直線的傾斜角與斜率傾斜角與斜率

第三章直線與方程3.1直線的傾斜角與斜率3.1.1傾斜角與斜率內(nèi)容要求

1.理解直線的傾斜角的定義，掌握直線傾斜角的范圍.2.理解直線的斜率，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.能利用斜率解決具體問題.3.掌握直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系：k＝tanα(α≠90°).正方向自

主

預(yù)

習(xí)1.直線的傾斜角(1)定義：一條直線l與x軸相交，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸__________與直線l____________之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.一條直線與x軸____________時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)取值范圍：_______________.向上方向平行或重合0°≤α<180°2.直線的斜率定義傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的__________叫做這條直線的斜率，記為k，即k＝__________.取值范圍當(dāng)α＝0°時(shí)，________；當(dāng)0°<α<90°時(shí)，________；當(dāng)90°<α<180°時(shí)，_______；當(dāng)α＝90°時(shí)，斜率________.3.斜率公式正切值tanαk＝0k>0k<0不存在即

時(shí)

自

測1.判斷題(1)所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率.(

)(2)直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα.(

)(3)直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α.(

)√×××提示(2)當(dāng)α＝90°時(shí)，直線的斜率不存在.(3)當(dāng)0°≤α＜180°時(shí)，α才是此直線的傾斜角.2.下圖中α能表示直線l的傾斜角的是(

)A.① B.①② C.①③ D.②④解析結(jié)合直線l的傾斜角的概念可知①可以，選A.答案A3.已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為(

)答案A4.過點(diǎn)P1(3，－1)和P2(4，2)的直線的斜率k＝________.答案3題型一直線的傾斜角【例1】

設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為(

) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，傾斜角為α－135°解析根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：因?yàn)?°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知：當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選D.答案D規(guī)律方法1.解答本題要注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答.2.求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論.【訓(xùn)練1】

一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為(

) A.α B.180°－α C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α解析如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí)，傾斜角為90°－α.故選D.答案D題型二直線的斜率【例2】

已知兩點(diǎn)A(－3，4)，B(3，2)，過點(diǎn)P(1，0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn). (1)求直線l的斜率k的取值范圍； (2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1，或k≥1.(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.規(guī)律方法(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決.【訓(xùn)練2】

已知直線l過P(－2，－1)，且與以A(－4，2)，B(1，3)為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍.解根據(jù)題中的條件可畫出圖形，如圖所示，又可得直線PA的斜率[課堂小結(jié)]1.傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述并表現(xiàn)了直線對(duì)于x軸正方向的傾斜程度.2.直線的斜率和傾斜角都反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，如下表：直線情況平行于x軸

垂直于x軸

α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范圍0k＞0不存在k＜0k的增減情況

k隨α的增大而增大

k隨α的增大而增大(1)斜率公式與P1，P2兩點(diǎn)的位置無關(guān)，而與兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之差的順序有關(guān)(即x2