山西省長(zhǎng)治市縣第五中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省長(zhǎng)治市縣第五中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，，且，則的值是（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是＝0（x∈R），其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A

4

B

3

C

2

D

1參考答案：D3.已知a=log32，b=（log32）2，c=log4，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：∵0=log31＜a=log32＜log33=1，∴0＜b=（log32）2＜a=log32，∵c=log4＜log41=0，∴c＜b＜a．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．4.一次函數(shù)的斜率和截距分別是

（

）A．2、3

B．2、2

C．3、2

D．3、3參考答案：C略5.（5分）同時(shí)具有性質(zhì)“①最小正周期是π，②圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③在上是增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)是（） A． B． C． D． 參考答案：C考點(diǎn)： 三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 首先此類題目考慮用排除法，根據(jù)周期可以排除A，根據(jù)對(duì)稱性可排除B，根據(jù)對(duì)稱軸取最值排除D．即可得到答案C正確．解答： 首先由最小正周期是π，可以排除A；又因?yàn)椋皇亲钪?，可以排除排除D；B中，當(dāng)x∈時(shí)，0≤2x+≤π，單調(diào)遞減，所以排除B；因此C正確．故選C．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查函數(shù)的周期性，對(duì)稱軸，單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，對(duì)于三角函數(shù)的性質(zhì)非常重要，要注意記憶和理解，在應(yīng)用中也極其廣泛，值得注意．6.若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（） A．30° B． 45° C． 60° D． 120°參考答案：A略7.若，，則（

）（A）A>B

(B)A<B

(C)

A=B

(D)A,B的大小關(guān)系與x的取值有關(guān)。參考答案：D8.根據(jù)某組調(diào)查數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖如圖所示，則該組數(shù)據(jù)中的數(shù)位于區(qū)間（60，70）內(nèi)的頻率是（）A．0.004 B．0.04 C．0.4 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)頻率=組距×，即可求出答案．【解答】解：由樣本的頻率分布直方圖知：數(shù)據(jù)在區(qū)間（60，70）上的頻率是0.040×10=0.4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，掌握頻率=組距×，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．9.若不等式3x2﹣logax＜0對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=3x2，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根據(jù)不等式3x2﹣logax＜0對(duì)任意恒成立，可得f（）≤g（），從而可得0＜a＜1且a≥，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=3x2，g（x）=﹣logax，（0＜x＜）∵不等式3x2﹣logax＜0對(duì)任意恒成立，∴f（）≤g（）∴3?﹣loga≤0．∴0＜a＜1且a≥，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，1）．故選：A．10.若，則7a=（）A． B． C．5 D．7參考答案： C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】由，可得log75=a，化為指數(shù)式即可得出．【解答】解：∵，∴l(xiāng)og75=a，則7a=5．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)分別由下表給出：

x123f(x)131x123g(x)321

滿足的的值

.參考答案：212.若||=2，||=3，與的夾角為，則（﹣2）?（2+）=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知求出的值，然后展開數(shù)量積得答案．【解答】解：∵||=2，||=3，與的夾角為，∴．∴（﹣2）?（2+）==2×4﹣3×（﹣3）﹣2×9=﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．13.已知平面向量，滿足，則的最小值是_____.參考答案：6【分析】利用公式轉(zhuǎn)化求最值.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，最小.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模和數(shù)量積運(yùn)算.14.已知三棱錐P﹣ABC的體積為10，其三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱錐最長(zhǎng)的一條側(cè)棱長(zhǎng)等于．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由已知中的三視圖，畫出幾何體的直觀圖，數(shù)形結(jié)合求出各棱的長(zhǎng)，可得答案【解答】解：由三棱錐的三視圖可得幾何體的直觀圖如下圖所示：O是頂點(diǎn)V在底面上的射影，棱錐的底面面積S=×4×5=10，∵三棱錐P﹣ABC的體積為10，故棱錐的高VO=3，則VA=，VC=3，AC=5，BC=4，AB=，VB=，故最長(zhǎng)的側(cè)棱為，故答案為：15.若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)t的值是

．參考答案：5∵，，三點(diǎn)共線，，即，解得t=5，故答案為5.

16.將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大兩倍，縱坐標(biāo)不變；然后將整個(gè)圖象向右平移個(gè)單位,若所得圖象恰好與函數(shù)的圖象完全相同,則函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式是

．參考答案：略17.已知點(diǎn)是三角形的重心，則=

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足，．（Ⅰ）若，求證：對(duì)一切的，，都有；（Ⅱ）若，記，求證：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和；（Ⅲ）若，求證：．參考答案：（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；而可得，進(jìn)而證得結(jié)論；（Ⅱ）由整理可得：；代入可得，進(jìn)而，根據(jù)等比數(shù)列求和公式可證得結(jié)論；（Ⅲ）由整理可得：，可知，利用累加的方法可證得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）由得：故有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立而，故有，即有對(duì)一切的，，都有（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，有，則有：，即有數(shù)列的前項(xiàng)和（Ⅲ）由得：即累加可得：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，涉及到放縮法證明不等式、數(shù)列中的遞推關(guān)系、等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用、累加累乘法的應(yīng)用等知識(shí)，難點(diǎn)在于對(duì)數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行合理的放縮，屬于難題.19.已知函數(shù)，（1）判定的奇偶性；

（2）判斷在上的單調(diào)性，并給予證明．參考答案：解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是奇函數(shù)．（2）設(shè)，則

，

因?yàn)椋?，所以f(x1)-f(x2>0,即，所以在上為增函數(shù)．略20.（14分）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)（1）求a值；（2）判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（4）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】綜合題．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)的函數(shù)值為0，列出方程求出a的值；（2）先判斷出單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義法進(jìn)行證明，即取值﹣?zhàn)鞑瞟佔(zhàn)冃惟伵袛喾?hào)﹣下結(jié)論；（3）利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值比較大小，再由函數(shù)的單調(diào)性比較自變量的大小，列出不等式由二次函數(shù)恒成立進(jìn)行求解；（4）根據(jù)函數(shù)解析式和函數(shù)零點(diǎn)的定義列出方程，再利用整體思想求出b的范圍．【解答】解：（1）由題設(shè)，需，∴a=1，∴，經(jīng)驗(yàn)證，f（x）為奇函數(shù)，∴a=1．（2）減函數(shù)證明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù)．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是減函數(shù)∴原問題轉(zhuǎn)化為t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0對(duì)任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0，得即為所求．（4）原函數(shù)零點(diǎn)的問題等價(jià)于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴當(dāng)b∈[﹣1，+∞）時(shí)函數(shù)存在零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，利用奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時(shí)有f（0）=0進(jìn)行求值，函數(shù)單調(diào)性的證明必須按照定義法進(jìn)行證明，即取值﹣?zhàn)鞑瞟佔(zhàn)冃惟伵袛喾?hào)﹣下結(jié)論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，以及整體思想求出恒成立問題．21.已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為