幾何與代數(shù)第五章

幾何與代數(shù)第五章第一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日如何求特征值？稱為方陣A的特征多項(xiàng)式,f(λ)=0稱為方陣A的特征方程。特征方程的根就是方陣Ａ的特征值第三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日特征子空間第四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日計(jì)算n階矩陣A的特征值與特征向量的步驟：注：

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，特征值必存在，且恰好有n個（按重?cái)?shù)累計(jì)）；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，則不一定存在特征值。第五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日例2：例1：第六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日例3：設(shè)試求A的特征值和特征向量。第七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日二、特征值與特征向量的性質(zhì)定理5.1：理解：可將行列式拆成行列式之和來看！推論：n階方陣A可逆的充要條件是A的n個特征值全不為零。第八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定理5.2：第九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日推論：定理5.3設(shè)λ0是方陣A的特征值,方程組(λ0E－A)X=0的基礎(chǔ)解系的全體非零線性組合是Ａ對應(yīng)于特征值λ0的全部特征向量。第十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定理5.4：定理5.5：注：本定理的含義是—A所有不同的特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量合起來還是線性無關(guān)的。第十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第二節(jié)相似矩陣一、相似矩陣的定義及性質(zhì)定義5.2：

A，B是兩n階方陣，如果存在可逆陣P，使得P-1AP=B，則稱方陣A與B相似，記作A~B。對A進(jìn)行運(yùn)算P-1AP稱為對A進(jìn)行相似變換，可逆陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。性質(zhì)1：

自反性對稱性傳遞性第十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日性質(zhì)2:第十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日二、矩陣可對角化的條件當(dāng)矩陣可與對角矩陣相似時稱該矩陣可對角化。定理5.6：n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。推論：若n階矩陣A有n個互不相同的特征值，則A與對角陣相似。哪些矩陣可相似于對角陣？？？第十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定義2：若矩陣A的n個特征值是重根，則稱是特征值的代數(shù)重?cái)?shù)，對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)成為特征值的幾何重?cái)?shù)。定理5.7：第十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日如何判斷和求解對角陣？例5：注：第十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日例6：第十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日例7已知3階矩陣A的三個特征值為本1,1,2,對應(yīng)的特征向量為(1,2,1)T,(1,1,0)T,(2,0,-1)T,求矩陣A第十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第三節(jié)實(shí)對稱矩陣的對角化一、實(shí)對稱矩陣的基本定理定理5.8：實(shí)對稱矩陣的特征值全都是實(shí)數(shù)。定理5.9第二十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定理5.10推論：第二十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日二、用正交矩陣化實(shí)對稱矩陣為對角陣步驟：第二十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日例：給定實(shí)對稱矩陣第二十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第四節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型的基本概念第二十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第二十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第二十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第二十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日二、矩陣的合同第二十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第五節(jié)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法一、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理5.12(主軸定理)對于任一二次型f(X)=AX,總存在正交變換X=QY(Q為正交矩陣),使f化為標(biāo)準(zhǔn)形:其中是f的矩陣A的n個特征值第三十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日二、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第三十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日三、慣性定理和二次型的規(guī)范形第三十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第三十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第五節(jié)正定二次型與正定矩陣定義：第三十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日性質(zhì)與判別：第三十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第三十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日第三十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日復(fù)習(xí)題一、選擇題1.如果向量β可由向量組線性表示,則下列結(jié)論正確的是:(A)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…ks使得:(B)存在一組全為零的數(shù)使上式成立;(C)存在一組數(shù)k1,k2,…ks使上述等式成立;(D)對β上述線性表達(dá)式唯一第三十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日2.設(shè)某向量組的秩等于r,則()(A)該向量組所含向量個數(shù)必大于r;(B)該向量組中任何r個向量必線性無關(guān),任何r+1個向量必線性相關(guān);(C)該向量組中有r個向量線性無關(guān),任何r+1個向量必線性相關(guān);(D)該向量組中有r個向量線性無關(guān),有r+1個向量線性相關(guān)第三十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日3.設(shè)非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣是4×5矩陣,且A的行向量組線性無關(guān),則有()(A)A的列向量組線性無關(guān);(B)增廣矩陣的行向量組線性無關(guān);(C)增廣矩陣的任意4個列向量線性無關(guān);(D)增廣矩陣的列向量組線性無關(guān)第四十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日4.設(shè)有向量組則有()(A)若M組線性相關(guān),則N組線性相關(guān);(B)若M線線性無關(guān),則N組線性無關(guān);(C)若N組線性無關(guān),則M組線性無關(guān);(D)若M組線性相關(guān),則N組線性相關(guān)第四十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日5.設(shè)則三條直線交于一點(diǎn)的充要條件是()(A)α1,α2,α3線性相關(guān);(B)α1,α2,α3線性無關(guān);(C)r(α1,α2,α3)=r(α1,α2)(D)α1,α2,α3線性相關(guān),α1,α2線性無關(guān)第四十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日6.設(shè)n維向量組:的秩都是r,則()(A)向量組M與N等價;(B)(C)若s=t=r,則M與N等價;(D)如M可由N線性表示,則M與N等價第四十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日7.是滿秩的,則直線()(A)相交于一點(diǎn);(B)重合;(C)平行但不重合;(D)異面直線第四十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日8.設(shè)n階方陣A既是正交矩陣又是正定矩陣,則有A=()(A)A2(B)2A(C)E(D)2E第四十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日9.若兩向量都是齊次線性方程組AX=0的解向量,則系數(shù)矩陣是()第四十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日10.設(shè)A為n階方陣,且r(A)=n－3,且是齊次線性方程組AX=0的三個線性無關(guān)的解向量,則AX=0的基礎(chǔ)解系是()第四十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日11.下列四對矩陣中,不相似的是()第四十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日12.n階方陣A與B相似,則()(A)λE－A=λE－B(B)A與B有相同的特征向量(C)A與B都相似于一個對角矩陣(D)對任何t,tE－A和tE－B相似第四十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日13.設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣,P為n階可逆陣,已知n維向量α是A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量,則矩陣屬于特征值λ的特征向量是()第五十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日14.設(shè)則A與B()(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同不相似第五十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日15.設(shè)A,B均為n階可逆方陣,則()(A)AB=BA,(B)存在可逆陣P,使得(C)存在可逆陣C使得(D)存在可逆陣P,Q使得PAQ=B第五十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日二、填空題1.設(shè)有3階方陣其中均為3維行向量,且已知行列式｜A｜=24,｜B｜=3,求｜A－B｜＿＿＿。第五十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日2.4階矩陣已知｜A｜=4,｜B｜=1,則｜A+B｜=＿＿＿＿3.設(shè)則＿＿＿＿＿第五十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日4.設(shè)是n維向量,矩陣,則AB=＿＿＿＿。5.設(shè)且＿＿＿第五十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日6.設(shè)A為m階方陣,B為n階方陣,且｜A｜=a,｜B｜=b,＿＿＿＿。7.n維基本單位向量組線性表示,則向量的個數(shù)r＿＿＿＿＿。第五十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日8.已知向量組的秩為2,則λ=＿＿＿＿第五十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日9.設(shè)n階方陣A的各行元素之和為零,且r(A)=n-1,則齊次線性方程組AX=0的通解是＿＿＿＿＿。10.已知三階方陣A的特征值是－1,1,2,則矩陣的特征值是＿＿＿＿＿。的秩為＿＿＿＿＿。11.二次型第五十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日12.已知二次型為正定二次型,則λ的取值范圍是＿＿＿＿＿。第五十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日13.巳知三階方陣B是秩為2的三階方陣,且r(AB)=1,則λ=＿＿＿第六十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日14.設(shè)可對角化,則a=＿＿＿,b=＿＿＿第六十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日15.設(shè)A為n階方陣,｜A｜≠0,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位陣,若A有特征值λ,則必有特征值＿＿＿＿＿。第六十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日線性代數(shù)的思維定勢定勢一:題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或伴隨矩陣A*有關(guān),立即聯(lián)想到引用行列式按行(列)展開定理及AA*=A*A=|A|E。第六十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定勢二:若涉及到A,B是否可交換,即AB=BA,則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。例設(shè)A,B為n階方陣,且A+B=AB(1)證明A－E可逆;(2)證明AB=BA定勢三:若題設(shè)n階方陣滿足f(A)=0,要證aA+bB可逆,則先分解出因子aA+bB再說，例已知A、B為3階方陣,且滿足2A-1=B－4E(1)證明A－2E可逆(2)若求A第六十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定勢四第六十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定勢五:若巳知AB=O,則先考慮B的每列作為齊次線性方程組AX=0的解向量來處理。第六十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定勢六:若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的數(shù)值,則聯(lián)想到是否有行列式為0再說。第六十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定勢七:若已知A的特征向量ξ,則先用定義:Aξ=λ0ξ再說。第六十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日定勢八:要證明抽象的n階實(shí)對稱矩陣