2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 重難專攻（三）函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 課件（37張PPT）

重難專攻（三）函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角式及絕對(duì)值式等結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（或方程根的個(gè)數(shù)）問(wèn)題的一般思路：（1）可轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖象與x軸（或直線y＝k）在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；（2）證明有幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，確定函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的極值（最值）、端點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出函數(shù)的大致圖象，再利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f（a）·f（b）＜0.數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)【例1】已知函數(shù)f（x）＝xex＋ex，討論函數(shù)g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f'（x）＝（x＋2）ex，所以當(dāng)x∈（－∞，－2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（－∞，－2）上為減函數(shù)，當(dāng)x∈（－2，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（－2，＋∞）上為增函數(shù)，

令f（x）＝0，得x＝－1，當(dāng)x＜－1時(shí)，f（x）＜0；

當(dāng)x→＋∞時(shí)，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞，【卡殼點(diǎn)】極限思想的應(yīng)用根據(jù)以上信息，畫出f（x）大致圖象如圖所示.【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視圖象過(guò)點(diǎn)（0，1）函數(shù)g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y＝f（x）的圖象與直線y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù).∴關(guān)于函數(shù)g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：

｜解題技法｜

含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)后，用自變量x表示不含參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)范圍.?

若函數(shù)f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

函數(shù)性質(zhì)法研究函數(shù)的零點(diǎn)

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

｜解題技法｜

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類問(wèn)題在求解過(guò)程中可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件.?

2.已知函數(shù)h（x）＝x2＋4－4（xsinx＋cosx），試證明h（x）在R上有且僅有三個(gè)零點(diǎn).證明：h（x）＝x2＋4－4xsin

x－4cos

x，∵h(yuǎn)（－x）＝x2＋4－4xsin

x－4cos

x＝h（x），∴h（x）為偶函數(shù).又∵h(yuǎn)（0）＝0，∴x＝0為函數(shù)h（x）的零點(diǎn).下面討論h（x）在（0，＋∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).h（x）＝x2＋4－4xsin

x－4cos

x＝x（x－4sin

x）＋4（1－cos

x）.當(dāng)x∈[4，＋∞）時(shí)，x－4sin

x＞0，4（1－cos

x）≥0，∴h（x）＞0，∴h（x）無(wú)零點(diǎn)；

構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)

｜解題技法｜

涉及函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問(wèn)題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍.?1.已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx，若方程f（x）＝g（x）在區(qū)間[1，e]上有兩個(gè)不相等的解，求a的取值范圍.

?

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若曲線y＝f（x）與直線y＝2x＋m有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2.已知函數(shù)f（x）＝ex－lnx＋2sinα.證明：函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn).

3.已知函數(shù)f（x）＝ex－ax.（1）若a＝e，求函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；解：（1）當(dāng)a＝e時(shí)，f（x）＝ex－ex，f'（x）＝ex－e，令f'（x）＝0，得x＝1.當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，則f（x）在x＝1時(shí)取得極小值f（1）＝0，也是最小值.又x→－∞時(shí)，f（x）→＋∞；x→＋∞時(shí)，f（x）→＋∞.所以a＝e時(shí)函數(shù)y＝f（x）有且僅有1個(gè)零點(diǎn).（2）若a≤1，對(duì)于任意x≥0，求證：f（x）≥2－cosx.解：（2）證明：令g（x）＝f（x）＋cos

x－2，即g（x）＝ex－ax＋cos

x－2，則g'（x）＝ex－sin

x－a，g'（0）＝1－a，g（0）＝0.當(dāng)a≤1時(shí)，g'（0）≥0，令h（x）＝g'（x）＝ex－sin

x－a，則h'（x）＝ex－cos

x，由x≥0，得h'（x）＝ex－cos

x≥1－cos

x≥0，故h（x）＝g'（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，則g'（x）≥g'（0）＝1－a≥0，所以g（x）在x≥0時(shí)單調(diào)遞增，故g（x）≥g（0）＝0，所以f（x）≥2－cos

x成立.

（1）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）討論函數(shù)g（x）＝f'（x）－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

畫出函數(shù)h（x）的草圖，如圖所示，易得h（x）≤h（1）＝1，并且圖象無(wú)限靠近于原點(diǎn)，且當(dāng)x→＋∞時(shí)，h（x）→－∞，故當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a＝1或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn).5.已知函數(shù)f（x）＝xex－ax－alnx＋a，若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

t（0，e2）e2（e2，＋∞）g'（t）＋0－g（t）單調(diào)遞增單調(diào)遞減

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f'（x）＜0，得a＜x＜1，令f'（x）＞0，得0＜x＜a或x＞1，∴f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增.當(dāng)a＝1時(shí)，f'（x）≥0，