湖南省湘潭市電機子弟中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省湘潭市電機子弟中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為（）A．mB．mC．mD．參考答案：A2.已知函數(shù)f（x）是定義在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）的圖象如圖所示，那么f（x）的值域是（）A．（﹣4，4） B．[﹣6，6] C．（﹣4，4）∪（4，6] D．[﹣6，﹣4）∪（4，6]參考答案：D【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，確定函數(shù)的值域即可．【解答】解：∵當(dāng)0＜x≤4時，函數(shù)單調(diào)遞增，由圖象知4＜f（x）≤6，當(dāng)﹣4≤x＜0時，在0＜﹣x≤4，即此時函數(shù)也單調(diào)遞增，且4＜f（﹣x）≤6，∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴4＜﹣f（x）≤6，即﹣6≤f（x）＜﹣4，∴f（x）的值域是[﹣6，﹣4）∪（4，6]，故選：D【點評】本題主要考查函數(shù)值域的求法，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．3.在△中，若，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.sin240°等于（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【分析】由誘導(dǎo)公式sin=﹣sinα和特殊角的三角函數(shù)值求出即可．【解答】解：根據(jù)誘導(dǎo)公式sin=﹣sinα得：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故選：D．5.已知數(shù)列{an}，如果，，，……，，……，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則an= A． B． C． D．參考答案：A，，解得

6.將函數(shù)的圖像向右平移3個單位再向下平移2個單位所得圖像的函數(shù)解析式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.某同學(xué)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設(shè)CP=x，則f（x）=AP+PF．那么，可推知方程解的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．4參考答案：C【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可得當(dāng)A、P、F共線，即x=時，f（x）取得最小值為＜，當(dāng)P與B或C重合，即x=1或0時，f（x）取得最大值為+1＞．由此作出函數(shù)的圖象可得答案．【解答】解：由題意可得函數(shù)=AP+PF，當(dāng)A、P、F共線，即x=時，f（x）取得最小值為＜，當(dāng)P與B或C重合，即x=1或0時，f（x）取得最大值為+1＞．故函數(shù)f（x）的圖象應(yīng)如圖所示：而方程解的個數(shù)就是函數(shù)f（x）與y=的圖象交點的個數(shù)，故方程解的個數(shù)應(yīng)為2故選C【點評】本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．8.已知向量與單位向量的夾角為，且，則實數(shù)m的值為（

）A.

B. C. D.參考答案：C因為向量，則||3，由單位向量，則||＝1，6m，由數(shù)量積表示兩個向量的夾角得：，則m＞0且64m2＝9，解得：m，故選：C．

9.已知在中，角所對的邊分別為，若，則A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A10.已知，點在直線上，且，則點的坐標(biāo)為(

)A

(

B

(8,-15)

C

()或

D（）或（6，-9）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）滿足f（x﹣1）=2x+1，若f（a）=3a，則a=．參考答案：3【考點】函數(shù)的零點．【專題】計算題；函數(shù)思想；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用函數(shù)的解析式列出方程求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）滿足f（x﹣1）=2x+1，f（a）=f（a+1﹣1）=3a，可得2（a+1）+1=3a，解得a=3．故答案為：3．【點評】本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，考查計算能力．12.對于定義在上的函數(shù)，若實數(shù)滿足，則稱是函數(shù)的一個不動點.若二次函數(shù)沒有不動點，則實數(shù)的取值范圍是_________參考答案：13.二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)，對任何x∈R，都有f(x–3)=f(1–x)，設(shè)M=f(arcsin(sin4))，N=f(arccos(cos4))，則M和N的大小關(guān)系是

。參考答案：M>N14.函數(shù)恒過定點

▲

.參考答案：15.已知a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列，若其中a=2-，c=2+，則b=

．參考答案：略16.已知，則▲;=▲.參考答案：27;

1

17.直線與直線平行，則

▲

．參考答案：-1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在三棱錐S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，BC⊥SA，AS=AB，過A作AP⊥SB，垂足為F，點E、G分別是棱SA，SC的中點求證：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）AB⊥BC．參考答案：考點： 平面與平面平行的判定；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專題： 證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析： （1）由三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，從而EF∥平面ABC，同理：FG∥平面ABC，由此能證明平面EFG∥平面ABC．（2）由已知條件推導(dǎo)出AF⊥BC，利用BC⊥SA，由此能證明BC⊥面SAB，即可證明AB⊥BC．解答： 證明：（1）∵AS=AB，AF⊥SB，∴F是SB的中點，∵E、F分別是SA、SB的中點，∴EF∥AB，又∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理：FG∥平面ABC，又∵EF∩FG=F，EF、FG?平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF?平面SAB，∴AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC，又∵BC?平面SBC，∴AF⊥BC，∵BC⊥SA，SA∩AF=A，SA、AF?平面SAB，∴BC⊥面SAB，∵AB?面SAB，∴BC⊥AB．點評： 本題考查平面與平面平行的證明，考查線面平行的證明，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.設(shè)函數(shù)的定義域為集合A,不等式的解集為集合B．（1）求集合A,B;

（2）求集合A∪B,A∩(CRB)．參考答案：略20.已知函數(shù)（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）求證：函數(shù)在(0,+∞)為單調(diào)增函數(shù)；（Ⅲ）求滿足的的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）解，所以為奇函數(shù)；（Ⅱ）任取，所以在為單調(diào)增函數(shù)；（Ⅲ）解得，所以零點為，當(dāng)時，由（Ⅱ）可得的的取值范圍為，的的取值范圍為，又該函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，由（Ⅱ）可得的的取值范圍為，綜上：所以?解集為21.（12分）已知函數(shù)f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λf（ax）﹣f（2ax）．（1）若函數(shù)g（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍；（2）對任意x∈，g（x）≤2恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．參考答案：考點： 函數(shù)恒成立問題；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析： （1）由條件f（a+2）=18建立關(guān)于a的等量關(guān)系，求出a，將a代入得g（x）=λ?2x﹣4x，g（x）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，可利用函數(shù)單調(diào)性的定義建立恒等關(guān)系，分離出λ，求出2x2+2x1的最值即可；（2）運用參數(shù)分離，任意x∈，g（x）≤2恒成立即為即有λ≤在x∈恒成立．令t==2x+（0≤x≤1），運用基本不等式求出最小值，注意檢驗等號成立的條件，只要令λ不大于最小值即可．解答： （1）由已知得3a+2=18?3a=2?a=log32，此時g（x）=λ?2x﹣4x設(shè)0≤x1＜x2≤1，因為g（x）在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，所以g（x1）﹣g（x2）=（2x2﹣2x1）（﹣λ+2x2+2x1）≥0成立，∵2x2﹣2x1＞0∴λ≤2x2+2x1恒成立，由于2x2+2x1≥20+20=2，所以實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2；（2）任意x∈，g（x）≤2恒成立即為λ?2x﹣4x≤2在x∈恒成立，即有λ≤在x∈恒成立．令t==2x+（0≤x≤1），由于2x∈，則2x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=，即有x=時，取得最小值2．即有λ≤2．則實數(shù)λ的取值范圍是（﹣∞，2]．點評： 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用，考查函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，以及基本不等式的運用，屬于中檔題．22.已知圓C和y軸相切，圓心在直線x﹣3y=0上，且被直線y=x截得的弦長為，求圓C的方程．參考答案：【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題．【分析】由圓心在直線x﹣3y=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦的中點，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．【解答】解：