新教材2023版高中數(shù)學第二章導數(shù)及其應用7導數(shù)的應用學案北師大版選擇性必修第二冊

§7導數(shù)的應用7．1實際問題中導數(shù)的意義7．2實際問題中的最值問題最新課程標準學科核心素養(yǎng)運用導數(shù)解決一些實際問題．1.了解實際問題中導數(shù)的意義．(數(shù)學抽象)2．利用導數(shù)解決實際問題中的最值問題．(數(shù)學建模、數(shù)學運算)[教材要點]要點一導數(shù)的實際意義在日常生活和科學領域中，有許多需要用導數(shù)概念來理解的量．以中學物理為例，速度是________關于________的導數(shù)，線密度是________關于________的導數(shù)，功率是________關于________的導數(shù)等．要點二最優(yōu)化問題在實際問題中，經常會遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時間最少等問題，這些問題通稱為最優(yōu)化問題．導數(shù)是解決最優(yōu)化問題的一個重要工具．[基礎自測]1．如果物體做直線運動的方程為s(t)＝2(1－t)2，則其在t＝4s時的瞬時速度為()A．12B．－12C．4D．－42．將8分為兩數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不對3．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為()A．33B．C．1633D4．某吊裝設備在工作時做的功W(單位：J)是時間t(單位：s)的函數(shù)，設這個函數(shù)可表示為W(t)＝t3－2t＋6，則在t＝2時此設備的功率為________W．題型一導數(shù)在實際問題中的意義例1如圖所示，某人拉動一個物體前進，他所做的功W(單位：J)是時間t(單位：s)的函數(shù)，設這個函數(shù)可以表示為W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t從1s變到3s時，功W關于時間t的平均變化率，并解釋它的實際意義；(2)求W′(1)，W′(2)，并解釋它們的實際意義．方法歸納函數(shù)在某處的導數(shù)的實際意義1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)反映了函數(shù)在這點處的瞬時變化率，它揭示了事物在某時刻的變化狀況，導數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率．2．導數(shù)可以刻畫實際問題中兩個變量變化的快慢程度；在應用時我們首先要建立函數(shù)模型，利用定義或公式法則求出導數(shù)并能結合實際問題解釋導數(shù)的實際意義．跟蹤訓練1已知某商品生產成本c與產量q(0<q<200)的函數(shù)關系為c＝100＋4q，價格p與產量q的函數(shù)關系為p＝25－18q，求利潤L關于產量q的關系式，用L＝f(q)表示，并計算f′(80)題型二實際問題中的最值問題例2某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經預算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設距離為x千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為(2＋x)x萬元．設余下工程的總費用為y萬元．(1)試將y表示成關于x的函數(shù)；(2)需要修建多少個增壓站才能使總費用y最??？方法歸納利用導數(shù)的方法解決實際問題．當在定義區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．跟蹤訓練2某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加的銷售額為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該商場將當年的廣告費控制在三百萬元以內，則應投入多少廣告費，才能使公司由廣告費而產生的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入費用)(2)現(xiàn)在該商場準備投入三百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預算，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為-13x3＋x2＋3x題型三利用導數(shù)研究函數(shù)的問題角度1證明問題例3設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.構造函數(shù)g(x)＝ex－x2＋2ax－1.方法歸納關于證明問題首先分析要證明的命題是否與函數(shù)的最值、單調性等性質有關，如果有關則轉化為相應的問題證明；其次是針對要證明的命題構造函數(shù)，再通過構造的函數(shù)性質證明，函數(shù)的證明問題往往都比較復雜，需要綜合應用函數(shù)、導數(shù)等知識進行構造、轉化等方式證明．角度2函數(shù)的零點問題例4若函數(shù)f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．方法歸納已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構造的新函數(shù)的最值，根據題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分類討論法：結合單調性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．跟蹤訓練3(1)若函數(shù)f(x)＝lnx＋1x－a有且只有一個零點，則實數(shù)a的值為________(2)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在(0，1)處的切線斜率為－1.①求a的值及函數(shù)f(x)的極值；②證明：當x>0時，x2<ex.易錯辨析求解實際應用問題忽視定義域例5現(xiàn)有一批貨物由海上A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35kn，A地與B地之間的航行距離約為500nmile，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費用為每小時960元．(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(kn)的函數(shù)；(2)為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？解析：(1)依題意得y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，函數(shù)的定義域為(0，35]，即y＝480000x＋300x(0<x(2)因為y＝480000x＋300x(0<x≤35)所以y′＝－480000x2令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因為函數(shù)的定義域為(0，35]，當0<x≤35時，y′<0，所以函數(shù)y＝480000x＋300x在區(qū)間(0，35]所以當x＝35時，函數(shù)y＝480000x＋300x所以為了使全程運輸成本最小，輪船應以35kn的速度行駛．【易錯警示】出錯原因糾錯心得誤認為輪船的最大航行速度是40kn，但題目中給出了輪船的最大航行速度是35kn，因此x＝40是取不到的．解應用題最關鍵的就是要準確寫出數(shù)學模型的函數(shù)關系式，這其中就包括函數(shù)的定義域．求定義域時一定要根據題目的條件，考慮自變量的實際意義．[課堂十分鐘]1．某旅游者爬山的高度h(單位：m)關于時間t(單位：h)的函數(shù)關系式是h＝－100t2＋800t，則他在t＝2h這一時刻的高度變化的速度是()A．500m/hB．1000m/hC．400m/hD．1200m/h2．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，當所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm3．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋m只有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A．-B．(－∞，－2)∪C．-D．-4．某生產廠家生產一種產品的固定成本為1萬元，并且每生產1百臺產品需增加投入0.5萬元．已知銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)＝－18x3＋98x2＋12x(其中x是該產品的月產量，單位：百臺，0<x<8)5．設函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調性；(2)證明：當x∈(1，＋∞)時，1<x-§7導數(shù)的應用7．1實際問題中導數(shù)的意義7．2實際問題中的最值問題新知初探·課前預習要點一路程時間質量長度功時間[基礎自測]1．解析：s′(t)＝－4(1－t)．t＝4s時，s′(4)＝12.所以瞬時速度為12.故選A.答案：A2．解析：設其中一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.當0≤x≤4時，y′<0；當4<x≤8時，y′>0.所以當x＝4時，y最?。蔬xB.答案：B3．解析：設圓錐的高為xcm，體積為V(x)，則底面半徑為202-V(x)＝13πx(202－x2)(0<x<20)∴V′(x)＝13π(400－3x2)令V′(x)＝0，解得x＝203當0<x<2033時，V′(x當2033<x<20時，V′(x∴當x＝2033時，V(x故選D.答案：D4．解析：W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.答案：10題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)當t從1s變到3s時，功W從W(1)＝11J變到W(3)＝21J，此時功W關于時間t的平均變化率為W3-W1它表示從t＝1s到t＝3s這段時間，這個人平均每秒做功5J.(2)根據導數(shù)公式和求導法則可得W′(t)＝3t2－12t＋16，于是，W′(1)＝7J/s，W′(2)＝4J/s.W′(1)和W′(2)分別表示t＝1s和t＝2s時，這個人每秒做的功分別為7J和4J．跟蹤訓練1解析：∵f(q)＝p×q－c＝25-18q×q－(100＋∴f(q)＝－18q2＋21q－100(0<q<200)∴f′(q)＝－14q＋21，∴f′(80)＝－14×80＋21說明產量q＝80時，產量每增加1，利潤也增加1.題型二例2解析：(1)設需要新建n個增壓站，且(n＋1)x＝720，即n＝720x－1則y關于x的函數(shù)關系式為y＝f(x)＝108n＋(n＋1)(2＋x)x＝108×720x-1+720＝77760x＋720x＋1332(2)由(1)知，f(x)＝77760x＋720x＋1332f′(x)＝－77760x令f′(x)＝0，得x32＝216，解得x＝當0<x<36時，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0，36)內為減函數(shù)，當36<x<720時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(36，720)內為增函數(shù)，所以f(x)在x＝36處取得最小值，此時n＝72036－1＝19，即需要新建19個增壓站才能使y跟蹤訓練2解析：(1)設投入廣告費t(百萬元)后由此增加的收益為f(t)(百萬元)，則f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以當t＝2時，f(t)max＝4，即當商場投入兩百萬元廣告費時，才能使商場由廣告費而產生的收益最大．(2)設用于技術改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的費用為(3－x)(百萬元)，則由此兩項所增加的收益為g(x)＝－13x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝-13x3對g(x)求導，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．當0<x<2時，g′(x)>0，即g(x)在[0，2)上單調遞增；當2<x<3時，g′(x)<0，即g(x)在(2，3]上單調遞減，所以當x＝2時，g(x)max＝g(2)＝253故在三百萬資金中，兩百萬元用于技術改造，一百萬元用于廣告促銷，這樣商場由此所增加的收益最大，最大收益為253題型三例3解析：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)單調遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)．f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，無極大值．(2)證明：設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當a>ln2－1時，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R內單調遞增．于是當a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.例4解析：由f(x)＝0可得1a＝x令k(x)＝x2ex(x∈(0，＋則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，即直線y＝1a與函數(shù)k(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個不同的交點，k′(x)＝2x-x2ex＝x2-xex，令當x∈(0，2)時，k′(x)>0，當x∈(2，＋∞)時，k′(x)<0，所以k(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減，所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值為k(2)＝4e因為k(0)＝0，并且當x>2時，x2e所以當0<1a<4e2時，k(x)在(0，＋∞)上的圖象與直線y即當a>e24時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞所以，若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是e2跟蹤訓練3解析：(1)由f(x)＝lnx＋1x－a，(0<x<1)，則f′(x)＝1x-令f′(x)≥0，解得x≥1，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以函數(shù)f(x)在(0，1)上單調遞減，在1，所以f(x)在x＝1時取得極小值．所以函數(shù)f(x)＝lnx＋1x－a只需f(1)＝0，即1－a＝0，解得a＝1.(2)①由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.因為f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2，當x<ln2時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln2)上單調遞減；當x>ln2時，f′(x)>0，f(x)在(ln2，＋∞)上單調遞增．所以當x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－2ln2，f(x)無極大值．②證明：令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x.由①得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，故g(x)在R上單調遞增．所以當x>0時，g(x)>g(0)＝1>0，即x2<ex.答案：(1)1(2)見解析[課堂十分鐘]1．解析：∵h′＝－200t＋800，∴當t＝2h時，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．故選C.答案：C2．解析：設截去的小正方形的邊長為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得V＝x(48－2x)2