求曲線的方程

2.1.2求曲線的方程

學習目標1．會根據(jù)圖形建立適當?shù)淖鴺讼担?．會用直接法求簡單的曲線方程．基礎梳理1．設P點的坐標為(x，y)，點P到點M(－1,2)的距離為______________．2．設P點的坐標為(x，y)，點P到x軸的距離為______．3．設P點的坐標為(x，y)，點P到直線x－y＋1＝0的距離為________．4．已知兩點A(－2,0)，P(x，y)，則＝________________.5．已知＝(x，y－1)，＝(2,4)，則＝____________.|y|

(－2－x，－y)

2x＋4(y－1)

自測自評1．已知A(2,5)、B(3，－1)，則線段AB的方程是(

)A．6x＋y－17＝0B．6x＋y－17＝0(x≥3)C．6x＋y－17＝0(x≤3)D．6x＋y－17＝0(2≤x≤3)【答案】D

2．若點M到兩坐標軸的距離的積為2011，則點M的軌跡方程是(

)A．xy＝2011

B．xy＝－2011C．xy＝±2011D．xy＝±2011(x＞0)【答案】C

3．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面積為10，則動點C的軌跡方程是(

)A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0【答案】B

題型一：方程的曲線

例1.過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程．解：法一：設點M的坐標為(x，y)∵M為線段AB的中點．∴A(2x,0)，B(0,2y)．又∵P(2,4)．∴＝(2x－2，－4)，

＝(－2,2y－4)，∵l1⊥l2，∴

⊥

.∴

＝(2x－2)×(－2)＋(－4)×(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0.∴M點的軌跡方程是x＋2y－5＝0.法二：設M的坐標為(x，y)，則A、B兩點的坐標分別是(2x,0)、(0,2y)，連結PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.跟蹤訓練1．若A、B兩點的坐標分別是(1,0)、(－1,0)，且kMA·kMB＝－1，則動點M的軌跡方程是什么？【答案】x2＋y2＝1(x≠±1)題型二：求曲線的方程(題目中已有坐標系)

例2.設A、B兩點的坐標是(0,0)，(2,2)，求線段AB的垂直平分線的方程．解：設M(x，y)是線段AB的垂直平分線上任意一點，也就是點M屬于集合P＝{M︱|MA|＝|MB|}．由兩點間的距離公式，點M所適合條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得：x＋y＝2①我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程．(1)由求方程的過程可知，垂直平分線上每一點的坐標都是方程①的解；(2)設點M1的坐標(x1，y1)是方程①的解，即x1＋y1＝2，x1＝2－y1.點M1到A、B的距離分別是∴|M1A|＝|M1B|即點M1在線段AB的垂直平分線上．由(1)、(2)可知方程①是線段AB的垂直平分線的方程．點評：一般在高中階段第二段證明可以省略，如有特殊情況，可適當予以說明．跟蹤訓練2．已知一曲線在x軸上方，它上面的每一點到點A(0,2)的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程．解：設曲線上任一點的坐標為M(x，y)，作MB⊥x軸，B為垂足，則點M屬于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．由距離公式，點M適合的條件可表示為－y＝2，化簡得x2＝8y.∵曲線在x軸上方，∴y＞0.顯然(0,0)是這個方程的解，但不屬于已知曲線．∴所求曲線的方程為x2＝8y(y≠0)．題型三：求曲線的方程(題目中沒有坐標系)

例3.兩個定點A、B的距離為4，求到這兩點距離平方之和等于16的點M的軌跡方程．解：以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標系.設M點的坐標為(x，y)，A(－2,0)，B(2,0)依題意：|MA|2＋|MB|2＝16，即(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，化簡得x2＋y2＝4.所以M的軌跡方程為x2＋y2＝4.課時訓練一、選擇填空題1．點A(3，－4)、B(－2，2)是否在方程x2＋y2＝25表示的圓上？____________________.A在圓上B不在圓上

【答案】D

課堂小結求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個步驟：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；(2)寫出適合條件P的點M的集合P＝{M|P(M)}；(3)用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，