高中數(shù)學(xué)-兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

課標(biāo)分析通過讓學(xué)生探索，猜想，發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。通過兩角差的余弦公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡單的化簡，求值和證明，體會(huì)化歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)體會(huì)探究的樂趣，認(rèn)識(shí)世間萬物的聯(lián)系和變化養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教材分析教學(xué)內(nèi)容本節(jié)是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修四第三章第一節(jié)的內(nèi)容，是本模塊第一章和第二章相關(guān)知識(shí)的延伸和拓展，也是本章推導(dǎo)其他公式的基礎(chǔ)，可以說是承上啟下，串連全書。內(nèi)容解析三角恒等變換處于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)和交匯點(diǎn)上，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的重要素材。由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，我們可以在獲得其中一個(gè)公式的基礎(chǔ)上，簡單的推導(dǎo)本章的其它公式。學(xué)情分析數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，從猜想開始證明一個(gè)數(shù)學(xué)公式，學(xué)生在情感上是不容易接受的。然而，猜想與證明卻是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的主要思想方法之一。所以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的猜想能力是有必要的。學(xué)生主要的困難表現(xiàn)在：不敢猜，怕出錯(cuò)。而不會(huì)猜，主要是缺乏數(shù)學(xué)意識(shí)。教學(xué)設(shè)計(jì)新課導(dǎo)入(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道cos45°=,cos30°=,由此我們能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?這里是不是等于cos45°-cos30°呢？教師可讓學(xué)生驗(yàn)證,經(jīng)過驗(yàn)證可知,我們的猜想是錯(cuò)誤的.那么究竟是個(gè)什么關(guān)系呢？cos(α-β)等于什么呢？這時(shí)學(xué)生急于知道答案,由此展開新課:我們就一起來探討“兩角差的余弦公式”.這是全章公式的基礎(chǔ).（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題1.請(qǐng)學(xué)生猜想cos(α-β)=?2.利用向量的知識(shí),如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)cos(α-β)=?3..細(xì)心觀察C(α-β)公式的結(jié)構(gòu),它有哪些特征？其中α、β角的取值范圍如何？4，,如何正用、逆用、靈活運(yùn)用C(α-β)公式進(jìn)行求值計(jì)算？活動(dòng):問題1,出示問題后,教師讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下,大膽猜想,有的同學(xué)可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的結(jié)論,此時(shí)教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥,然后讓學(xué)生由特殊角來驗(yàn)證它的正確性.如α=60°,β=30°,則cos(α-β)=cos30°=,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=,這一反例足以說明cos(α-β)≠cosα-cosβ.問題2,教師引導(dǎo)學(xué)生,可否利用剛學(xué)過的向量知識(shí)來探究這個(gè)問題呢?如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位O,以O(shè)x為始邊作角α、β,它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B,則=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠AOB=α-β.由向量數(shù)量積的定義有·=||||·cos(α-β)=cos(α-β),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有·=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我們發(fā)現(xiàn),運(yùn)用向量工具進(jìn)行探究推導(dǎo),過程相當(dāng)簡潔,但在向量數(shù)量積的概念中,角α-β必須符合條件0≤α-β≤π,以上結(jié)論才正確,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究當(dāng)α-β是任意角時(shí),以上公式是否正確的問題.當(dāng)α-β是任意角時(shí),由誘導(dǎo)公式,總可以找到一個(gè)角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,則·=cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,則2π-θ∈［0,π］,且·=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,對(duì)于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦值與其差角α-β的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記為C(α-β).有了公式C(α-β)以后,我們只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.問題3,教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(α-β)的結(jié)構(gòu)特征,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶,特別是運(yùn)算符號(hào),左“-”右“+”.或讓學(xué)生進(jìn)行簡單填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.問題4,對(duì)于公式的正用是比較容易的,關(guān)鍵在于“拆角”的技巧,而公式的逆用則需要學(xué)生的逆向思維的靈活性,特別是變形應(yīng)用,這就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀這就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察能力和熟練的運(yùn)算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=,cosα=cos［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.（三）應(yīng)用示例例1利用差角余弦公式求cos15°的值.活動(dòng):先讓學(xué)生自己探究,對(duì)有困難的學(xué)生教師可點(diǎn)撥學(xué)生思考題目中的角15°,它可以拆分為哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,從而就可以直接套用公式C(α-β)計(jì)算求值.教師不要包辦,充分讓學(xué)生自己獨(dú)立完成,在學(xué)生的具體操作下,體會(huì)公式的結(jié)構(gòu),公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)于很快就完成的同學(xué),教師鼓勵(lì)其換個(gè)角度繼續(xù)探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45°=×點(diǎn)評(píng):本題是指定方法求cos15°的值,屬于套用公式型的,這樣可以使學(xué)生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要學(xué)生將這個(gè)非特殊角拆分成兩個(gè)特殊角的差的形式,靈活運(yùn)用公式求值.本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角,但可以拆分成兩角差的情形.至于如何拆分,讓學(xué)生在應(yīng)用中仔細(xì)體會(huì).變式訓(xùn)練不查表求sin75°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=sin15°===點(diǎn)評(píng):本題是例題的變式,比例題有一定的難度,但學(xué)生只要細(xì)心分析,利用相關(guān)的誘導(dǎo)公式,不難得到上面的解答方法.例2已知,，求的值.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C(α-β)即可求解.從已知條件看,還少cosα與sinβ的值,根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出,但是這里必須讓學(xué)生注意利用同角的平方和關(guān)系式時(shí),角α、β所在的象限,準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號(hào).本例可由學(xué)生自己獨(dú)立完成.變式訓(xùn)練：分析：本題相對(duì)于例1難度不大,可引導(dǎo)學(xué)生自己獨(dú)立完成適當(dāng)。設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)公式的逆用。（三）、課堂小結(jié)1、這節(jié)課我們學(xué)到哪些知識(shí)？2、我們是怎么獲得這些知識(shí)的？評(píng)測(cè)練習(xí)1．2．3．已知，，求的值。4．已知，是第三象限角，求的值。5.6.效果分析本節(jié)課始終貫徹在教師的有效指導(dǎo)下，學(xué)生主動(dòng)參與公式的發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)和應(yīng)用，在活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理念。大部分學(xué)生都能夠掌握本節(jié)所學(xué)知識(shí)，課堂上使用多媒體輔助教學(xué)，對(duì)于學(xué)生利用向量推導(dǎo)公式幫助很大?？傊竟?jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)積極性非常高。觀評(píng)記錄本節(jié)課始終貫徹以學(xué)生為主的教學(xué)思想，課堂氣氛活躍，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性非常高；教師非常深入的研究教材，整個(gè)教學(xué)過程設(shè)計(jì)的非常好；例題設(shè)計(jì)得當(dāng)，層層深入；教師基本功扎實(shí)，講課非常有激情。課后反思這是一堂數(shù)學(xué)味道很濃的課，