高等代數(shù)北大版52

第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小結(jié)與習(xí)題一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二、合同的變換法三、小結(jié)§5.2標(biāo)準(zhǔn)形5.2標(biāo)準(zhǔn)形二次型中非常簡(jiǎn)單的一種是只含平方項(xiàng)的二次型它的矩陣是對(duì)角陣平方和的形式？假設(shè)能，如何作非退化線性替換？任意二次型能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)非退化線性替換化成?5.2標(biāo)準(zhǔn)形證明：對(duì)二次型變量個(gè)數(shù)n作歸納法.假定對(duì)n－1元二次型結(jié)論成立.一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形過(guò)非退化線性替換化成平方和的形式.

1、〔定理1〕數(shù)域P上任一二次型都可經(jīng)n=1時(shí)，結(jié)論成立.下面考慮n元二次型5.2標(biāo)準(zhǔn)形5.2標(biāo)準(zhǔn)形這里，

是一個(gè).的n－1元二次型.配方法5.2標(biāo)準(zhǔn)形它是非退化的，且使5.2標(biāo)準(zhǔn)形使它變成平方和

于是，非退化線性替換

由歸納假設(shè)，對(duì)有非退化線性替換5.2標(biāo)準(zhǔn)形就使變成2）

但至少有一個(gè)

不妨設(shè)

作非退化線性替換：

5.2標(biāo)準(zhǔn)形不為零.由情形1〕知，結(jié)論成立.則

這是一個(gè)的二次型，且的系數(shù)

5.2標(biāo)準(zhǔn)形這是一個(gè)n－1元二次型，由歸納假設(shè)，結(jié)論成立.

總之，數(shù)域P上任一二次型都可經(jīng)過(guò)非退化線性替換化成平方和的形式.即3）

由對(duì)稱性，

5.2標(biāo)準(zhǔn)形2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的定義所變成的平方和形式注：1〕由定理1任一二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是存在的.2〕可應(yīng)用配方法得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.二次型

經(jīng)過(guò)非退化線性替換

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.

稱為

5.2標(biāo)準(zhǔn)形那么解：作非退化線性替換

例1、求的標(biāo)準(zhǔn)形.5.2標(biāo)準(zhǔn)形或最后令

則

或

再令

5.2標(biāo)準(zhǔn)形所作的非退化線性替換是

即

則

5.2標(biāo)準(zhǔn)形3、〔定理2〕數(shù)域P上任一對(duì)稱矩陣合同于證：對(duì)A的級(jí)數(shù)作歸納法.假定對(duì)n－1級(jí)對(duì)稱矩陣結(jié)論成立，考慮n級(jí)矩陣A，分四種情形討論：

使C′AC為對(duì)角矩陣．

即若A′＝A，則存在可逆矩陣n＝1時(shí)，為對(duì)角陣,結(jié)論成立.設(shè)一個(gè)對(duì)角矩陣.5.2標(biāo)準(zhǔn)形這里這里A1為n－1級(jí)對(duì)稱矩陣.5.2標(biāo)準(zhǔn)形則

這里

是n－1級(jí)對(duì)稱矩陣，5.2標(biāo)準(zhǔn)形為對(duì)角矩陣.由歸納假設(shè)，存在可逆矩陣G，使

為對(duì)角矩陣.令

則令

則C可逆，且

為對(duì)角矩陣.5.2標(biāo)準(zhǔn)形其中

歸結(jié)為情形1，結(jié)論成立.令

，則

3)

但有一個(gè)

則

令

顯然

2)但有一個(gè)

5.2標(biāo)準(zhǔn)形歸結(jié)為情形1〕.則

4)

由對(duì)稱性,有于是

為n－1級(jí)對(duì)稱矩陣.5.2標(biāo)準(zhǔn)形為對(duì)角矩陣.為對(duì)角矩陣.由歸納假設(shè)，有n－1級(jí)可逆矩陣G，使

令則5.2標(biāo)準(zhǔn)形例2

根據(jù)定理2，求例1中二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.情形3)情形1)令解：的矩陣為5.2標(biāo)準(zhǔn)形情形1)令令5.2標(biāo)準(zhǔn)形為對(duì)角矩陣.5.2標(biāo)準(zhǔn)形作非退化線性替換X＝CY，則即得的標(biāo)準(zhǔn)形5.2標(biāo)準(zhǔn)形二、合同的變換法（1）互換矩陣的

兩行，再互

換矩陣的

兩列;1.定義：合同變換是指下列三種變換

（2）以數(shù)k（

)乘矩陣的第i行；再以數(shù)k乘（3）將矩陣的第i行的k倍加

到第

行，再將第

列

的k倍加到第

列（).

矩陣的第i列.5.2標(biāo)準(zhǔn)形2.合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

又，設(shè)對(duì)稱矩陣A與對(duì)角矩陣D合同，那么存在可逆矩陣根本原理：C,使Ｄ＝Ｃ′ＡＣ.

若

為初等陣，則5.2標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)E施行同樣的初等列變換便可求得可逆矩陣C滿足就相當(dāng)于對(duì)A作s次合同變換化為D.所以，在合同變換化矩陣A為對(duì)角陣D的同時(shí)，又注意到所以，5.2標(biāo)準(zhǔn)形根本步驟：②對(duì)A作合同變換化為對(duì)角矩陣D對(duì)E僅作上述合同變換中的初等列變換得C③作非退化線性替換X=CY，那么即①寫(xiě)出二次型的矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)形.D為對(duì)角陣,且5.2標(biāo)準(zhǔn)形注意：i）若a11≠0，作合同變換：將A的第一行的倍加到第j

行，再將所得矩陣的第一列的倍加到第j

列,j=2,3,….n則合同變換化對(duì)稱矩陣為對(duì)角陣D時(shí)5.2標(biāo)準(zhǔn)形ii)假設(shè)a11=0，而有某個(gè)aii≠0，作合同變換：互換1,

i

兩行，再互換1,

i

兩列，所得矩陣的第1行第1列處元素為aii

≠0，轉(zhuǎn)為情形i)，即5.2標(biāo)準(zhǔn)形iii)假設(shè)aii=0,i=1,2,…n.那么必有某個(gè)aij≠0(i≠j)，作合同變換：iv)對(duì)i〕中A1重復(fù)上述做法.將第

j

行加到第i行，再將第j列加到第i

列，所得矩陣第i

行第i列處元素為2aij

≠0.轉(zhuǎn)為情形ii).5.2標(biāo)準(zhǔn)形例3用合同變換求下面二次型的標(biāo)準(zhǔn)形r1+r2

c1+c2（同例1）解：的矩陣為5.2標(biāo)準(zhǔn)形r3+r1r2－r1c3+c1c2－c1－2r2－2c2c3+2c2r3+2r25.2標(biāo)準(zhǔn)形作非退化線性替換X=CY,那么二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形令則5.2標(biāo)準(zhǔn)形①對(duì)A每施行一次合同變換后所得矩陣必仍為對(duì)稱矩陣.〔因?yàn)楹贤儞Q保持矩陣的對(duì)稱性－－可利用這一點(diǎn)檢查計(jì)算是否正確.〕

②對(duì)A作合同變換時(shí)，無(wú)論先作行變換還是先作列變換，結(jié)果是一致的.③可連續(xù)作n次初等行〔列〕變換后，再依次作n次相應(yīng)的初等列〔行〕變換.說(shuō)明：5.2標(biāo)準(zhǔn)形作非退化線性替換f的標(biāo)準(zhǔn)形為練習(xí)：求下面二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所作的非退化線替性換.答案：5.2標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣為詳解：5.2標(biāo)準(zhǔn)形5.2標(biāo)準(zhǔn)形5.2標(biāo)準(zhǔn)形令那么作非退化線性替換X=CY，那么