圓與相似證明

#1、如圖，AB是圓0的直徑，點C、D在圓0上，且AD平分ZCAB.過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E,與AB的延長線相交于點F.（1）求證：EF與圓0相切；（2）若AB=6，AD=4V2,求EF的長。角平分線、平行線、弧中點、等腰三角形、垂徑定理，角平分線性質(zhì)；（旋轉(zhuǎn)相似，AADEsAABD，或者通過DG丄AB,求出DE，法一、平行線型相似，△ODFs^AEF,法二、外部母子型，AEDFsADAF，法三、平移縮放相似，0D與BC交于點G,BD=CD，△OGB^^AEF）2、如圖，AB是00的直徑，點C在00上,ZCAB的平分線交00于點D,過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E,連接BC交AD于點F.（1）猜想ED與00的位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）若AB=6,AD=5,求AF的長.（法一，內(nèi)部母子型；法二連接0D得到矩形，402。中面積法求解CE）3、如圖，AB為00的直徑，點C是00上一點，AD平分ZCAB交00于點D,過點D作DE丄AC于點E.(1求證：(1)DE是00的切線；(2)若AC=3,DE=2,求AD的長.)(△DCEs^AED，求出CE,ZCDA=ZCBA,ZEDC=ZEAD)4、如圖，AB是00的直徑，C為00上一點，ADICD,(點D在00外)AC平分ZBAD.(1)求證：CD是00的切線；(2)若DC、AB的延長線相交于點E,且DE=12,AD=9,求BE的長.(3)若00的半徑為4,ZE=30°，求AC長(求出AE，平行線型相似，△EC0s^EDA。第三問計算可得ZE=ZEAC=30°,AC=CE)5、如圖，已知AB是00的直徑，直線l與00相切于點C,過點A作直線l的垂線，垂足為點D,連接AC.(1)求證：AC平分ZDAB；(2)若AD=3,AC=2V3,求直徑AB的長.（法一、旋轉(zhuǎn)相似△ADCs^ACB，法二，計算得ZDAC=ZCAB=30°,RTAACB求出AB）6、如圖，AB是00的直徑，AC是弦，ZBAC的平分線AD交00于點D,DE是00的切線，交AC的延長線于點E.求證：（1）DE丄AC；（2）若AE=4,ED=2，求00的半徑（旋轉(zhuǎn)相似，△ADEs^ABD，法二，作0F丄CA，垂徑定理。7、如圖，AB是00的直徑，點C是00上一點，ZBAC的平分線AD交00于點D,過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E.（1）求證：DE是00的切線；（2）如果AD=5,AE=4，求AC長.（連接BC,垂徑定理，矩形得BC=2DE，旋轉(zhuǎn)相似求出AB,得出AC。簡單方法，作OF丄CA，垂徑定理。）8、如圖，AB為00的直徑，AC為00的弦，AD平分ZBAC，交00于點D，DE丄CA,交AC的延長線于點E.（1）求證：直線DE是00的切線；（1）若AE=8,00的半徑為5,求DE的長.（法一、作0F丄CA,垂徑定理。法二、連接BC、0D。法三旋轉(zhuǎn)相似，求AD。）9、如圖，AB是00的直徑，點C為00上一點，0F丄BC于點F,交00于點E,AE與BC交于點H,點D為0E的延長線上一點，且Z0DB=ZAEC.（1）求證：BD是00的切線；（2）求證：CE2=EH?EA；（3）若00的半徑為5,sinA=3/5,求BH的長.

(垂徑定理，母子型相似，連接BE,ABEHs^AEB，第46題簡單很多)10、如圖1,AABC內(nèi)接于00,1為厶ABC的內(nèi)心，延長AI分別交00、BC于D、E兩點。(1)求證：DI=DB；(2)如圖2,連接01，若01丄AD,AD=8,AC=7，求線段AB的長。(旋轉(zhuǎn)相似,8字形,△AECs^ABDs^bed)11、如圖，AB是00的直徑，BC是00的切線，連接AC交00于點D,E為弧AD上一點，連結(jié)AE,BE,BE交AC于點F,且AE2=EF?EB.(1)求證：CB=CF；(2)若點E到弦AD的距離為1,cosZC=3/5求00的半徑.(△AEF^ABEA,ZEFA=ZEAB=ZFBCo易證E為弧中點，連接0E交AC于G,cosZC=sinZCAB12、如圖，已知△ABC,以邊BC為直徑的00與邊AB交于點D,點E為BD的中點，AFABC的角平分線，且AF丄EC.（1）求證：AC與00相切；（2）若AC=6,BC=8,求EC的長.（三線合一，第一問方法比較多，比如ZEBH=ZECB，或者ZECB=ZECD或者ZECB=Z0EC；第二問法一，內(nèi)部母子型，△EHBs^EBC；法二，笨方法，連接CD，面積法求出CD,射影定理圖形求出AD、DH、CH、BH,再求EH）13、如圖，已知BC是以AB為直徑的0的切線，且BC=AB,連接0C交00于點D,延長AD交BC于點E,F為BE上一點，且DF=FB.（1）求證：DF是00的切線；（2）若BE=2,求00的半徑.（切線證明，連接0F全等或者連BD等腰均可。直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角函數(shù)值，倒A型相似，△CDFs^CB0）14、如圖：AB是00的直徑,BC是00的切線,0C與00相交于點D,連接AD并延長，與BC相交于點E.（1）若BC=3,CD=1,求00的半徑；（2）取BE的中點F,連接DF，求證：DF是00的切線.（3）過D點作DG丄BC于G,DG與0E相交于點M,求證：DM=GM.(勾股定理。連接BD,DF斜邊中線。平行線型相似，DM：AO=GM：BO)15、如圖，AB是00的直徑，點C為OO上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E,AE交00于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC，BC,PB：PC=1：2.(1)求證：AC平分ZBAD；(2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AD=3,求厶ABC的面積.(外部母子型，AB=3PB,AC=2BCOOH丄AD,^PCO^^PEA，求出半徑。)16、如圖，AB是半圓0的直徑，C是AB延長線上一點，CD與半圓0相切于點D,連接AD,BD.(1)求證：ZBAD=ZBDC；(2)若sinZBDC=V5/5,BC=2，求OO的半徑.（外部母子型相似）17、如圖，AB是00的直徑，AC是弦，ZBAC的平分線AD交00于點D,DE丄AC,交AC的延長線于點E.OE交AD于點F.（I）求證：DE是00的切線；（II）若AE:AB=4:5，求AF:DF的值.（X型相似）18、如圖，已AB為00直徑，AC是00的弦，ZBAC的平分線AD交00于D,過點D作DE丄AC交AC的延長線于點E,0E交AD于點F,cosZBAC=3/5（1）求證：DE是00的切線；（2）若AF=8，求DF的長.（OD、BC相交于點G,OG中位線，根據(jù)比例求DG=CE,X型相似）19、如圖，已知AB是00的直徑，C是OO上一點，ZBAC的平分線交00于點D,交00的切線BE于點E,過點D作DF丄AC，交AC的延長線于點F.（1）求證：DF是O0的切線；（2）若DF=3，DE=2.①求BE：AD值；②求ZFAB的度數(shù).（射影定理相似和旋轉(zhuǎn)相似，△BDEs^ABE,△ADF^^AEB，根據(jù)比例，算出BE、AD即可）20、如圖，AB為O0的直徑，C為圓上一點，AD平分ZBAC交O0于點D,DE丄AC交AC的延長線于點E,過B作FB丄AB交AD的延長線于點F.（1）求證：DE是O0的切線；（2）若DE=4,00的半徑為5,求AC和BF的長.(法一、連接BC、0D,垂徑定理BC=2DE,求AC、CE。法二，作OH丄AC,垂徑定理。法三，作DPIAB,DP=DE,求出AP,平行線型相似求BF)21、如圖，AB為00的直徑，CE是00的切線，且AE丄CE,垂足為E,BC的延長線交AE的延長線于點D.(1)求證：ZDAC=ZBAC；(2)若CE=2DE,AD=10,AC=4V5,求DE的長(勾股定理)22、如圖，AB為00的直徑，C為00上一點，連AC、BC,E為00上一點，且BE=CE,點F在BE上,CF丄AB于D。(1)求證：CB=CF；(2)若CF=2,EF=3,求BD的長。（△BCEs^bfc,設BF=X,BE：CF=BC：BF,求出BF；求BD法1,勾股定理法，BC2-CD2=BF2-DF2；法2,面積法，做CG丄FB）23、如圖，AB是00的直徑，BC丄AB,連結(jié)0C,弦AD〃0C，直線CD交BA的延長線于點E.求證：直線CD是00的切線；若DE=2BC，求AD：0C的值.(3)若DE=2BC,EA=4，求00的半徑.(△C0D9AC0B。BC=CD,平行線型相似。)上的一點，且ZBDE=24、如圖，AB是00的直徑，點D上的一點，且ZBDE=ZCBE,BD與AE交于點F.(1)求證：BC是00的切線；(2)若BD平分ZABE，求證：DE2=DF?DB；⑶在⑵的條件下，延長ED,BA交于點P,若PA=A0,DE=2,求PD的長和00的半徑.（弦切角定理，角平分線=＞平行線型相似、外部母子型、燕尾型相似。APDOs^peb,△PDBs^pae,或者△PDAs^pod,從割線出發(fā)的母子型是到圓心構(gòu)成三角形）25、如圖，在△ABC中，BC=AC,以BC為直徑的0O與邊AB相交于點D,DE丄AC，垂足為點E.（1）判斷DE與0O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若DE的長為2V2,cosB=1/3，求0O的半徑.（CD三線合一，角平分線有平行，求出AD,三角函數(shù)求AC即可，或者△ACD射影定理相似）26、如圖，RtAABC中，ZA=90°，以AB為直徑的0O交BC于點D,點E在OO上,CE=CA,AB,CE的延長線交于點F.:CE與:CE與00相切;⑵若00的半徑為3,EF=4,求BD的長.(倒A型相似，AOEFs^CAF,△ABC等腰三角形，AD三線合一)27、如圖，AB是00的直徑，CD是00的切線，切點為C.延長AB交CD于點E.連接AC,作ZDAC=ZACD,作AF丄ED于點F,交00于點G.(1)求證：AD是00的切線；(2)如果00的半徑是6cm,EC=8cm,求GF的長.(平移縮放相似，RtACEO勾股定理△AEFs^OEC,RtAABGsRt^AEF)28、如圖所示，已知P為00外一點，PA為00的切線，A為切點，B為00上一點，且PA=PB，連接0P、AB相交于點D,過點0作0C丄0P交00于C，連接BC交0P于E.(1)求證：PB為00的切線；(2)連接AC，若tanZACB=3/4，00的半徑為5,求CE的長.（X型相似，△BDEs^COE）29、如圖，已知00是AABC的外接圓，AB是0O的直徑，D是AB延長線上一點，AE丄DC交DC的延長線于點E,且AC平分ZEABo（1）求證：DE是00的切線；（2）若AB=6，AE=24/5,則BD=BC=。（BD，連接0C平行線型相似，BC可以先求CE,面積法or旋轉(zhuǎn)相似，或者求AC勾股定理）30、如圖，00是厶ABC的外接圓，AD是00的直徑，AD與BC相交于點M,且BM=MC.過點D作BC的平行線，分別與AB、AC的延長線相交于點E、F.⑴求證：EF與00相切；⑵若BC=2V15.MD=V5求CE的長.(垂徑定理求半徑，△ABCs^AEF.ZCAM=30°.作CNIEF，垂足為N.CN=MD.)31、如圖，AABC內(nèi)接于直徑為BC的圓0,過點A作圓0的切線交CB的延長線于點P,ZBAC的平分線分別交BC和圓O于點D、E，若PA=2PB=10.(1)求證：AC=2AB；(2)求AD?DE的值.(外部母子型相似，角平分線性質(zhì)，AC：AB=CD：DB(通過角平分線分兩三角形面積計算得到))32、如圖，AB是00的直徑，CD與00相切于點C,DA丄AB，D0及D0的延長線與00分別相交于點E、F,EB與CF相交于點G.(1)求證：DA=DC；(2)00的半徑為3,DC=4，求CG的長.(法一、AC與DF交于M,面積法求AC、BC,RTAAEM求出AE=CE=BF,求出BE=CF,X型相似ABCG^△FEG,或者或用厶ABCs^DOA求出AC；法二、連接GO,三線合一，0G丄EF,tanZF=tanZABE,作EN丄AB)33、如圖，點E是AABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓00相交于點D,BC是00的直徑，00的切線FD與AB的延長線交于點F.求證：DF〃BC；(2)若AC=6,DE=5V2,求BF的長(第10題類似，DE=DC,書上例4一樣的題目，簡單方法做BG垂直FD,ODGB為正方形，AFEGs^bca。容易理解的方法，母子相似和旋轉(zhuǎn)相似，^FDEs^FADs^DAC,△DAC兩邊知道，^FDE知道一邊)34、如圖，已知AB是00的直徑，點C在00上，D是AB的中點，過點C作CD的垂線，與DB的延長線相交于點E,若AC=3,BC=4,則DE=(△CBEs^CAD，可求出BD,BE。復雜的方法，CD、AB交于G,做GF丄CB,△CGF為等腰直角△,AACB“△GFB，求出CG、GF、BG、，進而求出DG，得到CD,△ACBs^DCE)35、如圖，AB是00的直徑，點C在OO上,D是00上的一個動點，且C,D兩點位于直徑AB的兩側(cè).連接CD,過點C作CE丄CD交DB的延長線于點E.若AC=2,BC=4,則線段DE長的最大值是(△ACBs^DCE,CD：CE=AC：AB,CD越大，CE越大，進而DE越大，所以CD是直徑時DE最大。)36、如圖，AB為O0的直徑，點C,D在O0上，AC〃OD,過點D的切線與AB的延長線交于點E,CB與0D相交于點F,若AB=V35,DB=V10.(1)求證：CB〃DE；(2)求BE的長（法一，外部母子型，AADEs^DBE,設BE=x,解方程，法二，內(nèi)部母子型，連接AD交BC于F,△ABD“△BFD,再用平行線分線段成比例；法三，作DG丄AB,△ADB面積法，BC交0D于F,BF=DG=1/2BC,△ACB“△ODE）37、如圖，AD是00的切線，切點為A,AB是00的弦.過點B作BC〃AD，交00于點C,連接AC,過點C作CD〃AB,交AD于點D.連接A0并延長交BC于點M,交過點C的直線于點P,且ZBCP=ZACD.（1）判斷直線PC與00的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB=9,BC=6.求PC的長.（弦切角，平行所以AM丄CB，法一，ZBCP=ZACD=ZBACP=ZP0C,法二，連接C0并延長至N,連接BN,第二問，法一垂徑定理基本圖形求出半徑，△0PCs^0CM，法二8字形相似AABM^△CPM，簡單）38、如圖，A、P、B、C是00上的四點，ZAPC=ZBPC=60。，AB與PC交于Q點.（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）求證：APAQPBQB（3）若ZABP=15。，△ABC的面積為4V3,求PC的長.（平行線法，或者X型相似，相交弦定理，第二問法一，做BD//AP,相似，BP=BD；法二，AAPOs^CBQ,△BPQs^CAQ,AC=BC，找需要的那一組邊AP、AQ，BP、BQ。第二問作BN丄PC）39、如圖，AB是00的直徑，C是00上一點，0D丄BC于點D,過點C作00的切線，交0D的延長線于點E,連結(jié)BE.（1）求證:BE與00相切；（2）連結(jié)AD并延長交BE于點F,若0B=9,求3mZA.SCBF的長3（垂徑定理，作DG丄AB于G,RTAOBD射影定理，△ADGs^ABF）40、如圖所示，AABC是直角三角形，ZABC=90°,以AB為直徑的圓0交AC于點E,點D是BC邊的中點,連結(jié)DE.（1）求證：DE與圓0相切；（2）若圓0的半徑為V3,DE=3,求AE。(直角三角形斜邊中線，面積法or射影定理)41、如圖所示，AB是00的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD丄AB于點D,CD交AE于點F,過C作CG〃AE交BA的延長線于點G.(1)求證：CG是00的切線.(2)求證：AF=CF.⑶若ZEAB=30°，CF=2，求GA的長.(垂徑定理，平行；等弧對等角；基本計算)42、如圖，00的直徑AC與弦BD相交于點F,點E是DB延長線上一點，ZEAB=ZADB.求證：EA是00的切線；已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；已知AF=4，CF=2，在(2)的條件下，求AE的長.(弦切角；直角加弦切角相似；相似得到AB：AC，勾股定理求解；)43、如圖，已知AB是00的直徑，BC是00的切線，B為切點，0C平行于弦AD,連接CD.過點D作DE丄AB于E,交AC于點P,求證：點P平分線段DE.(14題類似，連0D證全等，作切線AF，F(xiàn)A〃DE〃CB，對應成比例，切線長定理)44、如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作00交BC于點D,過點D作00的切線EF，交AB和AC的延長線于E、F.(1)求證：FE丄AB；(2)當AE=6，sinZCFD=3/5時，求EB的長.(連接0D，平行線型相似，勾股定理)45、如圖.已知AB是00的直徑.C是OO上一點，直線CE與AB的延長線相交于點E,AD丄CE于點D,AD交00于點F.AC平分ZDAE.(1)求證：CE是O0的切線.(2)若DC+DF=6.O0的直徑為10,求AF的長.(過0作0G丄AD，勾股定理)46、如圖，AB是O0的直徑，BD是O0的切線，點C為O0上一點，0D丄BC于點F交O0于點E