一次函數(shù) 省賽獲獎

第11講一次函數(shù)

1．結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，理解正比例函數(shù)，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的解析式．2．會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．3．能畫出一次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和解析式y(tǒng)＝kx＋b(k≠0)，探索并理解k＞0或k＜0時圖象的變化情況．4．體會一次函數(shù)與二元一次方程、二元一次方程組的關(guān)系，能用一次函數(shù)解決簡單實際問題．

1．考查一次函數(shù)的含義，以圖形的方式給出交點或其他特殊點的坐標(biāo)，從而求一次函數(shù)解析式．2．與方程、不等式相結(jié)合，一次函數(shù)的圖象結(jié)合實際問題，通過分析抽象出一次函數(shù)數(shù)學(xué)模型，解決實際問題．3．與幾何的基本圖形相結(jié)合，如找交點，求最大(小)值，線段及面積的計算等．4．體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想．

B(1，4)，(3，1)

3．(2014·紹興)已知甲、乙兩地相距90km，A，B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A騎摩托車，B騎電動車，圖中DE，OC分別表示A，B離開甲地的路程s(km)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問題．(1)A比B后出發(fā)幾個小時？B的速度是多少？(2)在B出發(fā)后幾小時，兩人相遇？

一次函數(shù)概念、圖象與性質(zhì)1．(2014·邵陽)已知點M(1，a)和點N(2，b)是一次函數(shù)y＝－2x＋1圖象上的兩點，則a與b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b

B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)＜b D．以上都不對A

一次函數(shù)概念、圖象與性質(zhì)2．(2014·婁底)一次函數(shù)y＝kx－k(k＜0)的圖象大致是()【解析】第1題利用一次函數(shù)y＝－2x＋1的圖象隨x的增大而減小，可以判斷a與b的大小關(guān)系，也可以代入求值，比較他們的大小關(guān)系；第2題可以先畫出直線與y軸的交點，再利用增減性畫出草圖后對照選項圖象，也可以根據(jù)圖象判斷k，b的符號再進(jìn)行選擇．A

3．(2014·濟(jì)南)若一次函數(shù)y＝(m－3)x＋5的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則()A．m＞0 B．m＜0C．m＞3 D．m＜34．已知一次函數(shù)y＝mx＋n－2的圖象如圖所示，則m，n的取值范圍是()A．m＞0，n＜2B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2D．m＜0，n＞2CD

一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的k值決定直線的方向，b值決定直線和y軸的交點(0，b)，根據(jù)交點的位置，推斷b的符號，根據(jù)圖象的增減性確定k的符號．

一次函數(shù)圖象的平移1．(2014·泰州)將一次函數(shù)y＝3x－1的圖象沿y軸向上平移3個單位后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為___________．y＝3x＋2【解析】根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律解答．

一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象可由正比例函數(shù)y＝kx的圖象平移得到，b>0，向上平移b個單位；b<0，向下平移|b|個單位．

B

按平移的規(guī)則，結(jié)合圖象解決一次函數(shù)的相關(guān)問題．

一次函數(shù)解析式的確定1．(2014·宜賓)如圖，過A點的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象相交于點B，則這個一次函數(shù)的解析式為()A．y＝2x＋3B．y＝x－3C．y＝2x－3D．y＝－x＋3【解析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象確定B點坐標(biāo)再根據(jù)圖象確定A點的坐標(biāo)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，將坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，即可求出系數(shù)．D

待定系數(shù)法：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中有兩個未知數(shù)k和b，所以，要確定其關(guān)系式，一般需要兩個條件，常見的是已知兩點坐標(biāo)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，代入得求出k，b的值即可得到一次函數(shù)的表達(dá)式．

如圖，過點C作CD⊥x軸，垂足為D，則∠AOB＝∠CDA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴△ABO≌△CAD.∵一次函數(shù)y＝－x＋2中，令x＝0，解得y＝2；令y＝0，解得x＝3，則B的坐標(biāo)是(0，2)，A的坐標(biāo)是(3，0)，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝3，∴C(5，3)．設(shè)過B，C兩點直線的解析式是y＝kx＋b，則解得k＝，b＝2，∴直線BC的解析式為y＝x＋2

1．用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的步驟：(1)設(shè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx＋b(k≠0)；(2)代入得到方程(組)；(3)解出方程(組)，求出待定系數(shù)的值，寫出函數(shù)關(guān)系式．2．求一次函數(shù)解析式時，還可以根據(jù)k，b的特殊含義，利用一次函數(shù)圖象來求關(guān)系式，如兩直線互相平行時，它們的k相等，如果函數(shù)圖象與y軸交于同一點，則它們的b值相等．

一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系1．(2014·畢節(jié))如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax＋4的圖象相交于點A(m，3)，則不等式2x≥ax＋4的解集為()

【解析】將點A(m，3)代入y＝2x得到A的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形得到不等式的解集．A

兩直線的交點坐標(biāo)即為方程組的解，利用函數(shù)圖象，將一次函數(shù)與不等式聯(lián)系一起．1．從函數(shù)值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集為使函數(shù)值大于0(即kx＋b＞0)的x的取值范圍；從圖象的角度看，由于一次函數(shù)的圖象在x軸上方時，y＞0，因此kx＋b＞0的解集為一次函數(shù)在x軸上方的圖象所對應(yīng)的x的取值范圍．2．兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)就是它們的解析式所組成的二元一次方程組的解；以二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點是兩個二元一次方程所對應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點．

2．(2014·武漢)已知直線y＝2x－b經(jīng)過點(1，－1)，求關(guān)于x的不等式2x－b≥0的解集．

1．兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，即為兩個函數(shù)圖象的表達(dá)式所組成的方程組的解．討論圖象的交點問題就是討論方程組解的情況．2．不等式的解集，可以充分利用對應(yīng)解析式的圖象，通過觀察圖象直接得出．

一次函數(shù)背景的應(yīng)用1．(2014·株洲)直線y＝k1x＋b1(k1＞0)與y＝k2x＋b2(k2＜0)相交于點(－2，0)，且兩直線與y軸圍成的三角形面積為4，求b1－b2的值．【解析】根據(jù)解析式求得與坐標(biāo)軸的交點，從而求得三角形的邊長，然后依據(jù)三角形的面積公式即可求出．

2．已知一個正比例函數(shù)和一個一次函數(shù)的圖象交于點P(－2，2)，且一次函數(shù)的圖象與y軸的交點Q的縱坐標(biāo)為4.(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式；(2)在同一坐標(biāo)系中，分別畫出這兩個函數(shù)的圖象；(3)求△PQO的面積．(1)y＝－x，y＝x＋4

(2)圖略(3)△PQO的面積為4

一次函數(shù)圖象的實際應(yīng)用1．(2014·新疆)如圖1所示，在A，B兩地之間有汽車站C站，客車由A地駛往C站，貨車由B地駛往A地．兩車同時出發(fā)，勻速行駛．圖2是客車、貨車離C站的路程y1，y2(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系圖象(1)填空：A，B兩地相距____千米；(2)求兩小時后，貨車離C站的路程y2與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)客、貨兩車何時相遇？

一次函數(shù)圖象的實際應(yīng)用【解析】第(2)題設(shè)y2＝kx＋b后，利用圖象上特殊點的坐標(biāo)，代入求得函數(shù)解析式；第(3)題兩函數(shù)的圖象相交，說明兩輛車相遇，求得y1的函數(shù)解析式，與(2)中的函數(shù)解析式聯(lián)立解方程，解決問題．解：(1)填空：A，B兩地相距440千米(2)由圖可知貨車的速度為80÷2＝40(千米/小時)，貨車到達(dá)A地一共需要2＋360÷40＝11(小時)．設(shè)y2＝kx＋b，代入點(2，0)，(11，360)得解得所以y2＝40x－80

(3)設(shè)y1＝mx＋n，代入點(6，0)，(0，360)得解得所以y1＝－60x＋360，由y1＝y(tǒng)2得40x－80＝－60x＋360，解得x＝4.4，則客、貨兩車經(jīng)過4.4小時相遇

2．(2014·武漢)一次越野跑中，當(dāng)小明跑了1600米時，小剛跑了1400米，小明、小剛在此后所跑的路程y(米)與時間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系如圖，這次越野跑的全程為_________．2200米

3．(2014·樂山)某校一課外小組準(zhǔn)備進(jìn)行“綠色環(huán)保”的宣傳活動，需要制作宣傳單，校園附近有甲、乙兩家印刷社，制作此種宣傳單的收費標(biāo)準(zhǔn)如下：甲印刷社收費y(元)與印數(shù)x(張)的函數(shù)關(guān)系如下表：乙印刷社的收費方式為：500張以內(nèi)(含500張)，按每張0.20元收費；超過500張部分，按每張0.10元收費．(1)根據(jù)表中規(guī)律，寫出甲印刷社收費y(元)與印數(shù)x(張)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該小組在甲、乙兩家印刷社共印制400張宣傳單，用去65元，問甲、乙兩家印刷社各印多少張？(3)活動結(jié)