立，所以由2分布的可加性，=2（n-1）□(3)統(tǒng)計量t=的抽樣分布①若xN(0,1)，y2(n)且相互獨立，則稱t（n）②設(shè)(x1，x2，…xn)是取自正態(tài)總體x(,2)的樣本。試證t（n）證：因為N(0,1)，2(n)，所以=t（n）□③設(shè)(x1，x2，…xn)是取自正態(tài)總體x(,2)的樣本。則t=t（n-1）證：因x(,2)，所以N(),N(0,1)。又因2（n-1），且與相互獨立，所以=t（n-1）□④設(shè)(x1，x2，…xn)和（y1，y2，…yn）是分別取自總體xN(1,2)，yN(2,2)的樣本且相互獨立，則t（n1+n2–2）其中S1，S2分別是這兩個樣本的樣本方差。證：把(-)看作一個隨機變量，則E(-)=E()-E()=1-2Var(-)=Var()+Var()=+所以-N(1-2，+)，U=N(0,1)由給定條件知2（n1-1），2（n2-1）且相互獨立，由2分布的可加性，有V=+2（n1+n2–2）按t分布定義，==t（n1+n2–2）□(4)統(tǒng)計量F的抽樣分布①若x2（n1），y2（n2）,且x與y相互獨立，則F=②設(shè)(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)分別是取自N(1,12),N(2,22)總體的獨立樣本。F(n1,n2)證：由上知2（n1）,2（n2），所以=□③設(shè)(x1，x2，…xn)和(y1，y2，…yn)分別取自兩個相互獨立的正態(tài)總體N(1,12)，N(2,22)的樣本，則F=其中S21，S22分別是兩個樣本的樣本方差。證：2（n1-1），2（n2-1）則==F□證明：(f1,f2)=證：P{(f1,f2)F/2(f1,f2)}=1-P{(f1,f2)}=,P{}=因F(f2,f1),=F/2(f2,f1)所以F1-/2(f1,f2)=□(5)樣本比率的抽樣分布設(shè)容量為N的總體中，具有某種性質(zhì)的元素數(shù)為X個，則關(guān)于具有這種性質(zhì)的元素數(shù)的總體比率是p=若從該總體中抽取容量為n的樣本，具有該種性質(zhì)的元素數(shù)為x，則關(guān)于該種元素的樣本比率是=若采用重復(fù)抽樣方式，設(shè)x=x1+x2+…+xn為n個Bernouli變量之和，則xB(n,p)，x=0,1,2,…,n，（服從二項分布）。x的概率分布是p(x)=Cnxpx(1-p)n–x,x=0,1,2,…,n因為和x只差一個常數(shù)，所以也服從二項分布。=B(n,p),(=0,,,…,1)p()=,=0,,,…,1已知：E(x)=np