第五章 §5.1 5.1.1 任意角-高中數學人教A版必修一 課件（共48張PPT）

5.1.1任意角第五章

§5.1任意角和弧度制1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負角與零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角

所組成的集合.(重點)3.利用象限角和終邊相同的角的概念解決簡單的問題.(難點)學習目標導語2022年2月8日，北京冬奧會自由式滑雪女子大跳臺決賽展開爭奪，谷愛凌在前兩輪成績落后的情況下，第三輪超越自己做出了此前從未做出過的向左偏軸轉體1620，得到94.50分的高分，也憑借總成績188.25分奪得了這枚寶貴的金牌！我們該怎樣理解向左偏軸轉體1620呢？這和角度是分不開的，為了研究這個問題，我們開始今天的新課.一、任意角二、象限角三、終邊相同的角隨堂演練四、區(qū)域角的表示內容索引任意角

一問題1

在初中是如何定義角的？角的范圍是多少？提示角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形，角的范圍是0°～360°.1.角的概念及其表示角可以看成一條

繞著它的端點

所成的

.如圖，(1)始邊：射線的

位置OA；終邊：射線的

位置OB；頂點：射線的端點O.(2)記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”.知識梳理射線旋轉圖形起始終止名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按

方向旋轉形成的角

負角一條射線繞其端點按

方向旋轉形成的角

零角一條射線

做任何旋轉形成的角

2.任意角：我們把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負角和零角.逆時針順時針沒有3.角的相等如果角α和角β的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱

.4.角的加法設α，β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是

.5.相反角：把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為

，角α的相反角記為

，α－β＝α＋

.α＝βα＋β相反角－α(－β)

如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉60°到OB處，再按順時針方向旋轉820°至OC處，則β＝

.例1－40°∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小.逆時針旋轉形成一個正角，順時針旋轉形成一個負角.正角與負角是表示具有相反意義的旋轉量，它的正負規(guī)定純屬習慣，就好像正數和負數的規(guī)定一樣.反思感悟

圖中從OA旋轉到OB，OB1，OB2時所成的角度α，β，γ分別是

，

，

.跟蹤訓練1390°－150°60°題圖①中的角是正角，α＝390°.圖②中的角，一個是負角、一個是正角，β＝－150°，γ＝60°.象限角

二問題2初中所學的0°～360°角可以怎樣分類？提示銳角、直角、鈍角、平角和周角.1.我們通常在直角坐標系內討論角，為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.知識梳理終邊落在x軸正半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸負半軸上{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}終邊落在y軸正半軸上{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}終邊落在y軸負半軸上{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}終邊落在坐標軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限.(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標軸上，它不屬于任何一個象限；(2)每一個象限都有正角和負角，無法比較哪一個象限角的大小.注意點：(多選)下列結論正確的有A.－75°是第一象限角

B.225°是第三象限角C.475°是第二象限角

D.－315°是第四象限角√例2√因為－90°<－75°<0°，所以－75°是第四象限角；因為180°<225°<270°，所以225°是第三象限角；因為360°＋90°<475°<360°＋180°，所以475°是第二象限角；因為－360°<－315°<－270°，所以－315°是第一象限角.所以B，C正確.正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念的關系，需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可.反思感悟(多選)下列敘述不正確的是A.三角形的內角是第一象限角或第二象限角B.鈍角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角√跟蹤訓練2√√直角不屬于任何一個象限，故A不正確；鈍角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正確；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正確；由于零角和負角也小于180°，故D不正確.終邊相同的角

三問題3給定一個角，它的終邊是否唯一？若兩角的終邊相同，那么這兩個角相等嗎？提示給定一個角，它的終邊唯一；兩角終邊相同，這兩個角不一定相等，比如30°角的終邊和390°角的終邊相同，它們正好相差了360°.所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.知識梳理

在與2110°角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角β.(1)最大的負角；例3與2110°終邊相同的角的集合為{β|β＝2110°＋k·360°，k∈Z}，由－360°<2110°＋k·360°<0°，k∈Z，得－2470°<k·360°<－2110°，k∈Z，解得k＝－6，故所求的最大負角為β＝－50°.(2)最小的正角；由0°<2110°＋k·360°<360°，k∈Z，得－2110°<k·360°<－1750°，k∈Z，解得k＝－5，故所求的最小正角為β＝310°.(3)在360°～720°范圍內的角.由360°≤2110°＋k·360°≤720°，k∈Z，得－1750°≤k·360°≤－1390°，k∈Z，解得k＝－4，故所求的角為β＝670°.反思感悟終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)終邊相同的角相差360°的整數倍.(1)寫出終邊在直線y＝

上的角的集合.跟蹤訓練3因此，終邊在直線y＝

上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.故終邊在直線y＝

上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.(2)與－2024°角終邊相同的最小正角是A.136° B.132°C.58° D.42°√因為－2024°＝－6×360°＋136°，所以與－2024°角終邊相同的最小正角是136°.(3)若角2α與240°角的終邊相同，則α等于A.120°＋k·360°，k∈ZB.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈ZD.240°＋k·180°，k∈Z√角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.區(qū)域角的表示

四問題4你能否表示出終邊落在各個象限的角的集合？提示第一象限的角：{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；第二象限的角：{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限的角：{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限的角：{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}.

已知角α的終邊在圖中陰影部分內，試指出角α的取值范圍.例4終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.延伸探究1.若將本例題圖改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？由題干圖可知滿足題意的角的集合為{β|60°＋k·360°≤β≤105°＋k·360°，k∈Z}∪{240°＋k·360°≤β≤285°＋k·360°，k∈Z}＝{β|60°＋2k·180°≤β≤105°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|60°＋(2k＋1)·180°≤β≤105°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|60°＋n·180°≤β≤105°＋n·180°，n∈Z}，即所求的集合為{β|60°＋n·180°≤β≤105°＋n·180°，n∈Z}.2.已知α是第一象限角.(1)2α是第幾象限角？∵α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z).∵2k·360°<2α<180°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第一、二象限角或終邊在y軸的非負半軸上的角.方法一(分類討論法)因為α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，方法二(幾何法)如圖所示，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向依次將各區(qū)域標上“一、二、三、四、一、二、三、四”，則標有“一”的區(qū)域即為角

的終邊所在的區(qū)域，故

是第一或第三象限角.表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區(qū)域角集合.反思感悟

如圖，α，β分別是終邊落在OA，OB位置上的兩個角，且α＝60°，β＝315°.(1)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角γ的集合；跟蹤訓練4因為與角β終邊相同的一個角可以表示為－45°，所以陰影部分(不包括邊界)所表示的角的集合為{γ|－45°＋k·360°<γ<60°＋k·360°，k∈Z}.(2)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)，且在0°～360°范圍內的角θ的集合.{θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}.課堂小結1.知識清單：(1)正角、負角、零角的概念.(2)終邊相同的角的表示.(3)象限角、區(qū)域角的表示.2.方法歸納：數形結合、分類討論.3.常見誤區(qū)：銳角與小于90°的角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉k∈Z.隨堂演練

1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{鈍角}，C＝{小于180°的角}，則A，B，C關系正確的是A.B＝A∩C B.ACC.B∪C＝C D.A＝B＝C√1234由題意得BA∩C，故A錯誤；A與C互不包含，故B錯誤；由B＝{鈍角}{小于180°的角}，所以B∪C＝C，故C正確；由以上分析可知D錯誤.2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，則α的終邊在A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限√1234因為