高中數(shù)學(xué)-2.2.2 反證法教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

課題：2.2.2《反證法》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.知識與技能：理解反證法的概念，掌握反證法的證明步驟.2.過程與方法：通過反證法的學(xué)習(xí)，體會直接證明與間接證明之間的辯證關(guān)系.3.情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索的學(xué)習(xí)態(tài)度，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.【重點(diǎn)】：會用反證法證明問題，了解反證法的思考過程?！倦y點(diǎn)】：反證過程中的反設(shè)，以及如何推出矛盾?！窘叹摺浚憾嗝襟w輔助教學(xué)，水溶性粉筆教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新直接證明的兩種方法這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)檢查學(xué)生掌握的情況，鞏固知識二、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課看視頻聽故事：中國古代有一個叫《路邊苦李》的故事：王戎7歲時，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去摘果子，只有王戎站在原地不動。有人問王戎為什么？王戎回答說：“樹在道邊而多子，此必苦李?！毙』锇檎∫粋€嘗了一下，果然是苦李。小伙伴問王戎是怎樣知道李子是苦的？王戎回答：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了。而樹上卻掛滿了李子，所以李子一定是苦的?！睆男」适氯胧郑粌H能激發(fā)學(xué)生的興趣，也能更好的體現(xiàn)反證法的推理思想三、探索新知，得出概念問1：你能根據(jù)王戎的推理形式，證明下面的命題嗎？引例設(shè)p為正整數(shù)，如果是偶數(shù)，則p也是偶數(shù)。證明：假設(shè)p不是偶數(shù)，又因?yàn)閜為正整數(shù)，所以p是奇數(shù)。設(shè)則所以p是奇數(shù)，這與是偶數(shù)矛盾。所以假設(shè)不成立。所以原命題成立問2：同學(xué)們能根據(jù)上面的推理概括出反證法的定義及步驟嗎？反證法的定義：一般地，由證明轉(zhuǎn)向證明，t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出q為真的方法。反證法的證明步驟：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理證明，得出矛盾。③存真：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。利用小故事的推理方法引導(dǎo)學(xué)生努力證明引例。（可采用同學(xué)互助的方式，共同努力證明。促進(jìn)學(xué)生之間的團(tuán)結(jié)與互助）再以引例為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生概括出反證法的定義、步驟，(教師適時地給予引導(dǎo)和補(bǔ)充說明）四、例題講解，應(yīng)用知識例1、證明不是有理數(shù)。證明：假設(shè)是有理數(shù)，則存在互質(zhì)的整數(shù)m,n使得所以，從而m是偶數(shù)。設(shè)所以即所以是偶數(shù)，故n是偶數(shù).這與m,n互質(zhì)矛盾。所以假設(shè)不成立，問3：同學(xué)們能根據(jù)上面證明思考反證法的矛盾主要是指于什么矛盾嗎？①與假設(shè)矛盾；與已知條件矛盾②與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明的結(jié)論矛盾③與公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾跟蹤練習(xí)1求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60o.證明假設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C都小于60o，即∠A<60o、∠B<60o、∠C<60o,相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，因此假設(shè)不成立，所以一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60o.問4：你能寫出下面這些常見的判定詞的否定形式嗎？原詞語否定詞原詞語否定詞等于任意的是至少一個都是至多一個大于至少n個小于至多有n個對所有x成立對任何x不成立例2、平面上有四個點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形.跟蹤練習(xí)證明不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。問6：證明本題時如何反設(shè)？證明：假設(shè)是某一等差數(shù)列的三項(xiàng).設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d,則，其中m,n為某兩個正整數(shù).由上面兩式消去d,得。因?yàn)槭怯欣頂?shù)，而為無理數(shù)，所以，因此假設(shè)不成立，所以原命題成立。小結(jié)：反證法一般常用于有下述特點(diǎn)的命題證明：①直接證明困難的命題②結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題③唯一性、存在性命題④結(jié)論以“至多、至少、無窮多個”等形式出現(xiàn)的命題⑤結(jié)論的反面比原命題更具體、更容易的命題與引例相似的命題證明，讓學(xué)生鞏固反證法的定義和步驟。（由學(xué)生完成，同學(xué)之間進(jìn)行修正和補(bǔ)充）突出歸謬矛盾的不同種類體現(xiàn)對命題做出正確反設(shè)的重要性，引導(dǎo)學(xué)生思考如何做反設(shè)。為證明中的反設(shè)步驟鋪墊，突破第一個難點(diǎn).采用小組合作的形式解決例2。通過小組討論、合作完成題目的證明，并在證明中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合和分類討論思想。培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，對等差數(shù)列的三項(xiàng)，與等差數(shù)列的區(qū)別。突出反證法常用的不同種類五、課堂訓(xùn)練1.(2014·高考)用反證法證明命題:“已知a,b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個實(shí)根”時,要做的假設(shè)是()A.方程x2+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x2+ax+b=0至多有一個實(shí)根C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實(shí)根D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實(shí)根2.試證明不可能成等差數(shù)列.使用高考題作為課堂訓(xùn)練內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生的自信心和成就感，并進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容六、回顧知識，歸納小結(jié)1反證法的定義2反證法的三個步驟：反設(shè)—?dú)w謬—結(jié)論3哪些命題適宜用反證法？4學(xué)習(xí)使用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？從知識角度、思維方法角度歸納總結(jié)這節(jié)課的收獲七、作業(yè)：課后鞏固案八、板書設(shè)計(jì)2.2.2反證法引例證明反證法定義例2證明反證法證明步驟2.2.2反證法學(xué)情分析該節(jié)內(nèi)容是在前面講述直接證明的兩種分析法：分析法和綜合法的基礎(chǔ)上講述的。其實(shí)學(xué)生從初中開始已初步接觸過反證法，反證法的邏輯規(guī)則并不復(fù)雜，單用反證法證明數(shù)學(xué)問題卻讓學(xué)生感到困難。究其原因，主要是需要逆向思維，而在初中和小學(xué)階段，逆向思維訓(xùn)練和發(fā)展都是不充分的；其次反證法中的反設(shè)部分涉及命題的否定的知識；再者每個學(xué)生對于問題的理解、邏輯思維能力以及學(xué)習(xí)和接受能力也是有所差異的。中學(xué)階段，是一個人形成價值觀的重要階段。一些信息在學(xué)生頭腦中留下各種是或非的印象，如何取其精華，去其糟粕？學(xué)生可以利用反證法。在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生如果能正確的分析問題，不是被動的接受書本或是教師的灌輸，對其今后的學(xué)習(xí)、工作，無疑將有很大的幫助。在教學(xué)過程中，我們重視的不是學(xué)生如何解決矛盾，而是非常高興地看到學(xué)生利用反證法對客觀世界的認(rèn)識提出了自己的問題，這正是反證法教學(xué)所要教給學(xué)生的。這些正是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)會的能力.2.2.2反證法效果分析該節(jié)課主要是創(chuàng)設(shè)情境利用故事引出新課內(nèi)容的，在一定程度上提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)該節(jié)課的興趣，俗話說“興趣是最好的老師”，這節(jié)課有了一個很好的開端。接下來在良好的開端的前提下展開該節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生掌握起來就會更容易。我在講述該節(jié)課的時候，注意引導(dǎo)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生理解和記憶反證法的證明過程和步驟。從而突破該節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)過程中，特別注意講練結(jié)合，通過小組合作學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。引導(dǎo)學(xué)生一步步的達(dá)成教育教學(xué)目標(biāo)。而這些目標(biāo)的達(dá)成要求教學(xué)必須發(fā)揮學(xué)生的主體作用，給予學(xué)生足夠的活動、探究、交流、反思的時間與空間，不以老師的講演代替學(xué)生的探索。該節(jié)課總體達(dá)成效果不錯，學(xué)生能夠理解反證法的定義，能夠記憶反證法的步驟，從而運(yùn)用反證法解決問題，能夠了解反證法是間接證明的一種基本方法。理解反證法的證明思路，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題。完成了《全日制普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版2003年4月）》對于反證法的要求。總的來講是一節(jié)符合《全日制普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版2003年4月）》要求的新授課?！?.2.2反證法教學(xué)反思反證法作為一種間接證明的解題思想和方法去分析問題、解決問題有獨(dú)到之處，在高考中很少單獨(dú)出題，但利用反證法的解題思想去分析解決問題有時事半功倍，特別適合對否定行、唯一性的問題的解決，在近幾年的高考中有時候用反證法證明某一問，故反證法的學(xué)習(xí)非常重要，在反思本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中得出以下幾點(diǎn)體會：(1)教學(xué)通過生動的實(shí)例故事展開，這一方面可以使學(xué)生體會反證法思想與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，另一方面，活生生的例子也會增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)反證法的興趣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，使他們感受到反證法思想離自己很近，反證法很有用。

(2)在寬松愉快的環(huán)境中學(xué)生完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。學(xué)生的主體地位得到了體現(xiàn)，主動性得到了充分發(fā)揮，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情空前高漲，就連平時不愛說話的學(xué)生也敢于站起來回答問題了。所有的學(xué)生都動起來了，每個人都學(xué)有所得。探究教學(xué)對大面積提高教學(xué)質(zhì)量的巨大作用，更加堅(jiān)信學(xué)生的潛力無窮，要給予學(xué)生充分的信任，相信他們解決問題的能力。(3)在組織討論時應(yīng)給足夠的時間給學(xué)生，不僅僅是為了討論而討論，學(xué)生應(yīng)在討論中體會問題的實(shí)質(zhì)，并最終形成自己的認(rèn)識，哪怕是很膚淺的認(rèn)識。(4)抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。反證法的重點(diǎn)是能寫出結(jié)論的反面，同時也是難點(diǎn)。注意反證法的基本步驟：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理證明，得出矛盾。③存真：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。反證法不僅能提高學(xué)生的演繹推理能力，而且在后繼的學(xué)習(xí)中有著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但本人認(rèn)為不應(yīng)輕視，應(yīng)讓學(xué)生掌握其精髓，合理的去運(yùn)用。除了講課的例子，在總結(jié)過程中發(fā)現(xiàn)以下兩個例子，總結(jié)自此處，以備以后教學(xué)時，運(yùn)用：附：

故事一南方某風(fēng)水先生到北方看風(fēng)水，恰逢天降大雪。乃作一歪詩：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨；早知雪要變成雨，何不當(dāng)初就下雨?！彼耐嵩娪智”灰荒镣牭剑嘧饕淮蛴驮娭S刺風(fēng)水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎；早知飯要變成屎，何不當(dāng)初就吃屎?！睂?shí)際上，小牧童正是巧妙運(yùn)用了反證法，駁斥了風(fēng)水先生否定事物普遍運(yùn)動的規(guī)律，只強(qiáng)調(diào)結(jié)果，不要變化過程的形而上學(xué)的錯誤觀點(diǎn)：假設(shè)風(fēng)水先生說的是真理，只強(qiáng)調(diào)變化最后的結(jié)果，不要變化過程也可，那么，根據(jù)他的邏輯，即可得出先生當(dāng)初就應(yīng)吃屎的茺唐結(jié)論。風(fēng)水先生當(dāng)然不會承認(rèn)這個事實(shí)了。那么，顯然，他說的就是謬論了。這就是反證法的威力，一個原本非常復(fù)雜難證的哲學(xué)問題被牧童運(yùn)用了“以其人之道，還其人之身”的反證法迎刃而解了。如果說這則故事還尚不能讓我們明白反證法的思路的話，不妨再看看故事二。故事二相傳在古代有一個賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過去對國有功，采用了一個由命運(yùn)來最后裁定的辦法，用兩張紙片，一張上寫活字，一張上寫死字，處決前由它來抽，抽到活字可赦免，而奸臣陰險歹毒，命人用兩張紙片上都寫上死字，湊巧這個詭計(jì)被賢臣的朋友知道了，悲痛地告訴了他，并表示要和他一起揭露奸臣的陰謀，這個賢臣想了想，高興地說：“我有救了！”他叫這個朋友不要聲張，處決前抽紙片時，只見他抽出一張紙片誰也不讓看就吞了下去，監(jiān)斬官只好看剩下的紙片是什么字了。剩下的字無疑是個“死”字，于是這個賢臣就被赦免了。賢臣為什么能死里逃生？賢臣運(yùn)用了反證法?！八馈弊值姆疵媸恰吧弊?。§2.2.2反證法教材分析該節(jié)課是人教版B版選修1—2中，第二章推理與證明第二節(jié)直接證明與間接證明的第二個問題反證法的內(nèi)容。該節(jié)內(nèi)容是在前面講述直接證明的兩種方法(分析法和綜合法)的基礎(chǔ)上進(jìn)行授課的。反證法又稱歸謬法,用它來證明命題的基本過程分以下三個步驟：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理證明，得出矛盾。③存真：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確?，F(xiàn)將本節(jié)內(nèi)容總結(jié)如下：三維目標(biāo)1．知識與技能(1)了解間接證明的一種方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)(2)了解用反證法證明數(shù)學(xué)問題的一般步驟。2．過程與方法通過數(shù)學(xué)實(shí)例，體會直接證明與間接證明的區(qū)別與練習(xí)3．情感態(tài)度與價值觀進(jìn)一步體會證明的特點(diǎn)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用。二、教學(xué)重點(diǎn)會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程。三、教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)問題特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。四、教學(xué)建議使用反證法證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這一矛盾可以是與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與數(shù)學(xué)定義、公理、定理、事實(shí)、或與已被證明的結(jié)論等矛盾。教學(xué)時可以結(jié)合例題講解引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識這一證明的關(guān)鍵步驟。適合運(yùn)用反證法證明的數(shù)學(xué)問題主要有“存在性、唯一性、帶有‘至少有一個’或‘至多有一個’等字樣”的數(shù)學(xué)問題，這一點(diǎn)要讓學(xué)生充分體會。推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。反證法是繼前面學(xué)習(xí)完推理知識后的證明方法中的一種間接證明的基本方法，他彌補(bǔ)了直接證明的不足，完善了證明方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。反證的批判思想有助于學(xué)生正確的認(rèn)識客觀世界。中學(xué)階段是一個人形成價值觀的重要階段。這些信息在學(xué)生頭腦中留下各種是或非的印象，如何取其精華，去其糟粕？學(xué)生可以利用反證法。在學(xué)習(xí)生活中，學(xué)生如果能正確的分析問題，不是被動的接受書本或是教師的灌輸，對其今后的學(xué)習(xí)、工作，無疑將有很大的幫助。在教學(xué)過程中，我們關(guān)注的不是學(xué)生如何解決矛盾，而是非常高興地看到學(xué)生利用反證法的思想對客觀世界的認(rèn)識提出了自己的問題，這正是反證法教學(xué)所要教給學(xué)生的，同樣也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)和擁有的能力.§2.2.2反證法評測練習(xí)用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個不大于”時，反設(shè)正確的是（

）.

A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于

B．假設(shè)三內(nèi)角都大于

C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于

D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于

2.“已知:△ABC中,AB=AC.求證:∠B<90°”.下面寫出了用反證法證明這個命題過程中的四個推理步驟.(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾.(2)所以∠B<90°.(3)假設(shè)∠B≥90°.(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.

這四個步驟正確的順序應(yīng)是()

A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)3.實(shí)數(shù)不全為0等價于為（

）.

A．均不為0B．中至多有一個為0

C．中至少有一個為0D．中至少有一個不為04.寫出用反證法證明下列命題時的反設(shè)：(1）“△ABC中，若∠A>∠B,則a>b”,反設(shè)為_____________________。(2)“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”，反設(shè)為________________。(3)“已知正整數(shù)a、b、