傅里葉變換本質(zhì)及其公式解析_第1頁
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PAGE6傅里葉變換的本質(zhì)傅里葉變換的公式為可以把傅里葉變換也成另外一種形式：可以看出，傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)的之間的內(nèi)積為0，只有頻率相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時，才不為0。下面從公式解釋下傅里葉變換的意義因為傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，所以f(t)和求內(nèi)積的時候，只有f(t)中頻率為的分量才會有內(nèi)積的結果，其余分量的內(nèi)積為0。可以理解為f(t)在上的投影，積分值是時間從負無窮到正無窮的積分，就是把信號每個時間在的分量疊加起來，可以理解為f(t)在上的投影的疊加，疊加的結果就是頻率為的分量，也就形成了頻譜。傅里葉逆變換的公式為下面從公式分析下傅里葉逆變換的意義傅里葉逆變換就是傅里葉變換的逆過程，在和求內(nèi)積的時候，只有t時刻的分量內(nèi)積才會有結果，其余時間分量內(nèi)積結果為0，同樣積分值是頻率從負無窮到正無窮的積分，就是把信號在每個頻率在t時刻上的分量疊加起來，疊加的結果就是f(t)在t時刻的值，這就回到了我們觀察信號最初的時域。對一個信號做傅里葉變換，然后直接做逆變換，這樣做是沒有意義的，在傅里葉變換和傅里葉逆變換之間有一個濾波的過程。將不要的頻率分量給濾除掉，然后再做逆變換，就得到了想要的信號。比如信號中摻雜著噪聲信號，可以通過濾波器將噪聲信號的頻率給去除，再做傅里葉逆變換，就得到了沒有噪聲的信號。優(yōu)點：頻率的定位很好，通過對信號的頻率分辨率很好，可以清晰的得到信號所包含的頻率成分，也就是頻譜。缺點：因為頻譜是時間從負無窮到正無窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時間定位。不能判斷某一時間段的頻率成分。例子：平穩(wěn)信號：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)傅里葉變換的結果：由于信號是平穩(wěn)信號，每處的頻率都相等，所以看不到傅里葉變換的缺點。對于非平穩(wěn)信號：信號是余弦信號，仍然有四個頻率分量當窗函數(shù)選為：時，短時傅里葉變換為：由上圖可以看出，時域的分辨率比較好，但是頻率出現(xiàn)一定寬度的帶寬，也就是說頻率分辨率差;當窗函數(shù)選擇為：時，短時傅里葉變換為：由上圖可以看出，頻

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