2023年黑龍江省哈爾濱三中高考數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析版

2023年黑龍江省哈爾濱三中高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

1.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知集合M=3^=20231x>l},N={川y=log的x，

0<x<l},則）

A-b|0<”七}B.50<"l}c.[y\^<y<]D.0

2.（5分）（2020?保定二模）在A48C中，“荏.元>0”是“A48C為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）定義在K上的奇函數(shù)/（X）滿足/（l+x）=/（l-x）.當(dāng)XG[0,

1］時，f(x)=xi+3x,則/(2023)=()

A.-4B.4C.14D.0

4.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）蘇軾是北宋著名的文學(xué)家、書法家、畫家，在詩詞文書

畫等方面都有很深的造詣.《蝶戀花春景》是蘇軾一首描寫春景的清新婉麗之作，表達了對

春光流逝的嘆息詞的下闕寫到：“墻里秋千墻外道.墻外行人，墻里佳人笑.笑漸不聞聲漸

悄，多情卻被無情惱.”假如將墻看作一個平面，秋千繩、秋千板、墻外的道路看作直線，

那么道路和墻面平行，當(dāng)秋千靜止時，秋千板與墻面垂直，秋千繩與墻面平行.在佳人蕩秋

千的過程中，下列說法中錯誤的是（）

A.秋千繩與墻面始終平行B.秋千繩與道路始終垂直

C.秋千板與墻面始終垂直D.秋千板與道路始終垂直

5.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知/（-1,0）,8（1,0）,若直線y=%（犬-2）上存在點P,

第1頁（共25頁）

使得N/P8=90。，則實數(shù)上的取值范圍為（）

3烏

，33

A.[-

且

C立

(-

，33

6.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）長郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選

手，將這12人任意分成3個組（每組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為

（）

1c3口1cl

AA.—B.—C?一D.一

555543

7.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）在邊長為3的菱形N8CD中，ABAD=60°,將A48。繞

直線8。旋轉(zhuǎn)到.A4BD,使得四面體48co外接球的表面積為18萬，則此時二面角

/'-8。-<7的余弦值為（）

A.--B.--C.-D.—

3233

8.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知6=0.21,c=e02-l,則（）

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a

二、多項選擇題（共4小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）

9.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知函數(shù)/（x）=sin（2x-工），則下列說法中正確的是（

6

）

A.y=\f（x）|的最小正周期為江

B.y=/（x）的圖象關(guān)于x對稱

C.若y=的圖象向右平移夕（夕>0）個單位后關(guān)于原點對稱，則s的最小值為（萬

D./（x）在［-工，白上的值域為［-1,1］

62

10.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知圓錐5。（。是圓錐底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）

的母線長為3,底面半徑為石.若尸，0為底面圓周上的任意兩點，則下列說法中正確的

是（）

A.圓錐S。的側(cè)面積為3店萬

第2頁（共25頁）

B.ASP。面積的最大值為2遙

C.三棱錐O-SP。體積的最大值為g

D.圓錐S。的內(nèi)切球的體積為士不

3

11.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知拋物線C:V=4y,。為坐標(biāo)原點，尸為拋物線C

的焦點，點尸在拋物線上，則下列說法中正確的是（）

A.若點/（2,3）,則|尸川+|P尸的最小值為4

B.過點8（3,2）且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條

C.若正三角形的三個頂點都在拋物線上，則AOAE的周長為86

D.點，為拋物線C上的任意一點，G（0,-l）,\HG\=t\HF\,當(dāng)f取最大值時，\GFH

的面積為2

12.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知00,［片0且6>-1,ab=（ea-V）ln（b+V）,則

下列說法中錯誤的是（）

A.a4b

B.若關(guān)于b的方程”=加有且僅有一個解，則機=e

a

C.若關(guān)于b的方程型=〃，有兩個解a，b2,則4+&>2e

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）d-2）（l-2x）4的展開式中，常數(shù)項為一.

X

21

14.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知x+y=4,且x>y>0,則——+—的最小值

x-yy

為一.

15.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）設(shè)S,是數(shù)列｛%｝的前〃項和，Sn=2a?+n-3,令

b“=bg/%-1），則5.'苞=——'

16.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）如圖，橢圓三+4=1與雙曲線工-4=1（切>0,〃>0）

a~hm~n

有公共焦點片（-c,0）,F2（C,0）（c>0）,橢圓的離心率為q,雙曲線的離心率為e2,點尸為

第3頁（共25頁）

13

兩曲線的一個公共點，且/￡尸巴=60。，則r+?=；/為△片出的內(nèi)心，F(xiàn)、，I,G

e\e2

三點共線，且不標(biāo)=0,軸上點4,8滿足刃=2",就=〃不，則;12+〃2的最小值

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知A/18C中，角/,B,C的對邊分別為a,h,

c,設(shè)&48C外接圓的半徑為R,且bc=2R“l(fā)+2cos8cosC）.

（1）求角力的大??；

（2）若。為8c邊上的點，AD=BD=2,CD=1,求tan8.

18.（12分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知遞增等差數(shù)列｛%｝滿足：出+%+%=27,q,

%，%成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

勺+1

（2）若a="j2~,求數(shù)列也,｝的前〃項和刀,.

。，，+”“+2

19.（12分）（2023?道里區(qū)校級一模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面N8C。是邊長為

2的菱形，"AD為等邊三角形,平面尸"L平面/8C。，PBVBC.

（1）求點N到平面P8c的距離；

（2）E為線段PC上一點，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為嚕,求平面ADE

與平面45CO夾角的余弦值.

第4頁（共25頁）

E

C

20.（12分）（2023?道里區(qū)校級一模）在數(shù)學(xué)探究實驗課上，小明設(shè)計了如下實驗：在盒子

中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個球，不放回.

（1）若盒子中有8個球，其中有3個紅球，從中任意摸兩次.

①求摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率；

②記摸出的紅球個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）若1號盒中有4個紅球和4個白球，2號盒中有2個紅球和2個白球，現(xiàn)甲、乙、丙

三人依次從1號盒中摸出一個球并放入2號盒，然后丁從2號盒中任取一球.已知丁取到紅

球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.

21.（12分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知平面內(nèi)動點M到定點F（0,l）的距離和到定直線

y=4的距離的比為定值g.

（1）求動點〃的軌跡方程；

（2）設(shè)動點〃的軌跡為曲線C,過點（1,0）的直線交曲線C于不同的兩點4、B,過點4、

8分別作直線x=/的垂線，垂足分別為4、B、,判斷是否存在常數(shù)/,使得四邊形

的對角線交于一定點？若存在，求出常數(shù)，的值和該定點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22.（12分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知函數(shù)/（幻=/?%-依2+x+l.

（1）當(dāng)。=0時,求函數(shù)g（x）=xe*-/（x）的最小值；

（2）當(dāng)y=/（x）的圖象在點（1,f（1））處的切線方程為y=l時，求。的值，并證明：

當(dāng)時，f/〃（1+與＜（6+IP-2.

k=\k

第5頁（共25頁）

2023年黑龍江省哈爾濱三中高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題(共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的)

1.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)已知集合M=UR=2023\x>\},N={y\y=log2023x,

0<x<l},則M0|N=()

A.卜l0<V<B.30<"l}C.^y\-L-<y<^D.0

【解答】解：集合A/=3y=2023-*,x>1}={y10<y<^^}，I>>=log2023x,

0<x<1}=(-oo,0),

則.

故選：D.

2.(5分)(2020?保定二模)在A43c中，“荏?元>0”是“A48c為鈍角三角形”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解答】解：?.?在?蔗>0,KP|A8|-|SC|cos6>>0,

COS0>0,且。€(0,萬)，

所以兩個向量的夾角。為銳角，

又兩個向量的夾角e為三角形的內(nèi)角B的補角，

所以8為鈍角，所以418c為鈍角三角形，

反過來，A48c為鈍角三角形，不一定8為鈍角，

則“萬?前>0”是“A/1BC為鈍角三角形”的充分條件不必要條件.

故選：A.

3.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)定義在/?上的奇函數(shù)/(x)滿足/(l+x)=3。7).當(dāng)xw[0,

1]時，/(x)=d+3x,則/(2023)=()

A.-4B.4C.14D.0

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(1滿足f(l+x)=f(l-x),變形可得f(2+x)=f(-x),

第6頁(共25頁)

又由/(x)為奇函數(shù)，則/(-x)=-/(X),則有f(x+2)=-f(x),

則有/(x+4)=-/(x+2)=/"),即函數(shù)/(X)是周期為4的周期函數(shù)，

故/(2023)=/(-1+2024)=/(-1)=-/(1)=-(1+3)=-4,

故選：A.

4.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)蘇軾是北宋著名的文學(xué)家、書法家、畫家，在詩詞文書

畫等方面都有很深的造詣.《蝶戀花春景》是蘇軾一首描寫春景的清新婉麗之作，表達了對

春光流逝的嘆息詞的下闕寫到：“墻里秋千墻外道.墻外行人，墻里佳人笑.笑漸不聞聲漸

悄，多情卻被無情惱.”假如將墻看作一個平面，秋千繩、秋千板、墻外的道路看作直線，

那么道路和墻面平行，當(dāng)秋千靜止時，秋千板與墻面垂直，秋千繩與墻面平行.在佳人蕩秋

千的過程中，下列說法中錯誤的是()

A.秋千繩與墻面始終平行B.秋千繩與道路始終垂直

C.秋千板與墻面始終垂直D.秋千板與道路始終垂直

【解答】解：設(shè)墻面為a,秋千靜止時所在平面為￡,秋千板所在直線為/,秋千繩所在直

線為加，秋千蕩起來某個過程所在平面為？，

由于秋千繩在運動過程中形成的平面與墻面平行，則秋千繩與墻面始終平行，”正確；

由于〃//a,則//秋千繩在運動過程中形成的平面，在靜止時〃，機，運動起來的時候(除

了機處)兩者都不垂直，8錯誤；

由圖可知/在運動過程始終與a垂直，C正確;

由圖可知1/在運動過程始終與"垂直，。正確.

故選：B.

第7頁(共25頁)

5.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)已知4(-1,0),8(1,0),若直線y=A(x-2)上存在點P,

使得N4P8=90。，則實數(shù)后的取值范圍為()

0口

33

A.[-

石

C且

(-

3『3

【解答】解：若乙4PB=90°,則點P在以4(-1,0),8(1,0)為直徑的圓上(點尸不能是N、

8),

?.?以Z(-1,0),8(1,0)為直徑的圓的圓心為。(0,0),半徑廠=1,則圓。的方程為/+/=1,

即直線y=%(x-2)與圓O:f+/=i有公共點(公共點不能是4、B),

當(dāng)直線y=%(X-2)與圓O：f+y2=］有公共點時，解得

押+(-1)2

當(dāng)直線y=k(x-2)與圓。:公+了2=1的公共點為/或8時，k=0,不符合題意；

綜上，實數(shù)4的取值范圍為［-*,o)u(o,日］.

故選：B.

6.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)長郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選

第8頁(共25頁)

手，將這12人任意分成3個組（每組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為

（）

A.—B.—C.-D.

555543

【解答】解：12個隊平均分成3組，共有種組隊方式,

4

若3個強隊恰好在同一組，則共有嚀4種組隊方式,

段

j33

故所求概率尸=

55

故選：B.

7.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）在邊長為3的菱形18co中,ZBAD=60°,將&4ao繞

直線8。旋轉(zhuǎn)到.△48。，使得四面體N'BCZ）外接球的表面積為18〃，則此時二面角

/'-8。-。的余弦值為（）

.1口11八百

A.—B.—rC.—D.—

3233

【解答】解：取8。的中點E,連接ZE,CE,則8OJ.4E,BZJJ.CE,'

.?.N4EC為二面角4-8。-C的平面角，設(shè)N/EC=29

由題意可知△A'BD和A5C。都是邊長為3的等邊三角形，

設(shè)A1,N分別是△48。和A8CD的中心，過W,N分別作兩平面的垂線，

則垂線的交點就是三棱錐外接球的球心O,

???A'E=CE=3sin6o0=—,ME=NE=—,CN=6,

22

由ROME=\ONE可得NOEM=/LOEN=Q,

因為四面體/'8CD外接球的表面積為18%,所以外接球的R,滿足4萬斤=18萬，所以

R=OC=逑，

2

所以O(shè)N=甚二=整,3

可得OE=二，故cos6=-1-

23'

2

所以（：0528=2（：0526-1二-！，

3

即二面角H-8O-C的余弦值為-L

3

第9頁（共25頁）

故選：A.

8.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)已知〃=>1.21,6=0.21,c=<?°2-1,則()

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a

【解答】解：構(gòu)造/(x)=/〃(l+x)-x,x>0,

/'(X)=J--1=產(chǎn)<0，

1+x1+x

函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且"0)=0,

所以/(x)</(0)=0，

即/”(1+X)<X,

當(dāng)x=0.21時，>1.21<0.21,即a<6；

?.-1.215?2.59<e,,nTWO.21<e02-1,即6<c；

故選：C.

二、多項選擇題(共4小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)

9.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)已知函數(shù)〃x)=sin(2x-王)，則下列說法中正確的是(

6

)

A.y=|/(x)|的最小正周期為萬

B.y=f(x)的圖象關(guān)于對稱

C.若y=/(x)的圖象向右平移以夕>0)個單位后關(guān)于原點對稱，則夕的最小值為

D.f(x)在上的值域為[-1,1]

62

【解答】解：函數(shù)/(x)=sin(2x-乙)的周期為：萬：y=|/(x)|的最小正周期為工，所以/不

正確;

第10頁(共25頁)

x=9時，/（x）=sin（2x?-令=sin'=l,所以y=/（x）的圖象關(guān)于x=q對稱，所以8正

確；

y=/（x）的圖象向右平移0（9>0）個單位后關(guān)于原點對稱，即：y=sin（2（x-e）-工），關(guān)于

6

原點對稱，

可知：-2（p-?=k兀,^=~~2~~^29kcZ,當(dāng)人=一1時，（p>0,/的最小值為言，所

以。不正確；

xe[-py],2x-^e[-y,^],所以/（x）在[-奈夕上的值域為[-1,1],所以“正確;

故選：BD.

10.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知圓錐S。（。是圓錐底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）

的母線長為3,底面半徑為逐.若P,。為底面圓周上的任意兩點，則下列說法中正確的

是（）

A.圓錐S。的側(cè)面積為3&

B.ASP0面積的最大值為2石

C.三棱錐O-SP。體積的最大值為g

4

D.圓錐SO的內(nèi)切球的體積為一1

3

【解答】解：對選項/,圓錐SO（。是圓錐底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為3,

底面半徑為6.

圓錐的高為2,設(shè)8c是底面圓的一條直徑，S惻=；x2#x3;r=3有乃，所以《正確；

1o

選項8,圓錐的頂角N8OC>90。，三角形SP。面積的最大值為5x3x3=],故8錯誤;

對于C,四面體SOP。的體積的最大值為：!xlxV5xV5x2=1,故C正確；

選項。，設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r,可得：也=阻，即二=三，

OCSCJ53

解得廠=心結(jié)，

3+V5

第11頁（共25頁）

所以圓錐SO的內(nèi)切球的體積為3X%X()3聲3萬，故。錯誤;

33+2亞3

故選：AC.

11.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)已知拋物線C:Y=4y,0為坐標(biāo)原點，尸為拋物線C

的焦點，點P在拋物線上，則下列說法中正確的是()

A.若點，(2,3),則|尸川+|尸尸|的最小值為4

B.過點5(3,2)且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條

C.若正三角形ODE的三個頂點都在拋物線上，則AODE的周長為

D.點〃為拋物線C上的任意一點，G(0,-l),\HG\=t\HF\,當(dāng)f取最大值時，AGFH

的面積為2

【解答】解：由拋物線的定義可得，|尸尸|等于點尸到拋物線準(zhǔn)線的距離，

所以|尸川+1尸產(chǎn)|的最小值為點A到拋物線準(zhǔn)線的距離4.故/正確：

因為3?>4x2,故過點8(3,2)且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有三條，

其中兩條為拋物線的切線，一條為過點5(3,2)且與拋物線對稱軸平行的直線，故B錯誤；

???頂點在原點。的正三角形與拋物線相交于。、E兩點，

設(shè)正三角形的邊長為2根，.?.根據(jù)對稱性，可得。(加,￡>(?〃?,??),

且點。在拋物線上，.,./=4屬，解得"?=46,

.?.這個正三角形的邊長為6m=246，故C錯誤；

第12頁(共25頁)

對。選項：尸為拋物線的焦點，如圖，過，作垂直拋物線C的準(zhǔn)線y=-l于點

由拋物線的定義，知/=四=乜31

I4用1。切sinZHGD

???當(dāng)f取最大值時，取最小值，即直線G〃與拋物線。相切.

設(shè)直線HG的方程為y=kx-\,

.\y=kx-\/口?

由《，，得/-46+4=0,

lx=4y

△=\6k2—16=0,％=±1,/.x2±4x+4=0,

x=±2,/.//(±2,1),

:.SXCFH=；|G尸I=1x2x2=2,故。正確.

故選：AD.

12.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)已知"0,"0且6>-1,ab=(ea-l)ln(b+l),則

下列說法中錯誤的是()

A.a0

B.若關(guān)于6的方程上吆=，”有且僅有一個解，則機=e

a

C.若關(guān)于b的方程上^="有兩個解4，b,,則4+a>2e

a

D.當(dāng)a>0時，-<-1+—?—

b22b+2

【解答】解：因為必=(e"-l)/〃(b+l),化簡可得J_=色女工，令〃》)=七二。力0)，

e-1be-1

則f'(x)=￡(7二,且有f[ln(x+1)]=/w(x+1),

(ex-1)x

令〃(x)=e*(l-x)-l,則h\x)=e*(l-x)-e*=-xex,

故x<0時，h'(x)>0,函數(shù)〃(x)在(-oo,0)上遞增,

x>0時，h'(x)<0,函數(shù)〃(x)在(0,+oo)上遞減，

所以力(x)W%(0)=0，

即f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,

第13頁(共25頁)

所以Q=ln(h+1),

且令g(x)="-(x+1)，

則g'(x)=靖一1,

令g'(x)>O，得x>0,則g(x)遞增,

令g'(x)<0，得x<0,則g(x)遞減，

所以g(x)》g(O)=O，

即+所以6=成立，故4正確；

aa

14.APe

由---=--m轉(zhuǎn)化為yku=—與y=用的交點問題,

aaa

當(dāng)。￡(l,+oo)時，/>0,則y=J單調(diào)遞增,

a

當(dāng)a￡(0,l)時，y<0,則J單調(diào)遞減，

a

即當(dāng)Q=1時，函數(shù)有極小值e,

所以只有一個解時加=e或加<0,故5錯誤;

由上吆=￡1=機，由圖易知，不妨設(shè)4<b,,

aa

■心

則0<4<1<4，則有—=—,

b\b2

所吟w

所以仇=也，代入可得冽f=f,

第14頁(共25頁)

取對數(shù)可得4(”1)=?！?

所以/,=生，

'r-1

即b2=tbt=--y,/>1,

所以A+&=>2e(f-1)是否成立,

即(/+l)lnt>2e(/-l)是否成立,

令〃[?)=(/+\)lnt-2e(Z-l),/>1,

取f=e時，m(e)=e+1-2e(e-1)<0不成立，故C錯誤;

因為—

h22(6+1)

a

kn|nJ-------<11---1------j

ea-l22ea

2a.12aea一「廠山…°…

——-<1H——,——-<c+1,所以2cle<(e+l)(e—1)，

令z(a)=e2fl-1-2aea,a>0,只需證明z(a)>0成立即可,

z'(a)=2e2a-2(a+V)ea=2ea(ea-l-a)>0,

所以z(a)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以z(a)>z(0)=0成立，故。正確.

故選：BC.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)己-2)(1-2x)4的展開式中，常數(shù)項為

X

【解答】解：(l-2x)4的展開式通項為&|=C：.(_2x)'=C>(-2上￡,其中/?€{(),1,2,3,

4｝，

因為(工-2)(1-2x>=1(1_2幻4_2。_2外4,

XX

在』7；+1=0?(-2)J》13=0,1,2,3,4)中，由/■-1=0,可得r=l,

X

在-24M=C;(-2產(chǎn)?//=(),1,2,3,4)中，得&=0,

所以展開式中，常數(shù)項為C；《-2)-2C：=-10.

故答案為：—10.

第15頁(共25頁)

21

14.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)已知x+y=4,5.x>y>0,則——+—的最小值為

x-yy

2.

【解答】解：x+y=4,且x>y>0,

2+12y+x—yx+y442

x-yy(x-y)y(x-y)y(x-y)y(4-2y)y-y2+2y

令g(y)=-y2+2y,

g(y)=-y2+2y=~(y-1>+1,

當(dāng)y=i時,g(y)max=i>

當(dāng)y=1,

則x=4-y=3,滿足x>y>0,符合題意，

故二_+_L的最小值為2=2.

x-yy1

故答案為：2.

15.(5分)(2023?道里區(qū)校級一模)設(shè)S,是數(shù)列｛%｝的前〃項和，S?=2a?+n-3,令

b,=log」(%-1)>貝IJ+"5+6/=31?

【解答】解：已知5“是數(shù)列｛%｝的前〃項和,S?=2an+n-3)

則%=S,-Si=2%+”3-2%-1)+3，

即4-1=2(%-1),

又％=2%—2,

即々—1=1,

即數(shù)列0-1｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

即4=

則“=1嗚(。“-1)=，嗚21=；(〃T)，

3.1-1125-1,

bb+…+b125x(—+—.-)

則01+02+—+0125=----------2-------2—=31,

1252x125

故答案為：31.

第16頁（共25頁）

16.（5分）（2023?道里區(qū)校級一模）如圖，橢圓三+￡=1與雙曲線￡-4=1（/?>0,〃>0）

ab~m"n

有公共焦點耳（-。,0）,F2（C,0）（c>0）,橢圓的離心率為4,雙曲線的離心率為內(nèi)，點尸為

11

兩曲線的一個公共點，且N￡P(guān)g=60。，則皿+毆=4；/為△￡尸鳥的內(nèi)心，耳，/,

eie2

G三點共線，且訐?爐=0,軸上點8滿足力=/1萬，BG=pGP,則無+"的最小

【解答】解：①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為|々￡|=2c,橢圓的長軸長為2a,雙曲線的

實軸長為2m,不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，

由雙曲線的定義：|尸;"-|尸鳥|=2根，由橢圓的定義：|尸耳|+|P￡J=2"，可得：|尸耳上zn+a,

|PF2\=a-m,

又/丹桃=60。，由余弦定理得：I尸耳『+|尸"『一|尸耳|.|沙|=|￡入『=4。2,

即（）2+a）2+（。一加y-（加+a）?（a-加）=4c2,整理得：a2+3m2=4c2,

uu，、ia3〃z.pm13.

所以：-7H--5--4,BP—+—=4:

cce,e2

則有編同理:

②?.?/為△￡尸鳥的內(nèi)心，所以僅為/尸片鳥的角平分線,

iw=m

\AF2\~\AI\)

,1^1\PF2\_\IP\

,,\AF,\~\AF2\~\AI\'

.\IP\\PFX\+\PF2\_2a

BP|Al\=e]\IP\,

,,\AI\~\AF,\+\AF2\~2c~e,

???71=痔,

第17頁（共25頁）

：.\AI\=\A\\7P\,故|刈=巧，

為△耳「工的內(nèi)心，G，I,G三點共線,

即《G為/坨B的角平分線，則有回1=也=即，

\PG\\PF2\\PFA

又18g何期I，

.|Gg|\BF\-\BF\_2c_

}2即|麗=e?|研,

"\PG\~\PF,\-\PF2\~2m~

BG=juGP,.?」就|=|〃||研，^i\=e2,

A2+"=q2+e；=；（e；

當(dāng)且僅當(dāng)天=冬，即e?=任時，等號成立，

紇<

Z2+/?的最小值為1+等,

故答案為：4,1+^^.

2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知A4BC中，角力,B,C的對邊分別為a,b,

c,設(shè)A48c外接圓的半徑為R,且加=2Rp+2cos5cosC）.

（1）求角力的大?。?/p>

（2）若。為8c邊上的點，AD=BD=2,CD=\,求tanB.

【解答】解：（1）己知A/18C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)A48c外接圓

的半徑為及，且bc=2R2（l+2cos8cosC）,

貝I」4/?2sin8sinC=2/?2（1+2cosBcosC）,

則2sin3sinC=l+2cos8cosC,

即cosBcosC-sin5sinC=--,

2

即cos（S+C）=-1,

第18頁（共25頁）

又B+Cw(O,乃),

則8+C==，

3

nriA27F7t

即力=萬----=一

33

（2）已知。為8c邊上的點，AD=BD=2,

設(shè)6=e,

24JT

則=c=--0ZDAC=一一。，

3f3

因為。。=1,

CDAD

所以在A4Z）。中由正弦定理可得———

sinZ.DACsinC

sin(y-0)sin(-y--0)

即sin(^-0)=2sin(y-0),

即JJsin。=cos。，

旦

即tan0=3

立

即tanB-3

18.（12分）（2023?道里區(qū)校級一模）已知遞增等差數(shù)列｛（｝滿足:%+%+%=27,%,

在，名成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列缶“｝的通項公式；

冊+i

02

（2）若~求數(shù)列物,｝的前”項和7；.

%+口“+2

【解答】解：（1）設(shè)遞增等差數(shù)列｛a,J的公差為d,d>0,

又小+&+%=27,%,。2，as成等比數(shù)列，

第19頁（共25頁）

則3q+12d=27,(q+d)2=q(q+4d)，

聯(lián)立求解uj得q=1,d=2,

則勺=1+2("-1)=2〃-1,

即數(shù)列｛可｝的通項公式為a“=2〃-1；

%+1

/c、…，，、-r，n,a-22(2?-l)x2"2n+l2"

an+\an+i(2N+1)(2"+3)2H+32n+1

門，222232224232"+l2"

則T?=(--------)+(---------)+(---------)+...+(------------------)

"5375972n+32n+l

2"+I2

~2n+3~3'

19.(12分)(2023?道里區(qū)校級一模)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面是邊長為

2的菱形，為等邊三角形，平面平面PB1BC.

(1)求點4到平面P8C的距離；

(2)￡為線段PC上一點，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為叵,求平面ADE

10

與平面48co夾角的余弦值.

【解答】解：(1)取4。的中點。，連接。8,OP.如圖所示：

為等邊三角形，AD=2,

OPLAD,AO=\,OP=y/3,

又平面平面/BCD,且平面P4OC平面=。尸u平面PZ。，

0P，平面ABCD,

???OBu平面ABCD,

OP1OB,

PBVBC,BCHAD,

ADLPB,

第20頁(共25頁)

???OPLAD,且OPu平面P08,P8u平面尸。8,OP[\PB=P,

AD±平面POB,

OBu平面POB,

OBLAD,

在菱形48C。中，AB=2,則08=6,

PB=>JPO2+OB2=瓜,

設(shè)點A到平面PBC的距離為h,則VA_PBC=VP_ABC,

=OP,即,x'x2x病=:X1X6X2XVJ，解得人=逅，

3332322

故點A到平面PBC的距離為好；

2

(2)由(1)得04,OB,0P兩兩垂直，則建立以。為原點的空間直角坐標(biāo)系O-師,

則0(0,0,0),尸(0,0,73),C(-2,60),4(1,0,0),D(-1,0,0),

E為線段尸C上一點，設(shè)方=f定，則E(-2f,拒t,百-4),

AE=(~2t-1,8,0同,

?：OP1ABCD,

平面48co的法向量為麗=(0,o,5，

.?"os<而，荏>|=E在?13-加=叵，解得

\OP\-\^E\"(一2f-Ip+3/+函-育產(chǎn),近1°3

,唁,咚半)，

設(shè)平面4。上的法向量為五=(x,y,z),

n?AD=-2x=0

則一_5百26,取y=-2,則x=0,z=l,

n?AE=—x4----y4-------z=0

333

平面4OE的法向量為萬=(0,-2,1),

??.平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值為|cos〈萬，OP>|=m絲=r=—,

\n\-\OP\V3xV55

故平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值為—.

5

第21頁(共25頁)

,z

20.（12分）（2023?道里區(qū)校級一模）在數(shù)學(xué)探究實驗課上，小明設(shè)計了如下實驗：在盒子

中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個球，不放回.

（1）若盒子中有8個球，其中有3個紅球，從中任意摸兩次.

①求摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率;

②記摸出的紅球個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）若1號盒中有4個紅球和4個白球，2號盒中有2個紅球和2個白球，現(xiàn)甲、乙、丙

三人依次從1號盒中摸出一個球并放入2號盒，然后丁從2號盒中任取一球.已知丁取到紅

球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.

【解答】解：（1）①設(shè)事件4="摸出的兩個球中恰好有一個紅球”,

P(A)=C當(dāng)'C'一15,

Cl28

CkC2~k515

②X可取0,1,2,尸(X=k)=3；,k=0,1,2,P(X=0)=—,P(X=\)=—,

Cu1428

3

P(y=2)=—,

2o

故X的分布列為

X012

p5153